5.S: Resumen

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Referencias

• F. Reif, Fundamentos de la Física Estadística y Térmica (McGraw-Hill, 1987) Este ha sido quizás el texto de pregrado más popular desde que apareció por primera vez en 1967, y con buena razón.
• A. H. Carter, Termodinámica Clásica y Estadística (Benjamin Cummings, 2000) Un tratamiento muy relajado apropiado para las carreras de licenciatura en física.
• D. V. Schroeder, An Introduction to Thermal Physics (Addison-Wesley, 2000) Este es el mejor libro de termodinámica de pregrado que he encontrado, pero solo el 40% del libro trata de mecánica estadística.
• C. Kittel, Elementary Statistical Physics (Dover, 2004) Sorprendentemente nítido, aunque anticuado, este texto está organizado como una serie de breves discusiones sobre conceptos y ejemplos clave. Publicado por Dover, para que no puedas superar el precio.
• R. K. Pathria, Mecánica estadística (\(2^{nd}\)edición, Butterworth-Heinemann, 1996) Este popular texto de nivel de posgrado contiene muchas derivaciones detalladas que son útiles para el estudiante.
• M. Plischke y B. Bergersen, Equilibrium Statistical Physics (\(3^{rd}\)edición, World Scientific, 2006) Un excelente texto de nivel de posgrado. Menos perspicaz que Kardar pero sigue siendo un buen tratamiento moderno del tema. Buena discusión de la teoría del campo medio.
• E. M. Lifshitz y L. P. Pitaevskii, Física Estadística (parte I,\(3^{rd}\) edición, Pérgamo, 1980) Se trata del volumen 5 del famoso Curso de Física Teórica Landau y Lifshitz. Aunque anticuado, todavía contiene una gran cantidad de información y perspicacia física.

Resumen

\ def\ tpar {t\ ns_\ paralelo}\ def\ mhat {\ hat\ Bm}\ parindent=0pt\ renovmand*\ rmdefault {ppl}\ normalfont\ upshape\ physgreek\ font\ seventeenbf=cmbx10 escalado\ magstep3\ setcounter {section} {4}\ section {Quantum Statistics: Resumen} $\ bullet$ {\ it Los hamiltonianos de segunda cuantización\/}: Un sistema cuántico que no interactúa descrito por un Hamiltoniano $\ HH=\ sum_\ alpha\ ve\ ns_\ alpha\,\ Hn\ ns_\ alpha$, donde $\ ve\ ns_\ alpha$ es el valor propio de energía para el estado de partícula única $\ psi\ ns_\ alpha$ (posiblemente degenerado), y $\ Hn\ ns_\ alpha$ es el operador numérico. Muchos estados propios del cuerpo $\ tket {\ Vn} $ están etiquetados por el conjunto de ocupaciones $\ Vn=\ {n\ ns_\ alpha\} $, con $\ Hn\ ns_\ alpha\,\ tket {\ Vn} =n\ ns_\ alpha\ tket {\ Vn} $. Así, $\ HH\,\ tket {\ Vn} =E\ ns_\ Vn\ >\ tket {\ Vn} $, donde $E\ ns_\ Vn=\ sum_\ alpha n\ ns_\ alpha\,\ ve\ ns_\ alpha$. $\ bullet$ {\ it Bosones y fermiones\/}: Los valores permitidos para $n\ ns_\ alpha$ son $n\ ns_\ alpha\ in\ {0,1,2,\ ldots,\ infty\} $ para bosones y $n\ ns_\ alpha\ in\ {0,1\} $ para fermiones. $\ bullet$ {\ it Gran conjunto canónico\/}: Debido a la restricción $\ sum_\ alpha n\ ns_\ alpha=n$, el conjunto canónico ordinario es inconveniente. Más bien, usamos el gran conjunto canónico, en cuyo caso\ begin {ecuación*}\ Omega (T, V,\ mu) =\ pm\ kT\,\ sum_\ alpha\ ln\! \ Grande (1\ mp e^ {- (\ ve\ ns_\ alpha-\ mu)/\ kT}\ Grande)\,\ end {ecuación*} donde el signo superior corresponde a