6.7: Apéndice I- Modelo de macetas en una dimensión

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Definición

El modelo Potts está definido por los hamiltonianos

\[H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\delta\nd_{\sigma\ns_i,\sigma\ns_j}-h\sum_i\delta\nd_{\sigma\ns_i,1}\ .\]

Aquí, las variables de giro\(\sigma\ns_i\) toman valores en el conjunto\(\{1,2,\ldots,q\}\) en cada sitio. El equivalente de un campo magnético externo en el caso de Ising es un campo\(h\) que prefiere un valor particular de\(\sigma\) (\(\sigma=1\)en el hamiltoniano anterior). Una vez más, no es posible calcular la función de partición en celosías generales, sin embargo en una dimensión podemos encontrar nuevamente\(Z\) usando el método de matriz de transferencia.

Matriz de transferencia

En un anillo de\(N\) sitios, tenemos

\[\begin{split} Z&={ Tr}\,e^{-\beta H}\\ &=\sum_{\{\sigma\ns_n\}} e^{\beta h\delta_{\sigma\ns_1,1}}\,e^{\beta J\delta_{\sigma\ns_1,\sigma\ns_2}}\,\cdots\, e^{\beta h\delta_{\sigma\ns_N,1}}\,e^{\beta J\delta_{\sigma\ns_N,\sigma\ns_1}}\\ &={ Tr}\,\big(R^N\big)\ , \end{split}\]

donde la matriz\(q\times q\) de transferencia\(R\) viene dada por

\[R\nd_{\sigma\sigma'}=e^{\beta J\delta_{\sigma\sigma'}}\,e^{1\over 2 \beta h\delta_{\sigma,1}}\,e^{ 1\over 2 \beta h\delta_{\sigma',1}}= \begin{cases} e^{\beta(J+h)} & \hbox{ if $\sigma=\sigma'=1$}\\ e^{\beta J} & \hbox{ if $\sigma=\sigma'\ne 1$}\\ e^{\beta h/2} & \hbox{ if $\sigma=1$ and $\sigma'\ne 1$}\\ e^{\beta h/2} & \hbox{ if $\sigma\ne1$ and $\sigma'= 1$}\\ 1& \hbox{ if $\sigma\ne1$ and $\sigma'\ne 1$ and $\sigma\ne\sigma'$}\ . \end{cases}\]

En forma de matriz,

\[R=\begin{pmatrix} e^{\beta(J+h)} & e^{\beta h/2} & e^{\beta h/2} & & \cdots & & e^{\beta h/2} \\ e^{\beta h/2} & e^{\beta J} & 1 & & \cdots & & 1 \\ e^{\beta h/2} & 1 & e^{\beta J} & & \cdots & & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ e^{\beta h/2} & 1 & 1 & & \cdots & e^{\beta J} & 1\\ e^{\beta h/2} & 1 & 1 & & \cdots & 1 & e^{\beta J} \end{pmatrix}\]

La matriz\(R\) tiene\(q\) valores propios\(\lambda\ns_j\), con\(j=1,\ldots,q\). La función de partición para la cadena Potts es entonces

\[Z=\sum_{j=1}^q \lambda_j^N \ .\]

En realidad podemos encontrar los valores propios de\(R\) analíticamente. Para ello, considere los vectores

\[\phi=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{pmatrix} \qquad,\qquad \psi=\big(q-1+e^{\beta h}\big)^{-1/2} \begin{pmatrix} e^{\beta h/2} \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}\ .\]

Entonces\(R\) podrá escribirse como

\[R=\big(e^{\beta J}-1\big)\,{\mathbb I} + \big(q-1+e^{\beta h}\big)\,\sket{\psi}\sbra{\psi} + \big(e^{\beta J}-1\big)\big(e^{\beta h}-1\big)\,\sket{\phi}\sbra{\phi}\ ,\]

donde\({\mathbb I}\) está la matriz\(q\times q\) de identidad. Cuando\(h=0\), tenemos una forma más simple,

\[R=\big(e^{\beta J}-1\big)\,{\mathbb I} + q\,\sket{\psi}\sbra{\psi}\ .\]

A partir de esto podemos leer los valores propios:

\[\begin{split} \lambda\ns_1&=e^{\beta J} +q-1 \\ \lambda\ns_j&=e^{\beta J}-1 \quad,\quad j\in\{2,\ldots,q\}\ , \end{split}\]

ya que\(\sket{\psi}\) es un vector propio con valor propio\(\lambda=e^{\beta J} +q-1\), y cualquier vector ortogonal a\(\sket{\psi}\) tiene autovalor\(\lambda=e^{\beta J}-1\). La función de partición es entonces

\[Z=\big(e^{\beta J} +q-1\big)^N + (q-1)\big(e^{\beta J}-1\big)^N\ .\]

En el límite termodinámico\(N\to\infty\), solo el\(\lambda\nd_1\) valor propio contribuye, y tenemos

\[F(T,N,h=0)=-N\kT\ln\big(e^{J/\kT}+q-1\big)\qquad\hbox{ for $N\to\infty$}\ .\]

