6.S: Resumen

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Referencias

• M. Kardar, Statistical Physics of Particles (Cambridge, 2007) Un texto moderno soberbio, con muchas presentaciones perspicaces de conceptos clave.
• L. E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics (2ª edición, Wiley, 1998) Un texto integral a nivel de posgrado con énfasis en fenómenos de no equilibrio.
• M. Plischke y B. Bergersen, Equilibrium Statistical Physics (\(3^{ rd}\)edición, World Scientific, 2006) Un excelente texto de nivel de posgrado. Menos perspicaz que Kardar pero sigue siendo un buen tratamiento moderno del tema. Buena discusión de la teoría del campo medio.
• E. M. Lifshitz y L. P. Pitaevskii, Física Estadística (parte I,\(3^{ rd}\) edición, Pérgamo, 1980) Se trata del volumen 5 del famoso Curso de Física Teórica Landau y Lifshitz. Aunque anticuado, todavía contiene una gran cantidad de información y perspicacia física.
• J.-P Hansen e I. R. McDonald, Theory of Simple Liquids (Academic Press, 1990) Una discusión avanzada y detallada de la física del estado líquido.

Resumen

\(\bullet\)Modelos basados en redes: Entre los muchos modelos basados en celosías de interés físico se encuentran

\[\begin{aligned} &&\HH\ns_{ Ising} &=-J\sum_{\langle ij\rangle} \sigma\ns_i\,\sigma\ns_j - H\sum_i\sigma\ns_i &&;&& \sigma\ns_i \in\{-1,+1\}&& \\ &&\HH\ns_{ Potts} &=-J\sum_{\langle ij\rangle} \delta\ns_{\sigma\ns_i,\sigma\ns_j} - H \sum_i \delta\ns_{\sigma,1} &&;&& \sigma\ns_i\in \{1,\ldots,q\} &&\\ &&\HH\ns_{\SO(n)} &=-J\sum_{\langle ij\rangle} \nhat\ns_i\ncdot\nhat\ns_j - \BH\cdot\sum_i\nhat\ns_i &&;&& \nhat\ns_i\in S^{n-1} \ .&&\end{aligned}\]

Aquí\(J\) está el acoplamiento entre sitios vecinos y\(H\) (o\(\BH\)) es un campo polarizador que rompe una simetría global (grupos\(\MZ\ns_2\),\(\CS\ns_q\), y\(\SO(n)\), respectivamente). \(J>0\)describe un ferroimán y\(J<0\) un antiferroimán. Se puede generalizar para incluir más interacciones vecinas, descritas por una matriz de acoplamientos\(J\ns_{ij}\). Cuándo\(J=0\), los grados de libertad en cada sitio son independientes y\(Z(T,N,J=0,H)=\zeta^N\), dónde\(\zeta(T,H)\) está la función de partición de sitio único. Cuando en general es\(J\ne 0\) imposible calcular la función de partición analíticamente, excepto en ciertos casos especiales.

\(\bullet\)Solución matricial de transferencia en\(d=1\): Uno de esos casos especiales es el de los sistemas unidimensionales. En ese caso, se puede escribir\(Z=\Tra\!(R^N)\), donde\(R\) está la matriz de transferencia. Considerar un modelo unidimensional general con interacciones vecinas más cercanas y hamiltonianas

\[\HH=-\sum_n U(\alpha\ns_n,\alpha\ns_{n+1}) - \sum_n W(\alpha\ns_n)\ ,\]

donde se\(\alpha\ns_n\) describe el grado de libertad local, que podría ser discreto o continuo, de un solo componente o de varios componentes. Entonces

\[R\ns_{\alpha\alpha'}=e^{U(\alpha,\alpha')/\kT}\,e^{W(\alpha')/\kT}\ .\]

La forma de la matriz de transferencia no es única, aunque sus valores propios lo son. Podríamos haber tomado\(R\ns_{\alpha\alpha'}=e^{W(\alpha)/2\kT}\,e^{U(\alpha,\alpha')/\kT}\,e^{W(\alpha')/2\kT}\), por ejemplo. La matriz de interacción\(U(\alpha,\alpha')\) puede o no ser simétrica en sí misma. En un anillo de\(N\) sitios, uno tiene\(Z=\sum_{i=1}^K\lambda_i^N\), donde\(\{\lambda_i\}\) están los valores propios y\(K\) el rango de\(R\). En el límite termodinámico, la función de partición está dominada por el valor propio con la mayor magnitud.

