5.5: Estadísticas de fotones

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Termodinámica del gas fotón

Existe cierta clase de partículas, incluyendo fotones y ciertas excitaciones elementales en sólidos como fonones (vibraciones de celosía) y magnones (ondas de espín) que obedecen a estadísticas bosónicas pero con cero potencial químico. Esto se debe a que su número total no se conserva (bajo condiciones típicas) — los fotones pueden ser emitidos y absorbidos por los átomos en la pared de un contenedor, el número de fonones y magnones tampoco se conserva debido a diversos procesos, en tales casos, la energía libre alcanza su valor mínimo con respecto a número de partícula cuando

\[\mu=\pabc{F}{N}{T.V}=0\ .\]

La distribución numérica, de la ecuación\ ref {benum}, es entonces

\[n(\ve)={1\over e^{\beta\ve}-1}\ .\]

La función de gran partición para un sistema de partículas con\(\mu=0\) es

\[\Omega(T,V)= V\kT\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\,g(\ve)\,\ln\big(1-e^{-\ve/\kT}\big)\ ,\]

donde\(g(\ve)\) es la densidad de estados por unidad de volumen.

Supongamos que la dispersión de partículas es\(\ve(\Bp)=A|\Bp|^\sigma\). Podemos calcular la densidad de estados\(g(\ve)\):

\[\begin{split} g(\ve)&=\Sg\!\int\!\!{d^d\!p\over h^d}\>\delta\big(\ve-A|\Bp|^\sigma\big) ={\Sg\Omega\ns_d\over h^d}\!\int\limits_0^\infty\!\!dp\>p^{d-1}\,\delta(\ve-Ap^\sigma)\\ &={\Sg\Omega\ns_d\over \sigma h^d}\,A\nsub^{-{d\over \sigma}}\!\!\int\limits_0^\infty\!\!dx\> x^{d\over \sigma -1}\>\delta(\ve-x) ={2\,\Sg\over \sigma\,\RGamma(d/2)}\bigg({\sqrt{\pi}\over h A\nsub^{1/\sigma}}\bigg)^{\!\!d}\, \ve\nsub^{{d\over \sigma}-1}\,\RTheta(\ve)\quad , \end{split}\]

donde\(\Sg\) está la degeneración interna, debida, por ejemplo, a diferentes estados de polarización del fotón. Hemos utilizado el resultado\(\Omega\ns_d=2\pi^{d/2}\big/\RGamma(d/2)\) para el ángulo sólido en\(d\) dimensiones. La función de paso\(\RTheta(\ve)\) es quizás demasiado formal, pero nos recuerda que el espectro energético está delimitado desde abajo por\(\ve=0\), no hay estados energéticos negativos.

Para el fotón, tenemos\(\ve(\Bp)=cp\), de ahí\(\sigma=1\) y

\[g(\ve)={2\Sg\,\pi^{d/2}\over\RGamma(d/2)}\,{\ve^{d-1}\over (hc)^d}\>\RTheta(\ve)\ .\]

En\(d=3\) dimensiones la degeneración es\(\Sg=2\), el número de estados de polarización independientes. Después\(p(T)\) se obtiene la presión utilizando\(\Omega=-pV\). Tenemos

\[\begin{split} p(T)&=-\kT\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\,g(\ve)\,\ln\big(1-e^{-\ve/\kT}\big)\\ &=-{2\,\Sg\,\pi^{d/2}\over\RGamma(d/2)}\,(hc)^{-d}\,\kT\!\int\limits_0^\infty\!\!d\ve\,\ve\nsub^{d-1}\,\ln\big(1-e^{-\ve/\kT}\big)\\ &=-{2\,\Sg\,\pi^{d/2}\over\RGamma(d/2)}\,{(\kT)^{d+1}\over(hc)^{d}}\!\!\int\limits_0^\infty\!\!dt\> t^{d-1}\ln\big(1-e^{-t}\big)\ . \end{split}\]

Podemos avanzar con la integral adimensional:

\[\begin{split} \CI\ns_d&\equiv -\int\limits_0^\infty\!\!dt\> t^{d-1}\ln\big(1-e^{-t}\big)\\ &=\sum_{n=1}^\infty{1\over n}\int\limits_0^\infty\!\!dt\>t^{d-1}\,e^{-nt}\\ &=\RGamma(d)\sum_{n=1}^\infty{1\over n^{d+1}}=\RGamma(d)\,\zeta(d+1)\ . \end{split}\]

