4.S: Resumen

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Referencias

• F. Reif, Fundamentos de Física Estadística y Térmica (McGraw-Hill, 1987) Este ha sido quizás el texto de pregrado más popular desde que apareció por primera vez en 1967, y con buena razón.
• A. H. Carter, Termodinámica Clásica y Estadística (Benjamin Cummings, 2000) Un tratamiento muy relajado apropiado para carreras de licenciatura en física.
• D. V. Schroeder, An Introduction to Thermal Physics (Addison-Wesley, 2000) Este es el mejor libro de termodinámica de pregrado que he encontrado, pero solo el 40% del libro trata de mecánica estadística.
• C. Kittel, Elementary Statistical Physics (Dover, 2004) Sorprendentemente nítido, aunque anticuado, este texto está organizado como una serie de breves discusiones sobre conceptos y ejemplos clave. Publicado por Dover, para que no puedas superar el precio.
• M. Kardar, Statistical Physics of Particles (Cambridge, 2007) Un texto moderno soberbio, con muchas presentaciones perspicaces de conceptos clave.
• M. Plischke y B. Bergersen, Equilibrium Statistical Physics (\(3^{rd}\)edición, World Scientific, 2006) Un excelente texto de nivel de posgrado. Menos perspicaz que Kardar pero sigue siendo un buen tratamiento moderno del tema. Buena discusión de la teoría del campo medio.
• E. M. Lifshitz y L. P. Pitaevskii, Física Estadística (parte I,\(3^{rd}\) edición, Pérgamo, 1980) Se trata del volumen 5 del famoso Curso de Física Teórica Landau y Lifshitz. Aunque anticuado, todavía contiene una gran cantidad de información y conocimiento físico.

Resumen

\(\bullet\)Distribuciones: Dejar\(\vrh(\Bvphi)\) ser una distribución normalizada en el espacio de fase. Entonces

\[\blangle f(\Bvphi)\brangle =\Tra\!\big[\vrh(\Bvphi)\,f(\Bvphi)\big]=\int\!d\mu\>\vrh(\Bvphi)\,f(\Bvphi)\ ,\]

donde\(d\mu=W(\Bvphi)\prod_i d\vphi_i\) está la medida del espacio de fase. Para un sistema hamiltoniano de partículas puntuales indistinguibles\(N\) idénticas en dimensiones\(d\) espaciales, tenemos

\[d\mu={1\over N!}\prod_{i=1}^N {d^d\!p\ns_i\,d^d\!q\ns_i\over (2\pi\hbar)^d}\ .\]

El\({1\over N!}\) prefactor explica la indistinguibilidad. Normalización significa\(\Tra\!\vrh = 1\).

\(\bullet\)Conjunto microcanónico (\(\mu\)CE):\(\vrh(\Bvphi)=\delta\big(E-\HH(\Bvphi)\big)/D(E)\), donde\(D(E)=\Tra\delta\big(E-\HH(\Bvphi)\big)\) está la densidad de estados y\(\HH(\Bvphi)=\HH(\Bq,\Bp)\) es el hamiltoniano. La energía\(E\), el volumen\(V\) y el número de partículas\(N\) se mantienen fijos. Así, la densidad de estados\(D(E,V,N)\) es una función de las tres variables. La entropía estadística es\(S(E,V,N)=\kB\ln D(E,V,N)\), donde\(\kB\) está la constante de Boltzmann. Dado que\(D\) tiene dimensiones de\(E^{-1}\), es necesaria una escala de energía arbitraria para convertir\(D\) a una cantidad adimensional antes de tomar el tronco. En el límite termodinámico, uno tiene

\[S(E,V,N)=N\kB\,\phi\bigg({E\over N},{V\over N}\bigg)\ .\]

El diferencial de\(E\) se define como\(dE=T\,dS - p\,dV + \mu\,dN\), así\(T=\pabc{E}{S}{\,V,N}\) es la temperatura,\(p=-\pabc{E}{V}{\,S,N}\) es la presión, y\(\mu=\pabc{E}{N}{\,S,V}\) es el potencial químico. Tenga en cuenta que\(E\)\(S\),\(V\), y\(N\) son todas cantidades extensas, se reducen a la mitad cuando el sistema en sí se reduce a la mitad.

\(\bullet\)Conjunto canónico ordinario (OCE): En el OCE, la energía fluctúa\(V\), mientras\(N\), y la temperatura\(T\) es fija. La distribución es\(\vrh=Z^{-1}\,e^{-\beta\HH}\), donde\(\beta=1/\kT\) y\(Z=\Tra e^{-\beta\HH}\) es la función de partición. Tenga en cuenta que\(Z\) es la transformación de Laplace de la densidad de estados:\(Z=\int\!dE\>D(E)\,e^{-\beta E}\). La entropía de Boltzmann es\(S=-\kB\Tra(\vrh\ln\vrh)\). Esto implica\(F=E-TS\), donde\(F=-\kT\ln Z\) está la energía libre de Helmholtz, una transformación Legendre de la energía\(E\). De esto derivamos\(dF=-S\,dT - p\,dV + \mu\,dN\).