\(\bullet\)Dimensiones más altas: Para sistemas clásicos unidimensionales con interacciones de rango finito, las propiedades termodinámicas varían suavemente con la temperatura para todos\(T>0\). La dimensión crítica inferior\(d\ns_\ell\) de un modelo es la dimensión en o por debajo de la cual no hay transición de fase de temperatura finita. Para modelos con grupos discretos de simetría global\(d\ns_\ell=1\), mientras que para simetrías globales continuas\(d\ns_\ell=2\). En campo externo cero el modelo (\(d=2\)) de celosía cuadrada Ising tiene una temperatura crítica\(T\ns_\Rc=2.269\,J\). En la celosía de nido de abeja,\(T\ns_\Rc=1.519\,J\). Para el\(\SO(3)\) modelo en la celosía cúbica,\(T\ns_\Rc=4.515\,J\). En general, para los sistemas no frustrados, uno espera para\(d>d\ns_\ell\) eso\(T\ns_\Rc\propto z\), donde\(z\) está el número de coordinación de celosía (número de vecinos más cercanos).

\(\bullet\)Gases clásicos no ideales: Para\(\HH=\sum_{i=1}^N {\Bp_i^2\over 2m} + \sum_{i<j}u\big(|\Bx\ns_i-\Bx\ns_j|\big)\), uno tiene\(Z(T,V,N)=\lambda_T^{-Nd}\,Q\ns_N(T,V)\), donde

\[Q\ns_N(T,V)={1\over N!}\int\!\!d^d\!x\nd_1\cdots\int\!\! d^d\!x\nd_N\,\prod_{i<j} e^{-u(r\ns_{ij})/\kT}\]

es la integral de configuración. Para el gas Tonks unidimensional de varillas\(N\) duras de longitud\(a\) confinadas a la región\(x\in[0,L]\), se encuentra\(Q\ns_N(T,L)=(L-Na)^N\), de donde se encuentra la ecuación de estado\(p=n\kT/(1-na)\). Para interacciones más complicadas, o en dimensiones superiores, la integral de configuración es analíticamente intratable.

\(\bullet\)Expansión del clúster de Mayer: Escribiendo la función Mayer\(f\ns_{ij}\equiv e^{-u\ns_{ij}/\kT}-1\), y asumiendo que\(\int\!d^d\!r\,f(r)\) es finita, se puede expandir la presión\(p(T,z)\) y\(n(T,z)\) como serie de potencia en la fugacidad\(z=\exp(\mu/\kT)\), a saber.

\[\begin{aligned} p/\kT&=\sum_\gamma \big(z\lambda_T^{-d}\big)^{n\ns_\gamma}\,b\ns_\gamma\\ n&=\sum_\gamma n\ns_\gamma\, \big(z\lambda_T^{-d}\big)^{n\ns_\gamma}\,b\ns_\gamma\ .\end{aligned}\]

La suma está sobre clústeres conectados sin etiquetar\(\gamma\), y\(n\ns_\gamma\) es el número de vértices en\(\gamma\). La integral del clúster\(b\ns_\gamma(T)\) se obtiene asignando etiquetas\(\{1,\ldots\,n\ns_\gamma\}\) a todos los vértices y calculando

\[b\ns_\gamma(T)\equiv {1\over s\ns_\gamma}\cdot{1\over V} \!\int\!\!d^d\!x\nd_1\cdots d^d\!x\nd_{n\ns_\gamma}\prod_{i<j}^\gamma f\nd_{ij}\ ,\]

donde\(f\ns_{ij}\) aparece en el producto si existe un vínculo entre vértices\(i\) y\(j\). \(s\ns_\gamma\)es el factor de simetría del cúmulo, definido como el número de elementos del grupo simétrico\(\CS_{n\ns_\gamma}\) que, actuando sobre las etiquetas, dejarían\(\prod_{i<j}^\gamma f\nd_{ij}\) invariante al producto. Por definición, un clúster que consiste en un solo sitio tiene\(b\ns_\bullet=1\). La invarianza traslacional implica\(b\ns_\gamma(T)\propto V^0\). Luego se invierte\(n(T,z)\) para obtener\(z(T,n)\), e insertando el resultado en la ecuación para\(p(T,z)\) uno obtiene la expansión virial de la ecuación de estado,

\[p=n\kT\,\Big\{1+B\ns_2(T)\,n + B\ns_3(T)\,n^2 + \ldots\Big\}\ .\]