Finalmente, invocamos un resultado de las matemáticas de la función gamma conocida como la fórmula de duplicación,

\[\RGamma(z)={2^{z-1}\over\sqrt{\pi}}\,\RGamma\big(\frac{z}{2}\big)\,\RGamma\big(\frac{z+1}{2}\big)\ .\]

Poniéndolo todo junto, encontramos

\[p(T)=\Sg\,\pi\nsub^{-{1\over 2}(d+1)}\,\RGamma\big(\frac{d+1}{2}\big)\,\zeta(d+1)\,{(\kT)^{d+1}\over (\hbar c)^d}\ . \label{photp}\]

Se encuentra que la densidad numéricaes

\[\begin{split} n(T)&=\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\,{g(\ve)\over e^{\ve/\kT}-1}\\ &=\Sg\,\pi\nsub^{-{1\over 2}(d+1)}\,\RGamma\big(\frac{d+1}{2}\big)\,\zeta(d)\,\bigg({\kT\over\hbar c}\bigg)^{\!\!d}\ . \end{split}\]

Para fotones en\(d=3\) dimensiones, tenemos\(\Sg=2\) y así

\[n(T)={2\,\zeta(3)\over\pi^2}\,\bigg({\kT\over\hbar c}\bigg)^{\!\!3}\qquad,\qquad p(T)={2\,\zeta(4)\over\pi^2}\,{(\kT)^4\over(\hbar c)^3}\ .\]

Resulta que\(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\).

Tenga en cuenta que\(\hbar c/\kB=0.22855\,{cm}\cdot\RK\), entonces

\[{\kT\over\hbar c}=4.3755\,T[\RK]\,{cm}^{-1}\quad\Longrightarrow\quad n(T)=20.405\times T^3[\RK^3]\,{cm}^{-3}\ .\]

Para encontrar la entropía, usamos Gibbs-Duhem:

\[d\mu=0=-s\,dT + v\,dp \quad\Longrightarrow\quad s=v\,{dp\over dT}\ ,\]

donde\(s\) es la entropía por partícula y\(v=n^{-1}\) es el volumen por partícula. Luego encontramos

\[s(T)=(d\!+\!1)\,{\zeta(d\!+\!1)\over\zeta(d)}\>\kB\ .\]

La entropía por partícula es constante. La energía interna es

\[E=-{\pz\ln\Xi\over\pz\beta}=-{\pz\over\pz\beta}\big(\beta pV)= d\cdot p \,V\ , \label{photE}\]

y por lo tanto la energía por partícula es

\[\ve={E\over N}=d \cdot p v = {d\cdot\zeta(d\!+\!1)\over\zeta(d)}\>\kT\ .\]

Argumentos clásicos para el gas fotón

Una serie de propiedades termodinámicas del gas fotón se pueden determinar a partir de argumentos puramente clásicos. Aquí recapitulamos algunos importantes.

• Supongamos que nuestro gas fotón está confinado a una caja rectangular de dimensiones\(L\ns_x\times L\ns_y\times L\ns_z\). Supongamos además que las dimensiones están todas expandidas por un factor\(\lambda^{1/3}\), el volumen se expande isotrópicamente por un factor de\(\lambda\). Los modos de cavidad de la radiación electromagnética tienen vectores de onda cuantificados, incluso dentro de la teoría electromagnética clásica, dados por

  \[\Bk=\bigg({2\pi n\ns_x\over L\ns_x}\,,\,{2\pi n\ns_y\over L\ns_y}\,,\,{2\pi n\ns_z\over L\ns_z}\bigg)\ .\]

  Dado que la energía para un modo dado es\(\ve(\Bk)=\hbar c |\Bk|\), vemos que la energía cambia por un factor\(\lambda^{-1/3}\) bajo una expansión adiabática de volumen\(V\to\lambda V\), donde la distribución de diferentes ocupaciones de modo electromagnético permanece fija. Por lo tanto,

  \[V\pabc{E}{V}{S}=\lambda\pabc{E}{\lambda}{S}=-\third E\ .\]

