3.S: Resumen

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Referencias

• R. Balescu, Equilibrium and Nonequilibrium Statistical Mechanics (Wiley, 1975) Un texto avanzado con énfasis en fluidos y cinética.
• R. Balian, De la macrofísica a la microfísica (2 vols., Springer-Verlag, 2006) Una discusión muy detallada de los postulados fundamentales de la mecánica estadística y sus implicaciones.)

Resumen

\(\bullet\)Distribuciones: La mecánica estadística de equilibrio describe sistemas de partículas en términos de distribuciones estadísticas independientes del tiempo. ¿De dónde provienen estas distribuciones? ¿Cómo un sistema con un conjunto dado de condiciones iniciales llega a tener propiedades independientes del tiempo que se pueden describir de esta manera?

\(\bullet\)Ecuación maestra:\(P\ns_i(t)\) Sea la probabilidad de que un sistema esté en estado en\(\sket{i}\) el momento\(t\). La evolución de la\(P\ns_i(t)\) viene dada por\({dP\ns_i\over dt}=\sum_j (W\ns_{ij} P\ns_j - W\ns_{ji} P\ns_i ) = -\sum_j \Gamma\ns_{ij} \, P\ns_j\), donde las tasas\(W\ns_{ij}\ge 0\) son no negativas. Conservación de las medias de probabilidad\(\sum_i \Gamma\ns_{ij}=0\) para todos\(j\), de ahí que\(\Bpsi^\Rt=(1,1,\ldots,1)\) sea un vector propio izquierdo con valor propio cero. El vector propio derecho correspondiente es la distribución de equilibrio:\(\Gamma\ns_{ij}\,P^{eq}_j=0\). El balance detallado\(W\ns_{ij}\,P^{eq}_j = W\ns_{ji}\,P^{eq}_i\),, es una condición más estricta que el requisito de una distribución estacionaria sola. El\(\SH\) teorema de Boltzmann:\({\dot\SH}\le 0\), dónde\(\SH=\sum_i P\ns_i \ln(P\ns_i/P^{eq}_i)\). Así, las dinámicas ME son irreversibles. ¡Pero las leyes microscópicas subyacentes son reversibles!

\(\bullet\)Evolución hamiltoniana:\(\Dvarphi\ns_i=J\ns_{ij}\,{\pz H\over\pz\vphi\ns_j}\), donde\(\Bvphi=(q\ns_1,\ldots,q\ns_r, p\ns_1,\ldots,p\ns_r)\) es un punto en el espacio de fases\(2r\) -dimensional, y\(J=\begin{pmatrix} 0 & \MI \\ -\MI & 0 \end{pmatrix}\). El flujo espacial de fase es entonces incompresible:\(\bnabla\cdot{\dot\Bvphi}=0\), de ahí que las densidades de espacio de fase\(\vrh(\Bvphi,t)\) obedezcan a la ecuación de Liouville,\(\pz\ns_t\,\vrh + {\dot\Bvphi}\cdot\bnabla\!\vrh=0\) (se desprende de continuidad e incompresibilidad) Cualquier función\(\vrh(\Lambda\ns_1,\ldots,\Lambda\ns_k)\), donde cada una\(\Lambda\ns_i\) es conservada por la dinámica espacial de fase, será una solución estacionaria a la ecuación de Liouville. En particular, la distribución microcanónica,\(\vrh\ns_E(\Bvphi)=\delta\big(E-H(\Bvphi)\big)/D(E)\) es tal solución, donde\(D(E)=\Tra\delta\big(E-H(\Bvphi)\big)\) está la densidad de estados.

\(\bullet\)Poincar é Recurrencia: Let\(g\ns_\tau \Bvphi(t)=\Bvphi(t+\tau)\) be the\(\tau\) -advance mapping for a dynamical system\({\dot\Bvphi}=\BV(\Bvphi)\). Si (i)\(g\ns_\tau\) es invertible, (ii)\(g\ns_\tau\) conserva los volúmenes del espacio de fase, y (iii) el volumen de fase accesible dada la dinámica y las condiciones iniciales es finito, entonces en cualquier vecindad finita\(\CR\ns_0\) del espacio de fase existe un punto\(\Bvphi\ns_0\in\CR\ns_0\) tal que\(g_\tau^n\Bvphi\ns_0\in\CR\ns_0\) con\(n\) finito. Esto significa que todas las moléculas de perfume eventualmente regresan al interior de la botella (si se abre en una habitación sellada).