donde

\[B\ns_k(T)=-{1\over k (k-2)!}\sum_{\gamma\in \Gamma\ns_k} \int\!\!d^d\!x\ns_1\cdots\!\!\int\!\!d^d\!x\ns_{k-1}\prod_{\langle ij\rangle}^\gamma f\ns_{ij}\]

con\(\Gamma\ns_k\) el conjunto de todos los racimos irreducibles\(j\) de una partícula. Un clúster irreducible es un clúster conectado que no se divide en más de una pieza si alguno de sus sitios y todos los enlaces de conexión de ese sitio se eliminan de la gráfica. Cualquier sitio cuya eliminación, junto con todos sus enlaces de conexión, resultaría en una gráfica desconectada se llama punto de articulación. Los clusters irreducibles no tienen puntos de articulación.

\(\bullet\)Líquidos: En el conjunto canónico ordinario,

\[P(\Bx\ns_1,\ldots,\Bx\ns_N)=Q_N^{-1}\cdot{1\over N!}\>e^{-\beta W(\Bx\ns_1\,,\,\ldots\,,\,\Bx\ns_N)}\ ,\]

donde\(W\) está la energía potencial total, y\(Q\ns_N\) es la configuración integral,

\[Q\ns_N(T,V)={1\over N!}\int\!\!d^d\!x\ns_1\cdots\int\!\! d^d\!x\ns_N\>e^{-\beta W(\xoN)}\ .\]

Podemos usar\(P\), o su gran generalización canónica, para calcular promedios térmicos, como la densidad local promedio

\[\begin{aligned} n\ns_1(\Br)&= \blangle \sum_i\delta(\Br-\Bx\ns_i) \brangle \\ &=N\!\int\!\!d^d\!x\ns_2\cdots\!\int\!\!d^d\!x\ns_N\> P(\Br,\Bx\ns_2,\ldots,\Bx\ns_N)\end{aligned}\]

y la matriz de densidad de dos partículas, la matriz de densidad de dos partículas\(n\ns_2(\Br\ns_1,\Br\ns_2)\) se define por

\[\begin{aligned} n\ns_2(\Br\ns_1,\Br\ns_2)&=\blangle\sum_{i\ne j} \delta(\Br\nd_1-\Bx\ns_i)\,\delta(\Br\ns_2-\Bx\ns_j) \brangle \\ &=N(N-1)\!\int\!\!d^d\!x\ns_3\cdots\!\int\!\!d^d\!x\ns_N\> P(\Br\ns_1,\Br\ns_2,\Bx\ns_3,\ldots,\Bx\ns_N)\ .\end{aligned}\]

\(\bullet\)Función de distribución de pares: Para fluidos simples traslacionalmente invariantes consistentes en partículas puntuales idénticas que interactúan por un potencial central de dos cuerpos\(u(r)\), las propiedades termodinámicas se derivan del comportamiento de la distribución de pares función (pdf),

\[g(r)={1\over Vn^2}\>\blangle \sum_{i\ne j}\delta(\Br-\Bx\ns_i+\Bx\ns_j)\brangle\ ,\]

donde\(V\) está el volumen total y\(n=N/V\) la densidad promedio. La energía promedio por partícula es entonces

\[\ve(n,T)={\langle E\rangle\over N}= \frac{3}{2}\, \kT + 2\pi n\!\!\int\limits_0^\infty \!\!dr\>r^2\,g(r)\,u(r)\ .\]

Aquí\(g(r)\) depende implícitamente de\(n\) y\(T\) también En el gran conjunto canónico, el pdf satisface la regla de suma de compresibilidad,\(\int\! d^3\!r\,\big[g(r)-1\big]=\kT\,\kappa\ns_T - n^{-1}\), donde\(\kappa\ns_T\) está la compresibilidad isotérmica. Nota\(g(\infty)=1\). El pdf también implica la ecuación virial de estado,

\[p=n\kT -\frac{2}{3}\pi n^2\!\!\int\limits_0^\infty\!\!dr\,r^3\,g(r)\,u'(r)\ .\]