bosones y el signo inferior a fermiones. El número promedio de partículas que ocupan el estado de partícula única $\ psi\ ns_\ alpha$ es entonces\ begin {ecuation*}\ langle\ Hn\ ns_\ alpha\ rangle= {\ pz\ Omega\ over\ pz\ ve\ ns_\ alpha} = {1\ over e^ {(\ ve\ ns_\ alpha-\ mu)/\ kT}\ mp 1}\. \ end {equation*} En el límite de Maxwell-Boltzmann, $\ mu\ ll -\ kt$ y $\ langle n\ ns_\ alpha\ rangle = z\, e^ {-\ ve\ ns_\ alpha/\ kT} $, donde $z=e^ {\ mu/\ kT} $ es la fugacidad. Tenga en cuenta que este límite de baja densidad es común tanto a los bosones como a los fermiones. $\ bullet$ {\ it Densidad de partículas individuales de estados\/}: La densidad de partículas individuales de estados por unidad de volumen se define como\ begin {equation*} g (\ ve) = {1\ over V}\ Tra\,\ delta (\ ve-\ Hh) = {1\ over V}\ sum_\ alpha\ delta (\ ve-\ ve\ ns_\ alpha)\,\ end {equation*} donde $\ Hh$ es el hamiltoniano de un solo cuerpo. Si $\ Hh$ es isotrópico, entonces $\ ve=\ ve (k) $, donde $k=|\ Bk|$ es la magnitud del vector de ondas, y\ begin {equation*} g (\ ve) = {\ Sg\,\ Omega\ ns_d\ over (2\ pi) ^d}\, {k^ {d-1}\ over {d\ ve/dk}\,\ end {equation*} donde $\ Sg$ es la degeneración de cada estado de energía de partícula individual (debido al giro, por ejemplo). $\ bullet$ {\ it Expansión virial cuántica\/}: A partir de $\ omega=-PV$, tenemos\ begin {align*} n (T, z) &=\ int\ limits_ {-\ infty} ^\ infty\! \! \! d\ ve\ > {g (\ ve)\ sobre z^ {-1}\, e^ {\ ve/\ kT}\ mp 1} =\ sum_ {j=1} ^\ infty (\ pm 1) ^ {j-1}\, z^j\, C\ ns_j (T)\\ {p (T, z)\ over\ kT} &=\ mp\! \! \ int\ límites_ {-\ infty} ^\ infty\! \! \! d\ ve\ >g (\ ve)\,\ ln\! \ grande (1\ mp z\, e^ {-\ ve/\ kT}\ grande) =\ suma_ {j=1} ^\ infty (\ pm 1) ^ {j-1}\, {z^j\ over j}\, C\ ns_j (T)\,\ end {align*} donde\ comenzar {ecuación*} C\ ns_j (T) =\ int\ límites _ {-\ infty} ^\ infty\! \! \! d\ ve\, g (\ ve)\, e^ {-j\ ve/\ kT}\. \ end {equation*} Ahora uno invierte $n=n (T, z) $ para obtener $z=z (T, n) $, luego sustituye esto en $p=p (T, z) $ para obtener una expansión en serie para la ecuación de estado,\ begin {equation*} p (T, n) =n\ kT\ Big (1 + B\ ns_2 (T)\, n + B\ ns_2 (T)\, n + B\ ns_3 (T)\, n^2 +\ lpuntos\ Grandes)\. \ end {equation*} Los coeficientes $B\ ns_j (T) $ son los {\ it coeficientes virial\/}. Uno encuentra\ begin {ecuación*} B\ ns_2=\ mp {C\ ns_2\ sobre 2 C_1^2}\ qquad,\ qquad B\ ns_3= {C_2^2\ sobre C_1^4} - {2\, C_3\ sobre 2\, C_1^3}\. \ end {equation*} $\ bullet$ {\ it Estadísticas de fotones\/}: Los fotones son excitaciones bosónicas cuyo número no se conserva, de ahí $\ mu=0$. La distribución numérica para las estadísticas de fotones es entonces $n (\ ve) =1/ (e^ {\ beta\ ve} -1) $. Ejemplos de partículas que obedecen a las estadísticas de fotones incluyen fonones (vibraciones de celosía), magnones (ondas de espín) y por supuesto los propios fotones, para los cuales $\ ve (k) =\ hbar c k$ con $\ Sg=2$. La presión y densidad numérica para el gas fotón obedecen a $p (T) = A\ ns_d\, T^ {d+1} $ y $n (T) =A'_d\, t^d$, donde $d$ es la dimensión del espacio y $A\ ns_d$ y $A'_d$ son constantes. $\ bullet$ {\ it Radiación de cuerpo negro\/}: La densidad de energía por