\(\bullet\)Modelo de anillo Kac: Normalmente el tiempo de recurrencia es de órdenes de magnitud mayores que la edad del Universo, pero para el modelo de anillo Kac, uno puede simular el fenómeno de recurrencia fácilmente. El modelo consiste en un anillo de\(N\) sitios, y una distribución aleatoria de aletas encendidas (fijas) en\(F\) los eslabones\((F\le N)\). En cada sitio se encuentra una variable de espín discreta que se polariza hacia arriba o hacia abajo. El sistema evoluciona discretamente por todos los giros avanzando en sentido horario por un sitio durante un paso de tiempo dado. Todos los giros que pasan a través de una aleta invierten su polarización. Visto probabilísticamente, si\(p\ns_n\) es la probabilidad de que algún giro dado esté arriba en el momento\(n\), entonces bajo los supuestos del Stosszahlansatz\(p\ns_{n+1}=(1-x)p\ns_n + x(1-p\ns_n)\), donde\(x=F/N\) está la densidad de la aleta. Esto lleva a una relajación exponencial con una escala de tiempo\(\tau=-1/\ln|1-2x|\), pero el tiempo de recurrencia es claramente\(N\) (si\(F\) es par) o\(2N\) (si\(F\) es impar).

\(\bullet\)Ergodicidad y mezcla: Un sistema dinámico es ergódico si

\[\blangle f(\Bvphi)\brangle\ns_T = \lim_{T\to\infty}{1\over T}\!\int\limits_0^T\!\!dt\>f\big(\Bvphi(t)\big)= {\Tra f(\Bvphi)\,\delta\big(E-H(\Bvphi)\big)\over \Tra\,\delta\big(E-H(\Bvphi)\big)}= \blangle f(\Bvphi)\brangle\ns_S\ .\]

Esto significa que los promedios de tiempo largo son iguales a los promedios espaciales de fase Esto no significa necesariamente que la distribución del espacio de fase converja a la distribución microcanónica. Una condición más fuerte, conocida como mezcla, significa que la distribución se extiende 'uniformemente' sobre la hipersuperficie del espacio de fase consistente con todas las leyes de conservación. Así, si\(g\) es un mapa de espacio de fase, y si\(\nu(A)\equiv D\ns_A(E)/D(E)\) es la fracción de la hipersuperficie de energía (supongamos que no hay cantidades conservadas que no sean\(H=E\)) contenida en\(A\), entonces\(g\) se está mezclando si\(\lim_{n\to\infty}\nu\left(g^n A \cap B\right)=\nu(A)\,\nu(B)\). Un ejemplo de un mapa de mezcla en un toro bidimensional es el “mapa de gatos” de Arnold,

\[\begin{pmatrix} q' \\ p' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} q \\ p \end{pmatrix} \ \textsf{mod}\ \MZ^2\ .\]

\(\bullet\)Termalización de sistemas cuánticos: Este es un tema de investigación actual. Una propuesta, debido a Deutsch (1991) y Srednicki (1994) es la hipótesis de termalización de estado propio (ETH). Esto dice que la información térmica se codifica en cada estado propio, de tal manera que si\(E\ns_\alpha\in [E,E+\RDelta E]\), entonces

\[\sexpect{\RPsi\ns_\alpha}{\CA}{\RPsi\ns_\alpha} = \langle\CA\rangle\ns_{E\ns_\alpha}\ ,\]

