4.5: La temperatura como variable de control para la energía (conjunto canónico)

¡Nota distinción!

\(\mathcal{P}(\mathbf{x})\)es la probabilidad de caer en un microestado particular x. Esto pasa a ser una función solo de la energía del microestado, de donde a menudo se llama a esta función\( \mathcal{P}(H(\mathrm{x}))\). (Para un sistema continuo,\(\mathcal{P}(\mathbf{x})\) corresponde a p (γ) d γ.. la probabilidad de que el sistema caiga en algún punto de espacio de fase dentro del volumen d γ alrededor del punto γ.)

P (H) es la probabilidad de tener una energía particular. Es igual a\( \mathcal{P}(H(\Gamma)) \Omega(H)\). (Ω (H): el número de microestados con energía H.)

La temperatura como persuasión.

La temperatura como parámetro de control de energía.

Analogía: “El efecto Jim Smith”. Un hombre le pregunta a un estadístico “¿Cuál es la probabilidad de que un hombre llamado Milton Abramowitz gane la lotería?” El interrogador, cuyo nombre es Milton Abramowitz, se decepciona cuando la respuesta del estadístico es tan pequeña. Entonces vuelve a intentarlo: “¿Cuál es la probabilidad de que un hombre llamado Jim Smith gane la lotería?” El estadístico responde con un número que sigue siendo pequeño, pero no del todo tan pequeño como la primera respuesta. En respuesta, el hombre cambia su nombre por Jim Smith. ¹

Debido a que P (H (γ)) disminuye rápidamente con H, y Ω (H) aumenta rápidamente con H, esperamos que P (H) alcance un pico bastante brusco cerca de algunos\( \langle H\rangle\) (recordemos los argumentos de la sección 2.7.3). También esperamos que este pico se vuelva cada vez más agudo a medida que el sistema se haga cada vez más grande (acercándose a “el límite termodinámico”).

Incluso a altas temperaturas, el microestado más probable es el estado base. Sin embargo, la energía más probable aumenta con la temperatura.

En el conjunto canónico (donde todos los microestados son “accesibles”) el microestado con mayor probabilidad de ser ocupado es el estado base, y esto es cierto a cualquier temperatura positiva, por muy alta que sea. La energía del estado base no es la energía más probable, ni el estado base es típico, sin embargo, el estado base es el microestado más probable. En concreto, incluso a una temperatura de 1 000 000 K, es más probable que una muestra de helio se encuentre en un microestado cristalino particular que en cualquier microestado plasmático en particular. Sin embargo, hay tantos más microestados plasmáticos que cristalinos que (en el límite termodinámico) la muestra ocupa un macroestado plasmático con probabilidad 1.

Analogía económica para la temperatura como parámetro de control energético: regulación estricta versus incentivos. “Los enfoques basados en el mercado funcionan de manera más eficiente que las técnicas torpes de comando y control” —Alan S. Blinder, “Needed: Planet Insurance”, New York Times, 22 de octubre de 1997, página A23.

4.1 Probabilidad de microestado vs. probabilidad de energía

\(\mathcal{P}(H)\)es la probabilidad de estar en un microestado particular con energía H, mientras que\(\mathcal{P}(H)dH\) es la probabilidad de estar en cualquier microestado cuya energía se encuentre dentro del rango H a H + dH. El número de microestados con energía de H a H + dH es Ω (H) dH. Siguiendo los argumentos de la sección 2.7.1 (“Carácter rápidamente creciente de la función Ω (H)”), supongamos que Ω (H) = cH ^ν. (Para un gas ideal monatómico clásico de átomos de N, ν = (3/2) N.) Demostrar que bajo este supuesto

\[ Z(T, V, N)=c\left(k_{B} T\right)^{\nu+1} \Gamma(\nu+1).\]

¿Z tiene las dimensiones correctas? Demostrar que

\[ \mathcal{P}(H)=\frac{e^{-H / k_{B} T}}{c\left(k_{B} T\right)^{\nu+1} \Gamma(\nu+1)} \quad \text { while } \quad P(H)=\frac{H^{\nu} e^{-H / k_{B} T}}{\left(k_{B} T\right)^{\nu+1} \Gamma(\nu+1)}.\]

Croquis Ω (H) y P (H).\(\mathcal{P}(H)\)

¹ Sólo los estudiantes más ardientes de la historia norteamericana saben que Jim Smith firmó la Declaración de Independencia.