unidad de frecuencia de un cuerpo negro tridimensional se da {P by\ begin {equation*}\ ve (\ nu, T) = {8\ pi h\ over c^3}\ cdot {\ nu^3\ over e^ {h\ nu/\ kT} -1}\. \ end {ecuation*} La potencia total emitida por unidad de área de un cuerpo negro es $ {dP\ sobre dA} =\ sigma T^4$, donde $\ sigma=\ pi^2 k_\ ssr {B} ^4/60\ hbar^3 c^2 =5.67\ times 10^ {-8}\,\ Rw/\ Rm^2\,\ RK^4$ es la constante de Stefan. $\ bullet$ {\ it Gas Bose ideal\/}: Para los sistemas Bose, debemos tener $\ ve\ ns_\ alpha >\ mu$ para todos los estados de partículas individuales. La densidad numérica es\ begin {ecuación*} n (T,\ mu) =\ impi d\ ve\, {g (\ ve)\ sobre e^ {\ beta (\ ve-\ mu)} - 1}\. \ end {equation*} Esta es una función creciente de $\ mu$ y una función creciente de $T$. Para $T$ fijos, el valor más grande que puede alcanzar $n (T,\ mu) $ es $n (T,\ ve\ ns_0) $, donde $\ ve\ ns_0$ es la energía de partícula única más baja posible, para lo cual $g (\ ve) =0$ por $\ ve <\ ve\ ns_0$. Si $n\ ns_\ Rc (T)\ equiv n (T,\ ve\ ns_0) <\ infty$, esto establece una {\ it densidad crítica\/} por encima de la cual hay {\ it Bose condensación\/} en el estado de energía $\ ve\ ns_0$. Por el contrario, para una densidad dada $n$ hay una {\ it temperatura crítica\/} $T\ ns_\ Rc (n) $ tal que $n\ ns_0$ es finito para $t<t\ ns_\ rc$\,. >T\ ns_\ Rc$, $n (T,\ mu) $ viene dado por la fórmula integral anterior, con $n\ ns_0=0$. Para una dispersión balística $\ ve (\ Bk) =\ hbar^2\ BK^2/2m$, se encuentra $n\ lambda_ {T\ ns_\ Rc} ^d=\ Sg\,\ zeta (d/2) $,\ ie\ $\ kB T\ ns_\ Rc= {2\ pi\ hbar^2\ over m}\ left (n\ big/\\,\ zeta (d/2)\ derecha) ^ {2/d} $. Para $TT<t\ ns_\ rc (n) $, >\ ns_\ Rc (n) $, uno tiene $n=\ Sg\, {Li}\ ns_ {d\ over 2} (z)\,\ lambda_t^ {-d} $ y $p=\ Sg\, {Li}\ ns_ {{d\ over 2} +1} (z)\,\ kT\,\ lambda_t^ {-d} $, donde\ comenzar {ecuación*} {Li}\ ns_q (z)\ equiv\ suma_ {n=1} ^\ infty {z^n\ over n\ nsub^q}. \ end {equation*} $\ bullet$ {\ it Gas Fermi Ideal\/}: La distribución de Fermi es $n (\ ve) =f (\ ve-\ mu) =1\ big/\! \ izquierda (e^ {(\ ve-\ mu)/\ kT} +1\ derecha) $. En $T=0$, esta es una función de paso: $n (\ ve) =\ rTheta (\ mu-\ ve) $, y $n=\ int\ limits_ {-\ infty} ^\ mu\! \! d\ ve\ >g (\ ve) $. El potencial químico a $T=0$ se llama el {\ it Fermi energy\/}: $\ mu (T=0, n) =\ vEF (n) $. Si la dispersión es $\ ve (\ Bk) $, el locus de $\ Bk$ valores que satisfacen $\ ve (\ Bk) =\ vef$ se llama la {\ it Fermi surface\/}. Para una dispersión isotrópica y monótona $\ ve (k) $, la superficie Fermi es una esfera de radio $\ kf$, el {\ it Fermi wavevector\/}. Para sistemas tridimensionales isotrópicos, $\ kF= (6\ pi^2 n/\ Sg) ^ {1/3} $. $\ bullet$ {\ it Sommerfeld expansion\/}: Vamos $\ phi (\ ve) = {d\ phi\ over d\ ve} $. Entonces\ comienza {alinear*}\ impi d\ ve\ >f (\ ve-\ mu)\ >\ phi (\ ve) &=\ pi D\ csc (\ pi D)\,\ Phi (\ mu)\\ &=\ Bigg\ {1+ {\ pi^2\ over 6}\, (\ kT) ^2\, {d^2\ sobre d\ mu^2} + {7\ pi^4\ over 360}\, (\ kT) ^4\, {d^4\ sobre d\ mu^4} +\ ldots\ Bigg\}\ Phi (\ mu)\,\ end {align*} donde $D=\ kT\, {d\ sobre d\ mu} $. Luego se encuentra, por ejemplo, $C\ nS_v=\ gamma V T$ con $\ gamma=\ third\ pi^2 k_\ ssr {B} ^2\, g (\ vEF) $.