3.11: Termodinámica Aplicada a la Luz

Otro sistema no fluido (ver sección 3.7).

Véase Robert E. Kelly, “Termodinámica de la radiación de cuerpo negro”, Am. J. Phys. 49 (1981) 714—719, y Max Planck, La teoría de la radiación térmica, parte II.

¿Cómo se obtiene una “caja de luz”? Se trata de radiación de cuerpo negro (cavidad): es decir, radiación en equilibrio térmico. (Por lo general también está en equilibrio con las paredes de la cavidad, pero se podría imaginar un contenedor con paredes de espejo.)

3.11.1 Fundamentos

La ecuación termodinámica fundamental para este sistema involucra la función maestra E (S, V). Es

\[dE = T dS − p dV.\]

Esta ecuación difiere de las ecuaciones maestras previamente encontradas en que no hay término para µ dN. Desde la perspectiva clásica, esto se debe a que la radiación se compone de campos, no de partículas. Desde la perspectiva cuántica, esto se debe a que el número de fotones no se conserva.

La termodinámica une una cantidad a otra, pero debe usar el experimento (o mecánica estadística) para encontrar los valores que se vinculan. Por ejemplo, la termodinámica nos dice que

\[ C_{p}=C_{V}+T V \frac{\beta^{2}}{\kappa_{T}} ,\]

pero no puede calcular ni C _p, ni C _V, ni β, ni κ _T: estas cantidades deben encontrarse por experimento (o mediante un cálculo mecánico estadístico). El resultado empírico que vamos a emplear es que para la radiación de cuerpo negro,

\[ p=\frac{1}{3} \frac{E}{V}=\frac{1}{3} u.\]

Esta ecuación de estado es el paralelo para la radiación de cuerpo negro a pV = Nk _B T para gases ideales. Fue descubierto por experimento, pero también puede derivarse de la electrodinámica.

3.11.2 Densidad de energía en función de la temperatura

Considera la energía como una función del volumen y la temperatura. Debido a que E (V, T) es extenso, pero en la lista de argumentos solo V es extenso (recordemos que N no aparece en la lista de argumentos), debemos tener

\[ E(V, T) = V u(T).\]

Es decir, la densidad de energía u depende sólo de la temperatura. ¿Qué es esta dependencia?

Buscamos una ecuación diferencial para u (T). Comparar

\[ d E=d(V u)=V d u+u d V=V \frac{d u}{d T} d T+u d V\]

con

\[ d E=T d S-p d V=T d S-\frac{1}{3} u d V.\]

Juntos estos nos dan una fórmula para dS:

\[ d S=\left(\frac{V}{T} \frac{d u}{d T}\right) d T+\left[\frac{4}{3} \frac{u}{T}\right] d V.\]

La relación Maxwell asociada a este diferencial es

\[ \frac{\partial( \quad)}{\partial V} )_{T}=\frac{\partial[\quad]}{\partial T} )_{V}\]

o

\[ \frac{1}{T} \frac{d u}{d T}=\frac{4}{3} \frac{d[u / T]}{d T}=\frac{4}{3}\left[\frac{1}{T} \frac{d u}{d T}-\frac{1}{T^{2}} u\right].\]

Un reordenamiento da

\[ \frac{d u}{d T}=4 \frac{u}{T}\]

La solución es

\[ 4 \ln T=\ln u+\text { const }\]

de donde

\[ u(T)=\sigma T^{4}.\]

¡La ley Stefan-Boltzmann!

3.11.3 Expansión adiabática cuasistática de la radiación

Considerar una muestra de radiación sometida a cambio adiabático cuasistático de volumen. La entropía es una constante durante este proceso, aunque el valor de esa constante dependerá, por supuesto, de la muestra particular que se esté expandiendo.

\[dE = T dS − p dV\]

pero dS = 0, E = uV, y p = u /3 así

\( \begin{aligned} u d V+V d u &=-\frac{1}{3} u d V \\ V d u &=-\frac{4}{3} u d V \\ \ln u &=-\frac{4}{3} \ln V+\mathrm{const} \\ u &=K V^{-4 / 3} \end{aligned}\)

Reconociendo que esta constante dependerá de qué adiabat se tome, es decir, que dependerá de la entropía, escribimos

\[ u(S, V)=K(S) V^{-4 / 3}.\]

Usando el resultado de Stefan-Boltzmann u = σT ⁴ encontramos que

\[ T(S, V)=\frac{C(S)}{V^{1 / 3}}.\]

Esto explica el enfriamiento del universo a medida que se expande desde el “big bang caliente” inicial hasta el actual “fondo de microondas de 3 ^o K”.

3.11.4 Termodinámica del espectro energético

¿Y si consideramos no solo la densidad de energía por volumen, sino la densidad de energía por volumen y longitud de onda? Let

\[ \overline{u}(T, \lambda) d \lambda\]

representan la energía por volumen debida a esa radiación con longitud de onda entre λ y λ + d λ. Como saben, la mecánica cuántica fue descubierta a través de los esfuerzos de Planck para encontrar una explicación teórica para la función medida\( \overline{u}(T, \lambda)\). Este no es el lugar para describir la obra de Planck. En cambio quiero centrarme en un resultado puramente termodinámico que se conocía mucho antes de que Planck iniciara sus investigaciones.