\(\bullet\)Gran conjunto canónico (ECM): En la CME, ambos\(E\) y\(N\) fluctúan, mientras\(T\)\(V\), y el potencial químico\(\mu\) permanecen fijos. Entonces\(\vrh=\RXi^{-1}\,e^{-\beta(\HH-\mu\HN)}\), ¿dónde\(\RXi=\Tra e^{-\beta(\HH-\mu\HN)}\) está la función de gran partición y\(\Omega=-\kT\ln\RXi\) está el gran potencial. Asumiendo\([\HH,\HN]=0\), podemos etiquetar estados tanto\(\sket{n}\) por energía como por número de partículas. Entonces\(P\ns_n=\RXi^{-1}\,e^{-\beta (E\ns_n-\mu N\ns_n)}\). También tenemos\(\Omega=E-TS-\mu N\), de ahí\(d\Omega=-S\,dT - p\,dV\,-N\,d\mu\).

\(\bullet\)Termodinámica: Desde\(E=\Tra(\vrh\>\HH)\), tenemos\(dE=\Tra(\HH\,d\vrh) + \Tra(\vrh\,d\HH)= \dbar Q - \dbar W\), dónde\(\dbar Q=T \, dS\) y

\[\dbar W = -\Tra(\vrh\>d\HH)=-\sum_n P\ns_n\sum_i {\pz E\ns_n\over\pz X\ns_i} \> dX\ns_i = \sum_i F\ns_i \> dX\ns_i\ ,\]

con\(P\ns_n=Z^{-1}e^{-E\ns_n/\kT}\). Aquí\(F\ns_i=-\big\langle{\pz\HH\over\pz X\ns_i}\big\rangle\) está la fuerza generalizada conjugada con el desplazamiento generalizado\(X\ns_i\).

\(\bullet\)Contacto térmico: En equilibrio, dos sistemas que pueden intercambiar energía satisfacen\(T\ns_1=T\ns_2\). Dos sistemas que pueden intercambiar volumen satisfacer\(p\ns_1/T\ns_1=p\ns_2/T\ns_2\). Dos sistemas que pueden intercambiar número de partículas satisfacen\(\mu\ns_1/T\ns_1=\mu\ns_2/T\ns_2\).

\(\bullet\)Relación Gibbs-Duhem: Dado que\(E(S,V,N)\) es extensa, el teorema de Euler para funciones homogéneas lo garantiza\(E=TS-pV+\mu N\). Tomando el diferencial, obtenemos la ecuación\(S\,dT - V dp + N d\mu=0\), por lo que debe haber una relación entre dos cualesquiera de las cantidades intensivas\(T\),\(p\), y\(\mu\).

\(\bullet\)Susceptibilidades generalizadas: Dentro de la OCE ¹\(\HH(\Blambda)=\HH\ns_0-\sum_i\lambda\ns_i\,\HQ\ns_i\), let, donde\(\HQ\ns_i\) son observables con\([\HQ\ns_i,\HQ\ns_j]=0\). Entonces

\[Q\ns_k(T,V,N;\Blambda)=\langle \HQ\ns_k\rangle = -{\pz F\over\pz\lambda\ns_k} \qquad,\qquad \xhi\ns_{kl}(T,V,N;\Blambda)={1\over V}\,{\pz Q\ns_k\over\pz\lambda\ns_l} = -{1\over V}\,{\pz^2\!F\over\pz\lambda\ns_k\, \pz\lambda\ns_l}\ .\]

Las cantidades\(\xhi\ns_{kl}\) son las susceptibilidades generalizadas.

\(\bullet\)Gases ideales: Para\(\HH=\sum_{i=1}^N{\Bp_i^2\over 2m}\), uno encuentra\(Z(T,V,N)={1\over N!} \big({V\over\lambda_T^d}\big)^N\), dónde\(\lambda\ns_T=\sqrt

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\) está la longitud de onda térmica. Así\(F=N\kT\ln(N/V)-\half d N\kT\ln T + Na\), donde\(a\) es una constante. De éste se encuentra\(p=-\pabc{F}{V}{\,T,N}=n\kT\), que es la ley de gas ideal, con\(n={N\over V}\) la densidad numérica. La distribución de velocidades en\(d=3\) dimensiones viene dada por

\[f(\Bv)=\Big\langle {1\over N}\sum_{i=1}^N \delta(\Bv-\Bv\ns_i\big)\Big\rangle = \bigg({m\over2\pi\kT}\bigg)^{3/2} e^{-m\Bv^2/2\kT}\ ,\]

y esto lleva a una distribución de velocidad\({\bar f}(v)=4\pi v^2 f(v)\).