\(\bullet\)Dispersión: Los experimentos de dispersión son sensibles a la transferencia de impulso\(\hbar\Bq\) y la transferencia de energía\(\hbar\omega\), y permiten determinar el factor de estructura dinámica

\[\begin{aligned} S(\Bq,\omega)&={1\over N}\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dt\>e^{i\omega t}\>\blangle \sum_{l,l'} e^{i\Bq\cdot\Bx\ns_l(0)}\,e^{-i\Bq\cdot\Bx\ns_{l'}(t)}\brangle\ns_T\\ &={2\pi\hbar\over N}\sum_i P\ns_i\ \sum_j \big|\expect{j}{\sum_{l=1}^N e^{-i\Bq\cdot\Bx\ns_l}}{i}\big|^2\,\delta(E\ns_j-E\ns_i+\hbar\omega)\ ,\end{aligned}\]

donde\(\sket{i}\) y\(\sket{j}\) son estados (cuánticos) del sistema que se está estudiando, y\(P\ns_i\) es la probabilidad de equilibrio para el estado\(i\). ¹ Integrando sobre toda la frecuencia, se obtiene el factor de estructura estática,

\[\begin{aligned} S(\Bq)&=\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!{d\omega\over 2\pi}\>S(\Bq,\omega) ={1\over N}\sum_{l,l'} \blangle e^{i\Bq\cdot(\Bx\ns_l-\Bx\ns_{l'})}\brangle\\ &=N\,\delta\ns_{\Bq,0}+1+n\!\!\int\!\!d^d\!r\,e^{-i\Bq\cdot\Br}\,\big[g(r)-1\big]\ .\end{aligned}\]

\(\bullet\)Teorías de la estructura de fluidos — La jerarquía BBGKY es un conjunto de ecuaciones integrodiferenciales acopladas que relacionan\(k\) - y\((k+1)\) -funciones de distribución de partículas. Para avanzar, se debe realizar un truncamiento, expresando distribuciones de orden superior en términos de las de orden inferior. Esto da como resultado diversas teorías de fluidos, conocidas por sus ecuaciones definitorias para el pdf\(g(r)\). Los ejemplos incluyen la ecuación Born-Green-Yvon, la ecuación Percus-Yevick, la ecuación de cadenas hipernetadas, la aproximación de Ornstein-Zernike, Excepto en los casos más simples (como la aproximación OZ), estas ecuaciones deben resolverse numéricamente. La aproximación OZ merece una mención especial. Allí escribimos\(S(\Bq)\approx {1\over (R/\xi)^2 + R^2 \Bq^2}\) para pequeños\(q\), donde\(\xi(T)\) está la longitud de correlación y\(R(T)\) se relaciona con el rango de interacciones.

\(\bullet\)Teoría de Debye-H ü ckel — Debido a la naturaleza de largo alcance de la interacción Coulomb, la función Mayer decae tan lentamente\(r\to\infty\) que no es integrable, por lo que la expansión virial es problemática. El progreso se puede lograr mediante un enfoque de campo medio autoconsistente. Para un sistema que consiste en cargas\(\pm e\), se asume un potencial electrostático local\(\phi(\Br)\). Las estadísticas de Boltzmann luego dan una densidad de carga

\[\rho(\Br)=e\lambda_+^{-d} z\ns_+\,e^{-e\,\phi(\Br)/\kT} - e\lambda_-^{-d} z\ns_-\,e^{e\,\phi(\Br)/\kT}\ ,\]

donde\(\lambda\ns_\pm\) y\(z\ns_\pm\) son las longitudes de onda térmicas de Broglie y fugacidades para las\(-\) especies\(+\) y. Asumiendo la neutralidad de carga general al infinito, uno tiene\(\lambda_+^{-d} z\ns_+ = \lambda_-^{-d} z\ns_- = n\ns_\infty\), y nosotros tenemos\(\rho(\Br)=-2e n\ns_\infty\,\sinh\!\big(e\,\phi(\Br)/\kT\big)\). El potencial local se determina entonces de manera autoconsistente, usando la ecuación de Poisson:

\[\nabla^2\phi = 8\pi e n\ns_\infty\,\sinh(e\phi/\kT) - 4\pi\rho\ns_{ ext}\ .\]

Si\(e\phi\ll\kT\), podemos ampliar la función sinh para obtener\(\nabla^2\phi =\kappa_{\ssr{D}}^2\,\phi -4\pi\rho\ns_{ ext}\), donde está el detector de ondas de cribado Debye\(\kappa\ns_{\ssr{D}}=(8\pi n\ns_\infty e^2/\kT)^{1/2}\). El potencial autoconsistente que surge de una carga puntual\(\rho\ns_{ ext}(\Br)=Q\,\delta(\Br)\) es entonces de la forma Yukawa\(\phi(\Br)=Q\exp(-\kappa\ns_{\ssr{D}} r)/r\) en tres dimensiones espaciales.