Esta es la ley ⁸ de Wien, que establece que la función\( \overline{u}(T, \lambda)\), que pensarías que podría tener cualquier forma antigua, debe ser de la forma

\[ \overline{u}(T, \lambda)=T^{5} f(\lambda T).\]

Una consecuencia inmediata de la ley de Viena es el teorema del desplazamiento de Viena: La longitud de onda l que maximiza\( \overline{u}(T, \lambda)\) es inversamente proporcional a la temperatura:

\[ \hat{\lambda}(T)=\frac{\text { constant }}{T},\]

donde la constante es el valor de x que maximiza f (x). Las consecuencias del teorema del desplazamiento de Viena son familiares desde la vida cotidiana: los objetos de baja temperatura (como las personas) irradian en gran parte en el infrarrojo, los objetos de temperatura moderada (como las herraduras en la fragua) irradian en gran parte en el rojo, mientras que los objetos de alta temperatura (como la estrella Sirio) irradian en gran parte en el azul.

Antes dije que la ley de Viena es un resultado puramente termodinámico. Eso es casi cierto, pero también se basa en un hecho más de la electrodinámica, un resultado llamado “sin modo esperando”:

Si el volumen hace un cambio cuasistático adiabático de V ₁ a V ₂, entonces la luz de longitud de onda en el rango λ ₁ a λ ₁ + dλ ₁ se desplaza al rango λ ₂ a λ ₂ + d λ ₂ donde

\[ \frac{\lambda_{1}}{V_{1}^{1 / 3}}=\frac{\lambda_{2}}{V_{2}^{1 / 3}}.\]

(Este resultado puede derivarse rigurosamente de las ecuaciones de Maxwell, pero es razonable a través de esta analogía: Una cadena de longitud L que vibra en, digamos, su tercer modo, tiene longitud de onda\( \lambda=\frac{3}{2} L\). Si la longitud de la cuerda se cambia lentamente, entonces la onda permanece en su tercer modo, por lo que λ/ L es constante).

Ahora ya estamos listos para comenzar la derivación. Considera la expansión adiabática cuasistática de la luz, y mientras esa expansión va a enfocar tu atención en la luz en el rango de longitud de onda λ a λ + d λ. De acuerdo con el resultado de “no modo de salto”, durante esta expansión la cantidad

\[ \lambda / V^{1 / 3}\]

permanece constante durante la expansión. Además, según la ecuación (3.203) la cantidad

\[ T V^{1 / 3}\]

también se mantiene constante. Multiplicando estas dos ecuaciones, encontramos que la cantidad independiente del volumen

\[ T \lambda\]

permanece constante durante la expansión: este número caracteriza la expansión.

Otra constante independiente del volumen se puede encontrar repitiendo el razonamiento de la subsección 3.11.3, Expansión adiabática cuasistática de la radiación, pero considerando no la energía de toda la radiación, sino la energía de la radiación con longitudes de onda de λ a λ+ ∆λ. Esta energía es\( E=\overline{u} V \Delta \lambda\), y la presión debida a este segmento de la radiación es\( p=\frac{1}{3} \overline{u} \Delta \lambda\). Durante una expansión adiabática cuasistática, dE = − PdV, así

\[ (V \Delta \lambda) d \overline{u}+(\overline{u} \Delta \lambda) d V+(\overline{u} V) d[\Delta \lambda]=-\frac{1}{3} \overline{u} \Delta \lambda d V.\]

Durante la expansión el volumen y las longitudes de onda están cambiando (ver ecuación 3.207)

\[ \begin{aligned} \lambda &=c V^{1 / 3} \\ d \lambda &=c \frac{1}{3} V^{-2 / 3} d V=\frac{1}{3} \frac{\lambda}{V} d V \\ d[\Delta \lambda] &=\frac{1}{3} \frac{\Delta \lambda}{V} d V \end{aligned}\]

por lo que tenemos

\[ (V \Delta \lambda) d \overline{u}=-\frac{5}{3} \overline{u} \Delta \lambda d V.\]

Así

\[ \begin{aligned} V d \overline{u} &=-\frac{5}{3} \overline{u} d V \\ \ln \overline{u} &=-\frac{5}{3} \ln V+\mathrm{const} \\ \overline{u} &=K V^{-5 / 3} \end{aligned}\]

Pero la ecuación (3.203) muestra cómo un volumen mayor se relaciona con una temperatura más baja, por lo que la cantidad

\[ \frac{\overline{u}(T, \lambda)}{T^{5}}\]

permanece constante durante la expansión.

Así, tenemos dos formas independientes del volumen para caracterizar la curva particular tomada por esta expansión. En la termodinámica de la luz, un estado es especificado por dos variables, por lo que una curva es especificada por un solo parámetro. De ahí que estas dos caracterizaciones no puedan ser independientes: una debe ser función de la otra. Así

\[ \frac{\overline{u}(T, \lambda)}{T^{5}}=f(\lambda T)\]

o

\[ \overline{u}(T, \lambda)=T^{5} f(\lambda T).\]

La ley de Wein.

⁸ Wien se pronuncia como el inglés “veen”.

Problemas

3.42 Capacidad calorífica de la luz

Demostrar que, para la radiación de cuerpo negro, C _V = 4 E/T.

Recursos

Mesas termodinámicas. (G.N. Lewis y M. Randall) Zemansky. Prácticos motores térmicos. Callen. Fermi.

Libro de matemáticas. e.g. Taylor y Mann?

Imagen de cristal Smithsonian en www?

Datos termodinámicos (por ejemplo, mesas de vapor) en www?