5.11: Apéndice III- Ejemplo Problema de Condensación Bose

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Un gas tridimensional de partículas bosónicas que no interactúan obedece a la relación de dispersión\(\ve(\Bk)\,=A\,\big|\Bk\big|^{1/2}\).

• Obtener una expresión para la densidad\(n(T,z)\) donde\(z=\exp(\mu/\kT)\) está la fugacidad. Simplifica tu expresión lo mejor que puedas, adimensionalizando cualquier suma integral o infinita que pueda aparecer. Puede resultarle conveniente definir\[{Li}\ns_\nu(z)\equiv{1\over\RGamma(\nu)}\int\limits_0^\infty\!\! dt\>{t^{\nu-1}\over z^{-1}\,e^t -1} =\sum_{k=1}^\infty {z^k\over k^\nu}\ . \label{zetadef}\] Note\({Li}\nd_\nu(1)=\zeta(\nu)\), la función zeta de Riemann.
• Encuentre la temperatura crítica para la condensación de Bose,\(T_\Rc(n)\). Tu expresión solo debe incluir la densidad\(n\), la constante\(A\), las constantes físicas y los factores numéricos (que pueden expresarse en términos de integrales o sumas infinitas).
• ¿Cuál es la densidad del condensado\(n\nd_0\) cuando\(T=\half\,T_\Rc\)?
• ¿Esperas que el segundo coeficiente virial sea positivo o negativo? Explica tu razonamiento. (No tienes que hacer ningún cálculo).

Trabajamos en el gran conjunto canónico, utilizando estadísticas de Bose-Einstein.

• La densidad para las partículas de Bose-Einstein viene dada por\[\begin{split} n(T,z)&=\int\!\!{d^3\!k\over (2\pi)^3}\,{1\over z^{-1}\,\exp(Ak^{1/2}/\kT)-1}\\ &={1\over\pi^2}\bigg({\kT\over A}\bigg)^{\!\!6}\int\limits_0^\infty\!\!ds\,{s^5\over z^{-1}\,e^s-1}\\ &={120\over\pi^2}\bigg({\kT\over A}\bigg)^{\!\!6}\> {Li}\nd_6(z)\ , \end{split}\] donde hemos cambiado las variables de integración de\(k\) a\(s= Ak^{1/2}/\kT\), y hemos definido las funciones\({Li}\ns_\nu(z)\) como arriba, en la Ecuación [zetadef]. Tenga en cuenta\({Li}\nd_\nu(1)=\zeta(\nu)\), la función zeta de Riemann.
• La condensación de Bose establece en\(z=1\),\(\mu=0\). Así, la temperatura crítica\(T_\Rc\) y la densidad\(n\) están relacionadas por\[n={120\,\zeta(6)\over \pi^2}\bigg({\kT_\Rc\over A}\bigg)^{\!\!6},\] o\[T_\Rc(n)={A\over \kB}\bigg({\pi^2\,n\over 120\,\zeta(6)}\bigg)^{\!\!1/6}\ .\]
• Porque\(T<T_\Rc\), tenemos\[\begin{split} n&=n\nd_0+{120\,\zeta(6)\over\pi^2}\bigg({\kT\over A}\bigg)^{\!\!6}\\ &=n\nd_0+\bigg({T\over T_\Rc}\bigg)^{\!\!6}\,n\ , \end{split}\] donde\(n\nd_0\) está la densidad del condensado. Así, en\(T=\half\,T_\Rc\),\[n\nd_0\big(T=\half T_\Rc\big)=\frac{63}{64}\,n.\]
• La expansión virial de la ecuación de estado es\[p=n\kT\Big(1 + B_2(T)\,n + B_3(T)\,n^2 + \ldots\Big)\ .\] Esperamos\(B_2(T)<0\) para los bosones que no interactúan, reflejando la tendencia de los bosones a condensarse. (Correspondientemente, para fermiones que no interactúan esperamos\(B_2(T)>0\).)

  Para los curiosos, calculamos\(B_2(T)\) eliminando la fugacidad\(z\) de las ecuaciones para\(n(T,z)\) y\(p(T,z)\). Primero, encontramos\(p(T,z)\):\[\begin{split} p(T,z)&=-\kT\!\int\!\!{d^3\!k\over (2\pi)^3}\,\ln\Big(1- z\,\exp(-Ak^{1/2}/\kT)\Big)\\ &=-{\kT\over\pi^2}\bigg({\kT\over A}\bigg)^{\!\!6}\int\limits_0^\infty\!\!ds\,s^5\,\ln\big(1-z\,e^{-s}\big)\\ &={120\,\kT\over \pi^2}\bigg({\kT\over A}\bigg)^{\!\!6} {Li}\nd_7(z). \end{split}\] Ampliando en poderes de la fugacidad, tenemos\[\begin{split} n&={120\over \pi^2}\,\bigg({\kT\over A}\bigg)^{\!\!6}\,\Big\{z+{z^2\over 2^6} + {z^3\over 3^6} + \ldots \Big\}\\ {p\over\kT}&={120\over \pi^2}\,\bigg({\kT\over A}\bigg)^{\!\!6}\,\Big\{z+{z^2\over 2^7} + {z^3\over 3^7} + \ldots \Big\}\ . \end{split}\] Resolviendo por\(z(n)\) usar la primera ecuación, obtenemos, ordenar\(n^2\),\[z=\bigg({\pi^2 A^6\,n\over 120\, (\kT)^6}\bigg)-{1\over 2^6}\, \bigg({\pi^2 A^6\,n\over 120\, (\kT)^6}\bigg)^{\!\!2} + \CO(n^3)\ .\] Tapando esto en la ecuación para\(p(T,z)\), obtenemos el primer término no trivial en la expansión virial, con \[B_2(T)=-{\pi^2\over 15360}\,\bigg({A\over \kT}\bigg)^{\!\!6}\ ,\]que es negativo, como se esperaba. Tenga en cuenta que la ley de gas ideal se recupera para\(T\to\infty\), para fijo\(n\).