  Por lo tanto,

  \[p=-\pabc{E}{V}{S}={E\over 3V}\ ,\]

  como encontramos en la Ecuación [PhoTe]. Ya que\(E=E(T,V)\) es extenso, debemos tener\(p=p(T)\) solos.
• Ya que\(p=p(T)\) solos, tenemos

  \[\begin{split} \pabc{E}{V}{T}&=\pabc{E}{V}{p}=3p\\ &=T\pabc{p}{T}{V}-p\ , \end{split}\]

  donde la segunda línea sigue la relación Maxwell\(\big(\frac{\pz S}{\pz V}\big)\nd_p=\big(\frac{\pz p}{\pz T}\big)\nd_V\), luego de invocar la Primera Ley\(dE=T dS-p\,dV\). Por lo tanto,

  \[T\,{dp\over dT}=4p \quad\Longrightarrow\quad p(T)=A\,T^4\ ,\]

  donde\(A\) es una constante. Así, recuperamos la dependencia de temperatura encontrada microscópicamente en la Ecuación [photp].
• Dada una densidad de energía\(E/V\), el flujo de energía diferencial emitido en una dirección\(\theta\) relativa a una normal de superficie es

  \[d j\ns_\ve=c\cdot{E\over V}\cdot\cos\theta\cdot{d\Omega\over 4\pi}\ , \label{jephoton}\]

  donde\(d\Omega\) está el ángulo sólido diferencial. Así, la potencia emitida por unidad de área es

  \[{dP\over dA}={c E\over 4\pi V}\!\int\limits_0^{\pi/2}\!\!\!d\theta\!\!\int\limits_0^{2\pi}\!\!d\phi\,\sin\theta\cdot\cos\theta= {c E\over 4V}=\frac{3}{4}\,c\,p(T)\equiv\sigma\,T^4\ ,\]

  donde\(\sigma=\frac{3}{4} c A\), con\(p(T)=A\,T^4\) como encontramos anteriormente. A partir de consideraciones mecánicas estadísticas cuánticas, tenemos

  \[\sigma={\pi^2 k_\ssr{B}^4\over 60\,c^2\,\hbar^3}=5.67\times 10^{-8}\,{\RW\over\Rm^2\,\RK^4} \label{stefan}\]

  es la constante de Stefan.

Temperatura superficial de la tierra

Derivamos el resultado\(P=\sigma T^4\cdot A\) donde\(\sigma=5.67\times 10^{-8}\,\RW/\Rm^2\,\RK^4\) para la potencia emitida por un 'cuerpo negro' electromagnético. Apliquemos este resultado al sistema tierra-sol. Necesitaremos tres longitudes: el radio del sol\(R\ns_\odot=6.96\times 10^8\,\Rm\), el radio de la tierra\(R\ns_\Re=6.38\times 10^6\,\Rm\) y el radio de la órbita terrestre\(a\ns_\Re=1.50\times 10^{11}\,\Rm\). Supongamos que la tierra ha alcanzado una temperatura de estado estacionario de\(T\ns_\Re\). Equilibramos el poder total incidente sobre la tierra con el poder irradiado por la tierra. El incidente de poder sobre la tierra es

\[P\ns_{incident}={\pi R_\Re^2\over 4\pi a_\Re^2}\cdot\sigma T_\odot^4\cdot 4\pi R_\odot^2= {R_\Re^2\,R_\odot^2\over a_\Re^2}\cdot \pi\sigma T_\odot^4\ .\]

El poder irradiado por la tierra es

\[P\ns_{radiated}=\sigma T_\Re^4\cdot 4\pi R_\Re^2\ .\]

Ajuste\(P\ns_{incident}=P\ns_{radiated}\), obtenemos

\[T\ns_\Re=\bigg({R\ns_\odot\over 2\,a\ns_\Re}\bigg)^{\!\!1/2}\,T\ns_\odot\ .\]

Así, encontramos\(T\ns_\Re=0.04817\,T\ns_\odot\), y con\(T\ns_\odot=5780\,\RK\), obtenemos\(T\ns_\Re=278.4\,\RK\). La temperatura media de la superficie de la tierra es\({\bar T}\ns_\Re=287\,\RK\), que sólo es aproximadamente\(10\,\RK\) mayor. La diferencia se debe a que la tierra no es un cuerpo negro perfecto, un objeto que absorbe toda la radiación incidente sobre ella y emite radiación según la ley de Stefan. Como saben, la atmósfera terrestre vuelve a trazar una fracción de la radiación emitida, fenómeno conocido como efecto invernadero.

[Planck] Densidad espectral\(\rho_\ve(\nu,T)\) para radiación de cuerpo negro a tres temperaturas.