\(\bullet\)Thomas-Fermi tamizaje — En un gas de electrones con\(\kT\ll\ve\ns_{\ssr{F}}\), podemos tomar\(T=0\). Si la energía de Fermi es constante, escribimos\(\ve\ns_{\ssr{F}}={\hbar^2 k_{\ssr{F}}^2(\Br)\over 2m} - e\,\phi(\Br)\), y la densidad numérica local de electrones es\(n(\Br)=k_{\ssr{F}}^3(\Br)/3\pi^2\). Asumiendo un fondo de carga positiva difuso compensador\(\rho\ns_+=e\,n\ns_\infty\), la ecuación de Poisson toma la forma

\[\nabla^2\phi=4\pi e\,n\ns_\infty\cdot\left\{ \bigg(1+{e\phi(\Br)\over\veF}\bigg)^{\!\!3/2}-1\right\} -4\pi\rho\ns_{ ext}(\Br)\ .\]

Si\(e\phi\ll\ve\ns_{\ssr{F}}\), nos expandimos en presencia de fuentes externas para obtener\(\nabla^2\phi =\kappa_{\ssr{TF}}^2\,\phi -4\pi\rho\ns_{ ext}\), dónde\(\kappa_{\ssr{TF}}= (6\pi n\ns_\infty e^2/\ve\ns_{\ssr{F}})^{1/2}\) está el detector de ondas de tamizado Thomas-Fermi. En los metales, donde la dispersión de electrones es una función más general del momento cristalino, la respuesta de densidad a un potencial local\(\phi(\Br)\) es\(\delta n(\Br)=e\,\phi(\Br) \,g(\ve\ns_{\ssr{F}})\) al orden más bajo, donde\(g(\ve\ns_{\ssr{F}})\) está la densidad de estados en la energía Fermi. Uno luego encuentra\(\kappa_{\ssr{TF}}=\sqrt{4\pi e^2 g(\ve\ns_{\ssr{F}})}\).

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1. En la práctica, lo que se mide se\(S(q,\omega)\) convoluciona con filtros espaciales y de resolución de energía apropiados para el aparato de medición. ↩

1. Aquí modificamos ligeramente la discusión en el capítulo 5 del libro de L. Peliti.
2. Ver. J. L. Lebowitz y A. E. Mazel, J. Stat. Phys. 90, 1051 (1998).
3. Un mapeo correspondiente se puede encontrar entre una red cúbica y la cadena lineal también.
4. No es que personalmente piense que hay algo malo en eso.
5. Nota al pie de página de desambiguación: Tenga cuidado de no confundir a Philipp Lenard (húngaro-alemán, tubos de rayos catódicos, nazi), Alfred-Marie Li é nard (Francés, Li é Nard-Wiechert potenciales, no un nazi), John Lennard-Jones (británico, estructura molecular, definitivamente no un nazi), y Lynyrd Skynyrd (estadounidense, “Free Bird”, posiblemente muerto por los nazis en accidente aéreo de 1977). Agradezco a mi colega Oleg Shpyrko que me haya dejado claro en esto.
6. Suponemos que el comportamiento a largo plazo de\(f(r)\approx -\beta u(r)\) es integrable.
7. Ver C. N. Yang y R. D. Lee, Phys. Rev. 87, 404 (1952) e ibíd., p. 410
8. Ver http://en.Wikipedia.org/wiki/Close-packing. Para esferas duras empaquetadas aleatoriamente, uno encuentra, a partir de simulaciones numéricas,\(f\ns_{\ssr{RCP}}=0.644\).
9. Para derivar esta expresión, tenga en cuenta que\(\BF^{ (surf)}\) se dirige hacia adentro y desaparece lejos de la superficie. Cada dirección cartesiana contribuye\(\alpha=(x,y,z)\) entonces\(-F^{ (surf)}_\alpha L_\alpha\), donde\(L_\alpha\) está la dimensión lineal correspondiente. Pero\(F^{ (surf)}_\alpha=pA_\alpha\), donde\(A_\alpha\) esta la zona de la cara correspondiente y\(p\). es la presión. Sumando las tres posibilidades para\(\alpha\), se obtiene la Ecuación\ ref {surfvir}.
10. Podemos escribir\(\delta\ns_{\Bq,0}={1\over V}\,(2\pi)^d\,\delta(\Bq)\).
11. Así lleva el nombre de Bogoliubov, Born, Green, Kirkwood e Yvon.
12. Agradezco a Jonathan Lam y Olga Dudko por explicarme esto.
13. Hay correcciones logarítmicas al resultado SAW exactamente en\(d=4\), pero para todos\(d>4\) uno tiene\(\nu=\half\).