el valor de expectativa de algún operador local, traslacionalmente invariante, de pocos cuerpos\(\CA\) en el estado\(\sket{\RPsi\ns_\alpha}\), viene dado por su promedio sobre una pequeña ventana de energía que contiene\(E\ns_\alpha\). Si este es el caso, entonces siempre y cuando preparemos un estado inicial tal que la propagación de las energías esté dentro\(\RDelta E\) de algún valor\(E\), donde\(\RDelta E \ll E-E\ns_0\) con\(E\ns_0\) el estado fundamental la energía, entonces\(\langle \CA\rangle\ns_T = \langle\CA\rangle\ns_E\), y los promedios de tiempo se convierten en promedios energéticos. Equivalentemente, la matriz de densidad reducida\(\rho\ns_S\) correspondiente a un sistema\(S\) que es un subconjunto de un universo\(U\), con\(W\cup S=U\) (\(W\)es el 'mundo'), es una matriz de densidad térmica:\(\rho\ns_S=Z_S^{-1} e^{-\beta\HH\ns_S}\), donde\(\HH\ns_S\) está el hamiltoniano restringido a \(S\), y con temperatura fijada por el requerimiento\(\Tra(\rho\ns_S\HH\ns_S)=E\cdot(V\ns_S/V\ns_U)\), donde el último factor es una relación de volúmenes. ETH no es válida para los llamados modelos integrables con un amplio número de cantidades conservadas independientes. Pero se ha demostrado, tanto perturbadora como numéricamente, que se sostiene para ciertos modelos de sistemas no integrables. Una distinción interesante entre termalización clásica y cuántica: en el caso cuántico, la evolución del tiempo no crea el estado térmico. Más bien, revela la distribución térmica que se codifica en cada estado propio después de un tiempo suficiente para que se haya producido la desfase y se pierdan todas las correlaciones entre los diferentes coeficientes de expansión de función de onda.

Notas al final

1. Las excepciones involucran cantidades que son conservadas por colisiones, como el número total de partículas, el impulso y la energía. Estas cantidades se relajan hasta el equilibrio de una manera especial llamada hidrodinámica. ↩
2. 'Compacto' en la jerga del análisis matemático significa 'cerrado y rebotado'. ↩
3. La igualdad\(\ln{det}\,M = \Tra \ln M\) se demuestra más fácilmente al llevar la matriz a una forma diagonal a través de una transformación de similitud y probar la igualdad para las matrices diagonales. ↩
4. En realidad, las leyes microscópicas de la física no son invariantes de inversión en el tiempo, sino que son invariantes bajo el producto\(PCT\), donde\(P\) está la paridad,\(C\) es conjugación de carga, y\(T\) es inversión de tiempo. ↩
5. Los números naturales\(\MN\) son el conjunto de enteros no negativos\(\{0,1,2,\ldots\}\). ↩
6. En el límite no relativista,\(T=p^2/2m\). Para las partículas relativistas, tenemos\(T=(p^2 c^2 + m^2 c^4)^{1/2}-mc^2\). ↩
7. En realidad, lo que garantiza el teorema de la recurrencia es que existe una configuración arbitrariamente cercana a la inicial que se repite, hasta dentro del mismo grado de cercanía. ↩
8. Desafortunadamente, muchos físicos importantes eran alemanes y tenemos que aguantar un legado de largas palabras alemanas como Gedankenexperiment, Zitterbewegung, Brehmsstrahlung, Stosszahlansatz, Kartoffelsalat, ↩
9. El mapa de gatos recibe su nombre de su aplicación inicial, de Arnold, a la imagen de la cara de un gato. ↩
10. Hay algo más allá de la mezcla, llamado un\(K\) - sistema. El\(K\) sistema A tiene una entropía positiva de Kolmogorov-Sinaí. Para tal sistema, las órbitas cerradas se separan exponencialmente en el tiempo, y en consecuencia el liouvilliano\(L\) tiene un espectro de Lebesgue con multiplicidad denumerablemente infinita. ↩
11. De manera más general, podríamos proyectar sobre un subespacio\(K\) -dimensional, en cuyo caso habría\(K\) valores propios de\(+1\) y\(N-K\) valores propios de\(0\), donde\(N\) está la dimensión de todo el espacio vectorial. ↩
12. Recordemos que en sistemas sin desorden, los estados propios exhiben periodicidad Bloch en el espacio. ↩
13. Dado que la probabilidad\(P\ns_i(t)\) es real, si el valor propio con la parte real más pequeña (el negativo más grande) es complejo, habrá un valor propio conjugado complejo correspondiente, y sumando sobre todos los vectores propios dará como resultado un valor real para\(P\ns_i(t)\). ↩