Distribución de la radiación de cuerpo negro

Recordemos que la frecuencia de una onda electromagnética de onda\(\Bk\) es\(\nu=c/\lambda=ck/2\pi\). Por lo tanto el número de fotones\(\CN\ns_T(\nu,T)\) por unidad de frecuencia en equilibrio termodinámico es (recuerde que hay dos estados de polarización)

\[\CN(\nu,T)\,d\nu={2\, V \over 8\pi^3}\cdot{d^3\!k\over e^{\hbar ck/\kT}-1} = {V\over\pi^2}\cdot{ k^2\,dk\over e^{\hbar ck/\kT}-1} \ .\]

Por lo tanto, tenemos

\[\CN(\nu,T)={8\pi V\over c^3}\cdot{\nu^2\over e^{h\nu/\kT}-1}\ .\]

Dado que un fotón de frecuencia\(\nu\) transporta energía\(h\nu\), la energía por unidad de frecuencia\(\CE(\nu)\) es

\[\CE(\nu,T)={8\pi hV\over c^3}\cdot{\nu^3\over e^{h\nu/\kT}-1}\ .\]

Observe lo que sucede si la constante de Planck\(h\) desaparece, como lo hace en el límite clásico. Entonces se puede escribir el denominador

\[e^{h\nu/\kT}-1={h\nu\over \kT} + \CO(h^2)\]

y

\[\CE\ns_\ssr{CL}(\nu,T)=\lim_{h\to 0} \CE(\nu)=V\cdot{8\pi\kT\over c^3}\,\nu^2\ .\]

En la teoría electromagnética clásica, entonces, la energía total integrada en todas las frecuencias diverge. Esto se conoce como la catástrofe ultravioleta, ya que la divergencia proviene de la gran\(\nu\) parte de la integral, que en el espectro óptico se encuentra la porción ultravioleta. Con la cuantificación, el factor Bose-Einstein impone un corte ultravioleta efectivo\(\kT/h\) en la integral de frecuencia, y la energía total, como encontramos anteriormente, es finita:

\[E(T)=\int\limits_0^\infty\!\!d\nu\>\CE(\nu)=3pV=V\cdot{\pi^2\over 15}\,{(\kT)^4\over (\hbar c)^3}\ .\]

Podemos definir la densidad espectral\(\rho\ns_\ve(\nu)\) de la radiación como

\[\rho\ns_\ve(\nu,T)\equiv {\CE(\nu,T)\over E(T)}={15\over\pi^4}\,{h\over\kT}\,{(h\nu/\kT)^3\over e^{h\nu/\kT}-1}\]

por lo que\(\rho\ns_\ve(\nu,T)\,d\nu\) es la fracción de la energía electromagnética, en condiciones de equilibrio, entre frecuencias\(\nu\) y\(\nu+d\nu\),\(\int\limits_0^\infty \!d\nu\,\rho\ns_\ve(\nu,T)=1\). En la Figura [Planck] representamos esto en la Figura [Planck] para tres temperaturas diferentes. El máximo ocurre cuando\(s\equiv h\nu/\kT\) satisface

\[{d\over ds}\bigg( {s^3\over e^s-1} \bigg)= 0 \qquad\Longrightarrow\qquad {s\over 1-e^{-s}}=3 \qquad\Longrightarrow\qquad s=2.82144\ .\]

¿Y si el sol emite ondas de giro ferromagnéticas?

Vimos en la Ecuación [jephoton] que la potencia emitida por unidad de superficie por un cuerpo negro es\(\sigma T^4\). La ley del poder aquí se desprende de la dispersión ultrarelativista\(\ve=\hbar ck\) de los fotones. Supongamos que sustituimos esta dispersión por la forma general\(\ve=\ve(\Bk)\). Ahora considere una caja grande en equilibrio a temperatura\(T\). La corriente de energía incidente en un área diferencial\(dA\) de superficie normal a\(\zhat\) es

\[dP=dA\cdot\!\int\!\!{d^3\!k\over (2\pi)^3}\>\RTheta(\cos\theta)\cdot\ve(\Bk)\cdot {1\over\hbar} {\pz \ve(\Bk)\over\pz k\ns_z}\cdot{1\over e^{\ve(\Bk)/k\ns_\RB T}-1}\ .\]

Asumamos una dispersión isotrópica de la ley de poder de la forma\(\ve(\Bk)=C k^\alpha\). Luego, después de un cálculo sencillo obtenemos

\[{dP\over dA}=\sigma\,T^{2+{2\over\alpha}}\ ,\]

donde

\[\sigma=\zeta\big(2+\frac{2}{\alpha}\big)\,\RGamma\big(2+\frac{2}{\alpha}\big)\cdot {\Sg \, k_\RB^{2+{2\over\alpha}} \, C^{-{2\over\alpha}}\over 8\pi^2\hbar}\ .\]

Se puede verificar eso para\(\Sg=2\),\(C=\hbar c\), y\(\alpha=1\) que este resultado se reduce al de Ecuación [stefan].