3.6: Apéndices
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Apéndice I: Solución Formal de la Ecuación Maestra
Recordemos la ecuación maestra\(\DP\ns_i=-\Gamma\ns_{ij}\,P\ns_j\). La matriz\(\Gamma\ns_{ij}\) es real pero no necesariamente simétrica. Para tal matriz, los vectores propios izquierdos\(\phi^\alpha_i\) y los vectores propios derechos no\(\psi^\beta_j\) son los mismos: general diferente:
\[\begin{split} \phi^\alpha_i\,\Gamma\ns_{ij} &=\lambda\ns_\alpha\,\phi^\alpha_j\\ \Gamma\ns_{ij}\,\psi^\beta_j &=\lambda\ns_\beta\,\psi^\beta_i\ . \end{split}\]
Tenga en cuenta que la ecuación de valor propio para los vectores propios derechos es\(\Gamma\psi=\lambda\psi\) mientras que para los vectores propios izquierdos es\(\Gamma^\Rt\phi=\lambda\phi\). El polinomio característico es el mismo en ambos casos:
\[F(\lambda)\equiv{det}\,(\lambda-\Gamma)={det}\,(\lambda-\Gamma^\Rt) \ ,\]
lo que significa que los valores propios izquierdo y derecho son los mismos. Obsérvese también que\(\big[F(\lambda)\big]^*=F(\lambda^*)\), de ahí que los valores propios sean reales o aparezcan en pares conjugados complejos. Multiplicar la ecuación de autovector para\(\phi^\alpha\) a la derecha por\(\psi^\beta_j\) y sumando\(j\), y multiplicando la ecuación de autovector para\(\psi^\beta\) a la izquierda por\(\phi^\alpha_i\) y sumando\(i\), y restando los dos resultados rendimientos
\[\big(\lambda\ns_\alpha-\lambda\ns_\beta\big)\,\braket{\phi^\alpha}{\psi^\beta}=0\ ,\]
donde el producto interno es
\[\braket{\phi}{\psi}=\sum_i\phi\ns_i\,\psi\ns_i\ .\]
Ahora podemos exigir
\[\braket{\phi^\alpha}{\psi^\beta}=\delta\ns_{\alpha\beta}\ ,\]
en cuyo caso podemos escribir
\[\Gamma=\sum_\alpha \lambda\ns_\alpha\,\ket{\psi^\alpha}\bra{\phi^\alpha}\qquad \Longleftrightarrow\qquad \Gamma\ns_{ij}=\sum_\alpha\lambda\ns_\alpha\,\psi^\alpha_i\,\phi^\alpha_j\ .\]
Hemos visto que\({\vec\phi}=(1,1,\ldots,1)\) es un vector propio izquierdo con valor propio\(\lambda=0\), ya que\(\sum_i \Gamma\ns_{ij}=0\). No conocemos a priori el correspondiente vector propio derecho, el cual depende de otros detalles de\(\Gamma\ns_{ij}\). Ahora vamos a expandirnos\(P\ns_i(t)\) en los vectores propios correctos de\(\Gamma\), escribiendo
\[P\ns_i(t)=\sum_\alpha C\ns_\alpha(t)\,\psi^\alpha_i\ .\]
Entonces
\[\begin{split} {dP\ns_i\over dt}&=\sum_\alpha{d C\ns_\alpha\over dt}\,\psi^\alpha_i\\ &=-\Gamma\ns_{ij}\,P\ns_j=-\sum_\alpha C\ns_\alpha\,\Gamma\ns_{ij}\,\psi^\alpha_j\\\ &=-\sum_\alpha \lambda\ns_\alpha\,C\ns_\alpha\,\psi^\alpha_i\ . \end{split}\]
Esto nos permite escribir
\[{d C\ns_\alpha\over dt}=-\lambda\ns_\alpha\,C\ns_\alpha\qquad\Longrightarrow\qquad C\ns_\alpha(t)=C\ns_\alpha(0)\, e^{-\lambda\ns_\alpha t}\ .\]
De ahí que podamos escribir