Cuando\(h\) es distinto de cero, el cálculo se vuelve algo más tedioso, pero aún relativamente fácil. El problema es que\(\sket{\psi}\) y no\(\sket{\phi}\) son ortogonales, así definimos

\[\sket{\xhi}={\sket{\phi}-\sket{\psi}\sbraket{\psi}{\phi}\over \sqrt{1-\sbraket{\phi}{\psi}^2}}\ ,\]

donde

\[x\equiv\sbraket{\phi}{\psi}=\bigg( {e^{\beta h}\over q-1+e^{\beta h}} \bigg)^{\!1/2}\ .\]

Ahora tenemos\(\sbraket{\xhi}{\psi}=0\), con\(\sbraket{\xhi}{\xhi}=1\) y\(\sbraket{\psi}{\psi}=1\), con

\[\sket{\phi}=\sqrt{1-x^2\>}\,\sket{\chi} + x\,\sket{\psi}\ .\]

y la matriz de transferencia es entonces

\[\begin{aligned} R&=\big(e^{\beta J}-1\big)\,{\mathbb I} +\big(q-1+e^{\beta h}\big)\,\sket{\psi}\sbra{\psi}\nonumber\\ &\qquad +\big(e^{\beta J}-1\big)\big(e^{\beta h}-1\big)\,\bigg[(1-x^2)\, \sket{\xhi}\sbra{\xhi} + x^2\>\sket{\psi}\sbra{\psi}+x\,\sqrt{1-x^2}\>\Big(\sket{\xhi}\sbra{\psi} +\sket{\psi}\sbra{\xhi}\Big)\bigg]\nonumber\\ &=\big(e^{\beta J}-1\big)\,{\mathbb I} +\Bigg[ \big(q-1+e^{\beta h}\big) + \big(e^{\beta J}-1\big)\big(e^{\beta h}-1\big)\bigg({e^{\beta h}\over q-1+e^{\beta h}}\bigg)\Bigg] \sket{\psi}\sbra{\psi}\label{RPotts}\\ &\qquad\qquad+\big(e^{\beta J}-1\big)\big(e^{\beta h}-1\big)\, \bigg({q-1\over q-1+e^{\beta h}}\bigg)\, \sket{\xhi}\sbra{\xhi} \nonumber\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad+\big(e^{\beta J}-1\big)\big(e^{\beta h}-1\big)\, \bigg({(q-1)\,e^{\beta h}\over q-1+e^{\beta h}}\bigg)^{\!1/2}\,\Big(\sket{\xhi}\sbra{\psi} +\sket{\psi}\sbra{\xhi}\Big)\ ,\nonumber\end{aligned}\]

que en el subespacio bidimensional abarcado por\(\sket{\xhi}\) y\(\sket{\psi}\) es de la forma

\[R=\begin{pmatrix} a & c \\ c & b\end{pmatrix}\ .\]

Recordemos que para cualquier matriz\(2\times 2\) hermitiana,

\[\begin{split} M&=a\nd_0\,{\mathbb I} +\Ba\cdot\Btau\\ &=\begin{pmatrix} a\ns_0 + a\ns_3 & a\ns_1 -i a\ns_2 \\ a\ns_1 + i a\ns_2 & a\ns_0-a\ns_3\end{pmatrix}\ , \end{split}\]

el polinomio característico es

\[P(\lambda)={ det}\,\big(\lambda\,{\mathbb I}-M\big)=(\lambda-a\ns_0)^2 - a_1^2-a_2^2-a_3^2\ ,\]

y por lo tanto los valores propios son

\[\lambda\nd_\pm=a\ns_0\pm\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2\,}\ .\]

Para la matriz de transferencia de Ecuación\ ref {rPOTts}, obtenemos, después de un poco de trabajo,

\[\begin{aligned} \lambda\nd_{1,2}&=e^{\beta J}-1+\half\Big[q-1+e^{\beta h} + \big(e^{\beta J}-1\big)\big(e^{\beta h}-1\big)\Big]\\ &\qquad\pm\half\sqrt{\Big[q-1+e^{\beta h} + \big(e^{\beta J}-1\big)\big(e^{\beta h}-1\big)\Big]^{2} -4(q-1) \big(e^{\beta J}-1\big)\big(e^{\beta h}-1\big)\>}\ .\nonumber\end{aligned}\]

Existen\(q-2\) otros valores propios, sin embargo, asociados con el subespacio\((q\!-\!2)\) -dimensional ortogonal a\(\sket{\xhi}\) y\(\sket{\psi}\). Claramente, todos estos valores propios están dados por

\[\lambda\ns_j=e^{\beta J}-1\qquad,\quad j\in\{3\,,\,\ldots\,,\,q\}\ .\]

La función de partición es entonces

\[Z=\lambda_1^N + \lambda_2^N + (q-2)\,\lambda_3^N\ ,\]

y en el límite termodinámico\(\lambda\ns_1\) domina\(N\to\infty\) el valor propio máximo. Tenga en cuenta que recuperamos el límite correcto como\(h\to 0\).