5.3: Estados de entropía y conteo

Template:MathJaxArovas

Supongamos que vamos a dividir\(N\) las partículas entre\(J\) posibles estados de partículas individuales distintos. ¿De cuántas maneras\(\ROmega\) hay de lograr esta tarea? La respuesta depende de las estadísticas de las partículas. Si las partículas son fermiones, la respuesta es fácil:\(\ROmega\ns_\ssr{FD}={J\choose N}\). Para los bosones, el número de particiones posibles se puede evaluar a través del siguiente argumento. Imagina que alineamos todas las\(N\) partículas en una fila, y colocamos\(J-1\) barreras entre las partículas, como se muestra a continuación en la Figura [BeCount]. El número de particiones es entonces el número total de formas de colocar las\(N\) partículas entre estos\(N+J-1\) objetos (partículas más barreras), de ahí que tengamos\(\ROmega\ns_\ssr{BE}={N+J-1\choose N}\). Para las estadísticas de Maxwell-Boltzmann, tomamos\(\ROmega\ns_\ssr{MB}=J^N/N!\) Nota que no\(\ROmega\ns_\ssr{MB}\) es necesariamente un número entero, por lo que las estadísticas de Maxwell-Boltzmann no representan ningún recuento estatal real. Más bien, se manifiesta como un límite común de las distribuciones de Bose y Fermi, como hemos visto y volveremos a ver en breve.

[BeCount] Particionar\(N\) bosones en\(J\) posibles estados (\(N=14\)y\(J=5\) mostrados). Los puntos\(N\) negros representan bosones, mientras que los puntos\(J-1\) blancos representan marcadores que separan las diferentes poblaciones de partículas individuales. Aquí\(n_1=3\),\(n_2=1\),\(n_3=4\),\(n_4=2\), y\(n_5=4\).

La entropía en cada caso es simplemente\(S=\kB\ln\ROmega\). Asumimos\(N\gg 1\) y\(J\gg 1\), con\(n\equiv N/J\) finito. Entonces usando la aproximación de Stirling\(\ln(K!)=K\ln K - K + \CO(\ln K)\),, tenemos\[\begin{split} S\ns_\ssr{MB}&=-J\kB \, n\ln n \\ S\ns_\ssr{BE}&=-J\kB\big[ n\ln n - (1+n)\ln (1+n)\big] \bvph \\ S\ns_\ssr{FD}&=-J\kB\big[ n\ln n + (1-n)\ln (1-n)\big]\ . \end{split}\] En el límite Maxwell-Boltzmann,\(n\ll 1\), y las tres expresiones coinciden. Tenga en cuenta queR\[\begin{split} \pabc{S\ns_\ssr{MB}}{N}{J} &= -\kB \, \big( 1 + \ln n\big) \\ \pabc{S\ns_\ssr{BE}}{N}{J} &= \kB\ln\!\big(n^{-1}+1\big) \bvph \\ \pabc{S\ns_\ssr{FD}}{N}{J} &= \kB\ln\!\big(n^{-1}-1\big)\ . \end{split}\]

Ahora imaginemos agrupar el espectro de partículas individuales en intervalos de estados energéticos\(J\) consecutivos. Si\(J\) es finito y el espectro es continuo y estamos en el límite termodinámico, entonces estos estados serán todos degenerados. Por lo tanto, usando\(\alpha\) como etiqueta para las energías, tenemos que el gran potencial\(\Omega=E-TS-\mu N\) se da en cada caso por\[\begin{split} \Omega\ns_\ssr{MB} &= J\sum_\alpha \Big[ (\ve\ns_\alpha-\mu)\,n\ns_\alpha+\kT\,n\ns_\alpha\ln n\ns_\alpha\Big] \\ \Omega\ns_\ssr{BE} &= J\sum_\alpha \Big[ (\ve\ns_\alpha-\mu)\,n\ns_\alpha+\kT\,n\ns_\alpha\ln n\ns_\alpha -\kT\,(1+n\ns_\alpha)\ln (1+n\ns_\alpha)\Big] \\ \Omega\ns_\ssr{FD} &= J\sum_\alpha \Big[ (\ve\ns_\alpha-\mu)\,n\ns_\alpha+\kT\,n\ns_\alpha \ln n\ns_\alpha +\kT\,(1-n\ns_\alpha)\ln (1-n\ns_\alpha)\Big] \ . \end{split}\] Ahora, ¡he aquí! - tratando\(\Omega\) como una función de la distribución\(\{n\ns_\alpha\}\) y extremizante en cada caso, sujeto a la restricción del número total de partículas\(N=J\sum_\alpha n\ns_\alpha\), se obtienen las distribuciones Maxwell-Boltzmann, Bose-Einstein y Fermi-Dirac, respectivamente:\[{\delta\over\delta n\ns_\alpha}\Big(\Omega-\lambda \, J\sum_{\alpha'} n\ns_{\alpha'}\Big) = 0 \quad\Rightarrow \quad \begin{cases} n^\ssr{MB}_\alpha=e^{(\mu-\ve\ns_\alpha)/k\ns_\RB T} \\ \\ n^\ssr{BE}_\alpha=\big[e^{(\ve\ns_\alpha-\mu)/k\ns_\RB T}-1\big]^{-1}\\ \\ n^\ssr{FD}_\alpha=\big[e^{(\ve\ns_\alpha-\mu)/k\ns_\RB T}+1\big]^{-1} \ . \end{cases}\] Siempre y cuando\(J\) sea finito , por lo que los estados en cada bloque permanecen todos con la misma energía, los resultados son independientes de\(J\).