\[P\ns_i(t)=\sum_\alpha C\ns_\alpha(0)\,e^{-\lambda\ns_\alpha t}\,\psi^\alpha_i\ . \label{ptime}\]
Ahora es fácil ver que\({Re}\,(\lambda\ns_\alpha)\ge 0\) para todos\(\lambda\), o de lo contrario las probabilidades se volverán negativas. Para supongamos\({Re}\,(\lambda\ns_\alpha)<0\) para algunos\(\alpha\). Entonces como\(t\to\infty\), la suma en la Ecuación\ ref {ptime} estará dominada por el término para el cual\(\lambda\ns_\alpha\) tiene la mayor parte real negativa; todas las demás contribuciones serán subprincipales. Pero debemos tener\(\sum_i\psi^\alpha_i=0\) ya que\(\ket{\psi^\alpha}\) debe ser ortogonal al vector propio izquierdo\({\vec\phi}^{\alpha=0}=(1,1,\ldots,1)\). Por lo tanto, al menos un componente de\(\psi^\alpha_i\) (para algún valor de\(i\)) debe tener una parte real negativa, ¡lo que significa una probabilidad negativa! 13 Como ya hemos demostrado que una distribución inicial no negativa\(\{P\ns_i(t=0)\}\) seguirá siendo no negativa bajo la evolución de la ecuación maestra, concluimos que\(P\ns_i(t)\to P^{eq}_i\) como\(t\to\infty\), relajándose hacia el vector propio\(\lambda=0\) derecho, con\({Re}\,(\lambda\ns_\alpha)\ge 0\) para todos\(\alpha\) .
Apéndice II: Desintegración radiactiva
Consideremos un grupo de átomos, algunos de los cuales están en un estado excitado que pueden sufrir desintegración nuclear. \(P\ns_n(t)\)Sea la probabilidad de que los\(n\) átomos se exciten en algún momento\(t\). Luego modelamos la dinámica de decaimiento mediante
\[W\ns_{mn}=\begin{cases} 0 & {if}\ m \ge n \\ n\gamma & {if}\ m = n-1\\ 0& {if}\ m < n-1\ . \end{cases}\]
Aquí,\(\gamma\) está la tasa de desintegración de un átomo individual, que se puede determinar a partir de la mecánica cuántica. La ecuación maestra nos dice entonces
\[{dP\ns_n\over dt}=(n+1)\,\gamma\, P\ns_{n+1}-n\,\gamma\, P\ns_n\ .\]
La interpretación aquí es la siguiente: vamos a\(\ket{n}\) denotar un estado en el que los\(n\) átomos están excitados. Entonces\(P\ns_n(t)=\big|\sbraket{\psi(t)}{n} \big|^2\). Entonces\(P\ns_n(t)\) aumentará debido a las transiciones espontáneas de\(\sket{n\!+\!1}\) a\(\sket{n}\), y disminuirá debido a transiciones espontáneas de\(\sket{n}\) a\(\sket{n\!-\!1}\).
El número promedio de partículas en el sistema es
\[N(t)=\sum_{n=0}^\infty n\,P\ns_n(t)\ .\]
Tenga en cuenta que
\[\begin{split} {dN\over dt}&=\sum_{n=0}^\infty n \Big[(n+1)\,\gamma\, P\ns_{n+1}-n\,\gamma\, P\ns_n\Big]\\ &=\gamma\,\sum_{n=0}^\infty\Big[ n(n-1)\,P\ns_n - n^2 P\ns_n\Big]\\ &=-\gamma\sum_{n=0}^\infty n\,P\ns_n=-\gamma\,N\ . \end{split}\]
Por lo tanto,
\[N(t)=N(0)\,e^{-\gamma t}\ .\]
El tiempo de relajación es\(\tau=\gamma^{-1}\), y la distribución de equilibrio es
\[P^{eq}_n=\delta\ns_{n,0}\ .\]
Tenga en cuenta que esto satisface el saldo detallado.
