13.8: Volumen, Temperatura y el Parámetro Grüneisen
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Si comprimes un material adiabáticamente y reversiblemente (es decir, isentrópicamente) su temperatura sube. La cantidad por la que sube puede ser representada por la derivada parcial\( \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S}\). Aquí, V podría significar el volumen total, el volumen específico o el volumen molar, según el contexto, y tendrías que especificar tus unidades en consecuencia. El derivado es negativo, debido a que la temperatura sube a medida que disminuye el volumen.
[Compárelo con la definición del coeficiente de expansión volumétrico\( \beta=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}\), que es positivo. Piensa en la diferencia.]
Una versión adimensional que exprese también la variación de la temperatura con el volumen sería\( \frac{V}{T}\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S}=\left(\frac{\partial \ln T}{\partial \ln V}\right)_{S}\), y aquí no hay necesidad de especificar si V significa total, específico o molar. La derivada también podría escribirse como\( -\left(\frac{\partial \ln T}{\partial \ln \rho}\right)_{S}\), donde ρ es la densidad. El valor positivo,\( -\left(\frac{\partial \ln T}{\partial \ln V}\right)_{S}=+\left(\frac{\partial \ln T}{\partial \ln \rho}\right)_{S}\) se llama el parámetro Grüneisen. Ya hemos usado los símbolos G, g, γ y γ para varias cosas en estas notas, así que estoy atascado por un símbolo adecuado. A veces se utilizan símbolos no cursivos para parámetros adimensionales, como R para el número de Reynolds en aerodinámica. Probemos Gr para el parámetro Grüneisen.
Para un gas ideal, la relación entre volumen y temperatura en una expansión adiabática reversible es TV γ − 1 = constante, y por lo tanto el parámetro Grüneisen para un gas ideal es γ − 1.
Al pensar en los cambios de volumen y temperatura, a menudo tenemos en mente algún tipo de gas (ideal o no). Sin embargo, los geofísicos tienen que lidiar con presiones muy grandes en el interior de la Tierra, donde los cambios de volumen y temperatura de los sólidos bajo presión no son despreciables, y los geofísicos suelen hacer uso del parámetro Grüneisen para materiales sólidos.
Para un poco de práctica en derivar relaciones entre algunas de las cantidades descritas en este capítulo, vea si puede demostrar que
\[ \mathrm{Gr}=\frac{\beta}{\rho C_{V} \kappa_{\mathrm{iso}}}=\frac{\beta}{\rho C_{P} \kappa_{\mathrm{ad}}}\]
y
\[ \gamma=1+\operatorname{Gr} \beta T.\]
Si ρ en estas preguntas significa densidad (masa por unidad de volumen), ¿qué son precisamente C V y C P? ¿Total, específico o molar? ¿O no importa? ¿En qué se convierten estas ecuaciones en el caso de un gas ideal?