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1. Para una revisión del formalismo de la segunda cuantificación, véase el apéndice en el § 9. ↩
2. Varios textos, como Pathria y Reichl, escriben\(g\ns_q(z)\) para\({Li}_q(z)\). Adopto esta última notación ya que ya estamos usando el símbolo\(g\) para la función de densidad de estados\(g(\ve)\) y para la degeneración interna\(\Sg\). ↩
3. Tenga en cuenta las dimensiones de\(g(\omega)\) son\(({frequency})^{-1}\). Por el contrario, las dimensiones de\(g(\ve)\) en la Ecuación [BDOS] son\(({energy})^{-1}\cdot({volume})^{-1}\). La diferencia radica en el factor a de\(\CV\ns_0\cdot\hbar\), donde\(\CV\ns_0\) está el volumen de la celda unitaria. ↩
4. Si\(\omega(\Bk)=Ak^\sigma\), entonces\(\CC=2^{1-d}\>\pi\nsub^{-{d\over 2}}\,\sigma^{-1}\,A\nsub^{-{d\over\sigma}}\,\Sg\,\big/\,\RGamma(d/2)\,\). ↩
5. Bien, eso no es del todo cierto. Por ejemplo, si\(g(\ve)\sim 1/\ln\ve\), entonces la integral tiene una\(\ln\ln(1/\eta)\) divergencia muy débil, donde\(\eta\) está el corte inferior. Pero para cualquier ley de poder densidad de estados\(g(\ve)\propto \ve^r\) con\(r>0\), la integral converge. ↩
6. Es fácil ver que el potencial químico de los bosones que no interactúan nunca puede exceder el valor mínimo\(\ve\ns_0\) de la dispersión de una sola partícula. ↩
7. Nótese que en el capítulo de termodinámica se utilizó\(v\) para denotar el volumen molar,\(\NA\,V/N\). ↩
8. A las\(\Bk\ne 0\) partículas se les llama a veces el sobrecondensado. ↩
9. La condensación IBG está en la clase de universalidad del modelo esférico. La\(\lambda\) transición está en la clase de universalidad del\(XY\) modelo. ↩
10. Recordemos que dos cuerpos en equilibrio térmico tendrán temperaturas idénticas si son libres de intercambiar energía. ↩
11. La velocidad del fonón\(c\) es ligeramente dependiente de la temperatura. ↩
12. Muchas descripciones confiables se pueden encontrar en la web. Consulta Wikipedia, por ejemplo. ↩
13. De manera explícita, se reemplaza\(\zeta(3)\)\({Li}\ns_3(y)\) con\(\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\)\({Li}\ns_2(y)\), con y\(\big(\kT/\hbar{\bar\omega}\big)^3\) con\(\big(\kT/\hbar{\bar\omega}\big)^2\). ↩
14. Tenga en cuenta que la escritura\(v=(2n+1)\,i\pi + \eps\) tenemos\(e^{\pm v}=-1\mp\eps -\half\eps^2 + \ldots\\), por lo que luego\((e^v+1)(e^{-v}+1)=-\eps^2 + \ldots\) nos expandimos\(e^{vD}=e^{(2n+1)i\pi D}\big(1+\eps D + \ldots)\) para encontrar el residuo:\({Res}=-D\,e^{(2n+1)i\pi D}\). ↩
15. Agradezco a mi compañero Tarun Grover esta observación. ↩
16. Nosotros hemos usado\(-\frac{2}{V}Q'(\mu)=-{1\over V}{\pz^2\!\Omega\over\pz\mu^2}= n^2\kappa\ns_T\). ↩
17. Tenga en cuenta que hemos escrito\(\mu n = {\bar\mu}n + {1\over 2} U n^2\), lo que explica el signo del coeficiente de\(n^2\). ↩
18. La relación Gibbs-Duhem garantiza que existe tal ecuación de estado, relacionando tres cantidades termodinámicas intensivas cualesquiera. ↩
19. Un teorema debido a Nagaoka establece que el estado fundamental es ferromagnético para el caso de un solo agujero en el\(U=\infty\) sistema sobre celosías bipartitas. ↩
20. Véase J. P. F. LeBlanc, Phys. Rev. X 5, 041041 (2015) y B. Zheng, Ciencia 358, 1155 (2017). ↩
21. El mejor caso para el pedido de rayas se ha hecho en\(T=0\),\(U/t=8\), y mantener el dopaje\(x=\frac{1}{8}\) (\(n=\frac{7}{8}\)). ↩
22. En las integrales de normalización, cada una incluye\(\int\!d^d\!x\) implícitamente una suma\(\sum_\zeta\) sobre cualquier índice interno que pueda estar presente. ↩