\(\bullet\)Ejemplo: Para giros que\(N\) no interactúan en un campo magnético externo\(H\), el hamiltoniano es\(\HH=-\mu\ns_0 H\sum_{i=1}^N \sigma\ns_i\), dónde\(\sigma\ns_i=\pm 1\). Los giros, si están en una celosía, se consideran distinguibles. Entonces\(Z=\zeta^N\), donde\(\zeta=\sum_{\sigma=\pm 1} e^{\beta\mu\ns_0 H \sigma}= 2\cosh(\beta\mu\ns_0 H)\). La magnetización y susceptibilidad magnética son entonces

\[M=-\pabc{F}{H}{T,N}=N\mu\ns_0\tanh\!\bigg({\mu\ns_0 H\over\kT}\bigg) \qquad,\qquad \xhi={\pz M\over\pz H}={N\mu_0^2\over \kT}\>{sech}^2\bigg({\mu\ns_0 H\over\kT}\bigg)\ .\]

\(\bullet\)Ejemplo: Para partículas que no interactúan con energía cinética\({\Bp^2\over 2m}\) y grados de libertad internos\(Z\ns_N={1\over N!}\big({V\over\lambda_T^d}\big)^N\xi^N(T)\),, donde\(\xi(T)=\Tra e^{-\beta \Hh\ns_{int}}\) está la función de partición para los grados de libertad internos, que incluyen excitaciones rotacionales, vibracionales y electrónicas. Todavía se tiene\(pV=N\kT\), pero las capacidades de calor en constante\(V\) y\(p\) son

\[C\ns_V=T\pabc{S}{T}{V,N}=\half d N\kB - N T\vphi''(T) \qquad,\qquad C\ns_p=T\pabc{S}{T}{p,N}=C\ns_V+N\kB\ ,\]

donde\(\vphi(T)=-\kT\ln\xi(T)\).

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1. La generalización a la GCE es sencilla. ↩

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Notas al final

1. Escribimos el hamiltoniano como\(\HH\) (clásico o cuántico) para distinguirlo del campo magnético (\(H\)) o la entalpía\((\CH)\). ↩
2. Más sobre esto en el capítulo 5. ↩
3. El factor de\(\half\) precedencia\(\Omega\ns_M\) en la Ecuación [nrdos] aparece porque\(\delta(u^2-1)=\half\,\delta(u-1)+\half\,\delta(u+1)\). Ya que\(u=|\Bu|\ge 0\), se puede dejar caer el segundo término. ↩
4. Tenga en cuenta que para el argumento entero,\(\RGamma(k)=(k-1)!\) ↩
5. Ver §2.7.4. ↩
6. Ver T.-C. Lu y T. Grover, arXiv 1709.08784. ↩
7. Al aplicar la Ecuación [Eminussts] al denominador de la Ecuación [PEOCE], nos\(\CE'\) desplazamos\(E\) e integramos sobre la diferencia\(\delta\CE'\equiv\CE'-E\), conservando términos hasta el orden cuadrático\(\delta\CE'\) en el argumento del exponente. ↩
8. Al derivar la Ecuación [thermforce], hemos utilizado el llamado teorema de la mecánica cuántica de Feynman-Hellman:\(d\texpect{n}{\HH}{n}=\texpect{n}{\,d\HH\,}{n}\), si\(\tket{n}\) es un estado propio de energía. ↩
9. Nota bene nos preocupan solo las configuraciones clásicas de giro — ¡no hay superposición de estados permitidos en este modelo! ↩
10. Tenga en cuenta que si bien no podemos especificar simultáneamente los valores propios de dos componentes de\(\BL\) a lo largo de ejes fijos en el espacio, podemos especificar simultáneamente los componentes de\(\BL\) a lo largo de un eje fijo en el espacio y un eje que gira con un cuerpo. Véase Landau y Lifshitz, Mecánica Cuántica, §103. ↩
11. Ver §72 de Landau y Lifshitz, Mecánica Cuántica, que, en mi humilde estimación, es el libro de física más grande jamás escrito. ↩
12. Véase Landau y Lifshitz, Mecánica Cuántica, §86. ↩
13. Tenga en cuenta que no hay primo en la\(\Bk\) suma para\(F\), ya que hemos dividido el logaritmo de\(Z\) por dos y reemplazado la media suma por la suma total. ↩
14. La división hiperfina en hidrógeno es del orden de\((m\ns_\Re/m\ns_\Rp)\,\alpha^4\,m\ns_\Re c^2\sim 10^{-6}\,\) eV, que es del orden de\(0.01\,\) K. Aquí\(\alpha=e^2/\hbar c\) está la constante de estructura fina. ↩