Podemos ir un poco más allá aquí. Definamos
\[P(z,t)\equiv\sum_{n=0}^\infty z^n\,P\ns_n(t)\ .\]
Esto a veces se llama función generadora. Entonces
\[\begin{split} {\pz P\over\pz t}&=\gamma\sum_{n=0}^\infty z^n\Big[(n+1)\,P\ns_{n+1} - n\,P\ns_n\Big]\\\ &=\gamma\,{\pz P\over\pz z} - \gamma z\,{\pz P\over\pz z}\ . \end{split}\]
Por lo tanto,
\[{1\over\gamma}\,{\pz P\over\pz t} -(1-z)\,{\pz P\over\pz z}=0\ .\]
Ahora vemos que cualquier función\(f(\xi)\) satisface la ecuación anterior, donde\(\xi=\gamma t-\ln (1-z)\). Así, podemos escribir
\[P(z,t)=f\big(\gamma t-\ln(1-z)\big)\ .\]
Configurando\(t=0\) tenemos\(P(z,0)=f\big(\!-\!\ln(1-z)\big)\), e invirtiendo este resultado obtenemos\(f(u)=P(1-e^{-u},0)\),
\[P(z,t)=P\big(1+(z-1)\,e^{-\gamma t}\, , \,0\big)\ .\]
La probabilidad total es\(P(z\!=\!1,t)=\sum_{n=0}^\infty P\ns_n\), que claramente se conserva:\(P(1,t)=P(1,0)\). El número promedio de partículas es
\[N(t)=\sum_{n=0}^\infty n\,P\ns_n(t) = {\pz P\over\pz z}\bigg|\nd_{z=1} \!\! = \ e^{-\gamma t}\,P(1,0)=N(0)\,e^{-\gamma t}\ .\]
Apéndice III: Transición a la Ergodicidad en un Modelo Simple
Una bola de masa\(m\) ejecuta un movimiento unidimensional perfecto a lo largo del eje de simetría de un pistón. Por encima de la bola se encuentra una cabeza de pistón móvil de masa\(M\) que se desliza sin fricción dentro del pistón. Tanto la bola como la cabeza del pistón ejecutan un movimiento balístico, con dos tipos de colisión posibles: (i) la bola puede rebotar en el suelo, que se supone que es infinitamente masiva y fija en el espacio, y (ii) la bola y la cabeza del pistón pueden participar en una colisión elástica unidimensional. El hamiltoniano es
\[H={P^2\over 2M} + {p^2\over 2m} + MgX + mgx\ ,\]
donde\(X\) esta la altura de la cabeza del piston y\(x\) la altura de la bola. Otra cantidad es conservada por la dinámica:\(\RTheta(X-x)\)., la bola siempre está por debajo de la cabeza del pistón.
- Elija una escala\(L\) de longitud arbitraria y luego una escala de energía\(E\ns_0=MgL\), una escala\(P\ns_0=M\sqrt{gL}\) de impulso y una escala de tiempo\(\tau\ns_0=\sqrt{L/g}\). Demostrar que el hamiltoniano adimensional se vuelve
\[{\bar H}=\half{\bar P}^2+ {\bar X} + {{\bar p}^2\over 2r} + r{\bar x}\ ,\]
con\(r=m/M\), y con ecuaciones de movimiento\({dX/dt}={\pz{\bar H}/\pz{\bar P}}\), (Aquí la barra indica variables adimensionales:\({\bar P}=P/P\ns_0\)\({\bar t}=t/\tau\ns_0\),,) ¿Qué consecuencias dinámicas especiales tienen\(r=1\)? - Calcular la altura media microcanónica del pistón\(\langle X \rangle\). El promedio dinámico análogo es
\[\langle X\rangle\nd_t=\lim_{T\to\infty} {1\over T}\int\limits_0^T\!\!dt\,X(t)\ .\]
Al calcular promedios microcanónicos, es útil utilizar la transformación de Laplace, discutida hacia el final del §3.3 de las notas. (También es posible calcular el promedio microcanónico mediante más métodos de fuerza bruta). - Calcular el promedio microcanónico de la tasa de colisiones entre la bola y el piso. Demostrar que esto viene dado por
\[\blangle\sum_i\delta(t-t_i)\brangle=\blangle \RTheta(v)\, v\, \delta(x-0^+)\brangle\ .\]
El promedio dinámico análogo es\[\langle\gamma\rangle\nd_t=\lim_{T\to\infty} {1\over T}\int\limits_0^T\!\!dt\,\sum_i\delta(t-t_i)\ ,\]
donde\(\{t_i\}\) está el conjunto de tiempos en los que la pelota golpea el piso. - ¿Cómo cambian tus resultados si no haces cumplir la restricción dinámica\(X\ge x\)?
- Escribir un programa de computadora para simular este sistema. La única entrada debe ser la relación de masa\(r\) (establecida\({\bar E}=10\) para fijar la energía). También es posible que desee ingresar las condiciones iniciales, o tal vez elegir las condiciones iniciales al azar (¡todo lo que satisface la conservación de energía, por supuesto!). Haga que su programa calme los promedios microcanónicos así como dinámicos en las partes (b) y (c). Trazar la sección Poincar é de\(P\) vs.\(X\) para esos momentos en que la pelota golpea el piso. Investigar esto por varios valores de\(r\). Sólo para mostrarles que esto es interesante, he trazado algunos de mis propios resultados numéricos en Figura\(\PageIndex{1}\).
| \(r\) | \(X(0)\) | \(\langle X(t)\rangle\) | \(\langle X \rangle\nd_{\mu\Rc\Re}\) | \(\langle\gamma(t)\rangle\) | \(\langle \gamma \rangle\nd_{\mu\Rc\Re}\) | \(r\) | \(X(0)\) | \(\langle X(t)\rangle\) | \(\langle X \rangle\nd_{\mu\Rc\Re}\) | \(\langle\gamma(t)\rangle\) | \(\langle \gamma \rangle\nd_{\mu\Rc\Re}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.1\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(6.1743\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.8974\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.5283\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.4505\) | \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1.2\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.1\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8509\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8545\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3816\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3812\) |
| \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1.0\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.7303\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.8974\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.4170\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.4505\) | \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1.2\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1.0\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8479\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8545\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3811\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3812\) |
| \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(3.0\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.7876\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.8974\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.4217\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.4505\) | \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1.2\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(3.0\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8493\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8545\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3813\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3812\) |
| \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.0\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.8231\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.8974\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.4228\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.4505\) | \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1.2\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.0\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8482\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8545\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3813\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3812\) |
| \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(7.0\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.8227\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.8974\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.4228\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.4505\) | \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1.2\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(7.0\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8472\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8545\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3808\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3812\) |
| \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(9.0\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.8016\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.8974\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.4234\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.4505\) | \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1.2\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(9.0\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8466\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8545\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3808\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3812\) |
| \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(9.9\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(6.1539\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(5.8974\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.5249\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.4505\) | \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1.2\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(9.9\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8444\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8545\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3807\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.3812\) |
| \(r\) | \(X(0)\) | \(N\ns_\Rb\) | \(\langle X(t)\rangle\) | \(\langle X \rangle\nd_{\mu\Rc\Re}\) | \(\langle\gamma(t)\rangle\) | \(\langle \gamma \rangle\nd_{\mu\Rc\Re}\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1.2\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(7.0\) | \ (N\ ns_\ Rb\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(10^4\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8054892\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8484848\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.37560388\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.38118510\) |
| \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1.2\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(7.0\) | \ (N\ ns_\ Rb\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(10^5\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8436969\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8484848\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.38120356\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.38118510\) |
| \ (r\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(1.2\) | \ (X (0)\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(7.0\) | \ (N\ ns_\ Rb\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(10^6\) | \ (\ langle X (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8479414\) | \ (\ langle X\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(4.8484848\) | \ (\ langle\ gamma (t)\ rangle\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.38122778\) | \ (\ langle\ gamma\ rangle\ nd_ {\ mu\ Rc\ Re}\)” style="text-align:center; vertical-align:middle; ">\(0.38118510\) |
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