7.S: Resumen

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Referencias

• M. Kardar, Statistical Physics of Particles (Cambridge, 2007) Un texto moderno soberbio, con muchas presentaciones perspicaces de conceptos clave.
• M. Plischke y B. Bergersen, Equilibrium Statistical Physics (\(3^{rd}\)edición, World Scientific, 2006) Un excelente texto de nivel de posgrado. Menos perspicaz que Kardar pero sigue siendo un buen tratamiento moderno del tema. Buena discusión de la teoría del campo medio.
• G. Parisi, Statistical Field Theory (Addison-Wesley, 1988) Un texto avanzado que se centra en los enfoques teóricos de campo, que abarca las teorías de campo medio y Landau-Ginzburg antes de pasar al grupo de renormalización y más allá.
• J. P. Sethna, Entropy, Order Parameters, and Complexity (Oxford, 2006) Un excelente texto introductorio con un conjunto muy moderno de temas y ejercicios. Disponible en línea en http://www.physics.cornell.edu/sethna/StatMech

Resumen

\(\bullet\)sistema van der Waals: Se puede escribir la ecuación de estado de van der Waals\(p={RT\over v-b} - {a\over v^2}\), donde\(v\) está el volumen molar. Comparando con la ley de gas ideal\(p=RT/v\), la ecuación de VdW representa (i) un efecto de volumen excluido debido al tamaño molecular finito, y (ii) una atracción de larga distancia entre moléculas. La energía por mol es\(\ve(T,v)=\half \Rf RT-{a\over v}\), donde\(\Rf\) está el número de términos cuadráticos independientes en el Hamiltoniano molecular individual.

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En fijo\(T\),\(p(v)\) es monótona y decreciente para\(T>T\ns_\Rc=8a/27bR\). Porque\(T<T\ns_\Rc\), la presión ya no es monótona, y\(p'(v)\) desaparece en dos puntos\(v\ns_\pm(T)\). Para\(v\in [v\ns_-,v\ns_+]\), la compresibilidad isotérmica\(\kappa\ns_T=-{1\over v}\big({\pz v\over\pz p}\big)\ns_T\) es negativa, lo que indica una inestabilidad termodinámica absoluta. De\(p(v,T)\) y\(\ve(v,T)\), se puede derivar la energía libre molar\[f(T,v)=-RT\ln\!\big(T^{\Rf/2}(v-b)\big) - {a\over v} - T s\ns_0\] donde\(s\ns_0\) es una constante. Analizando\(f(T,v)\), uno encuentra que se aplica un rango aún más amplio de inestabilidad\(v\ns_\ell < v\ns_- < v\ns_+ < v\ns_g\), con, donde los volúmenes extremos de líquido y gas están determinados por las ecuaciones acopladas\[p(T,v\ns_\ell)=p(T,v\ns_g)\qquad,\qquad \int\limits_{v\ns_\ell}^{v\ns_g}\!\!dv\,p(T,v)=\big(v\ns_g-v\ns_\ell\big)\, p(T,v\ns_\ell)\ .\] La construcción Maxwell se extiende\(f(T,v)\) por una línea recta que conecta\(f(T,v\ns_\ell)\) y\(f(T,v\ns_g)\), dando como resultado las isotermas en la Fig. [vdwiso]. Esto corresponde a una región bifásica en la que la fase homogénea es inestable, ya sea a la nucleación, que requiere superar una barrera energética, o a la composición espinodal, que es un proceso espontáneo.

\(\bullet\)Modelo de gas reticular: Para interacciones que consisten en un núcleo duro y una cola débilmente atractiva, como el potencial de Lennard-Jones, uno puede imaginar discretar el espacio en celdas unitarias en la escala del tamaño del núcleo\(a\). Cada celda\(i\) puede entonces acomodar cero o una partícula. El hamiltoniano resultante es un ferroimán de Ising,\[\HH=-\sum_{i<j} J\ns_{ij}\,\sigma\ns_i\sigma\ns_j - H\sum_i \sigma\ns_i\ ,\] con\(\sigma\ns_i=\pm 1\),\(J\ns_{ij}=-\fourth V(\BR\ns_i-\BR\ns_j)\), y\(H=\half\kT\ln\!\big(e^{\mu/\kT}\lambda_T^{-d}a^d\big)\). Las correspondencias entre el ferroimán y el sistema líquido-gas son entonces\(v\) (o\(n\))\(\leftrightarrow m\), con\(m=M/N\) la magnetización por sitio, y\(p\) (o\(\mu\))\(\leftrightarrow H\). La compresibilidad isotérmica\(\kappa\ns_T\) es análoga a la susceptibilidad magnética isotérmica\(\xhi\ns_T=\big({\pz m\over\pz H}\big)\ns_T\). En el punto crítico,\(\kappa\ns_T(T\ns_\Rc,p\ns_\Rc)=\infty\)\(\leftrightarrow\xhi\ns_T(T\ns_\Rc,H\ns_\Rc)=\infty\). Ver Fig. [MagPD].

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\(\bullet\)Teoría de campos medios: Consideremos el modelo de Ising,\(\HH=-J\sum_{\langle ij\rangle}\sigma\ns_i\sigma\ns_j - H\sum_i\sigma\ns_i\). En cada sitio\(i\), escribir\(\sigma\ns_i=m+\delta\sigma\ns_i\), dónde\(m=\langle\sigma\ns_i\rangle\). Entonces\(\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j=-m^2 + m\,(\sigma\ns_i + \sigma\ns_j) + \delta\sigma\ns_i\,\delta\sigma\ns_j\), y descuidando el término cuadrático en las fluctuaciones, llegamos al campo medio hamiltoniano,\[\HH\ns_\ssr{MF}=\half NzJ\,m^2- \big(H+zJm\big)\sum_i\sigma_i\ ,\] donde\(z\) está el número de coordinación de celosía. Esto corresponde a giros independientes en un campo efectivo\(H\ns_{eff}=H+zJm\). Para giros que no interactúan en un campo externo, tenemos\(m=\tanh(H\ns_{eff}/\kT)\),\[m=\tanh\!\bigg({H+zJm\over\kT}\bigg)\ ,\] que es una ecuación autoconsistente para\(m(T,H)\). Esta ecuación también se desprende de extremizar la energía media libre de campo, dada por\(F=-\kT\ln\Tra e^{-\HH\ns_\ssr{MF}/\kT}\). Es conveniente dimensionalizar por escrito\(f=F/zJN\),\(h=H/zJ\), y\(\theta=\kT/zJ\). Entonces\[\begin{aligned} f(m,T,h)&=\half m^2 - \theta\ln\cosh\!\bigg({m+h\over\theta}\bigg) -\theta\ln 2\bvph\\ &=f\nd_0 + \half\, (\theta-1)\,m^2 + \frac{1}{12} m^4 - hm + \ldots\ ,\end{aligned}\] donde la segunda línea es una expansión para pequeños\(m\) y\(h\). La ecuación de campo promedio adimensional es\(m=\tanh\big((m+h)/\theta\big)\). Cuando\(h=0\), tenemos\(m=\tanh(m/\theta)\), y para\(\theta>\theta\ns_\Rc\), donde\(\theta\ns_\Rc=1\) (\(T\ns_\Rc=zJ/\kB\)), solo hay una solución en\(m=0\). Para\(\theta <\theta\ns_\Rc\), hay dos soluciones adicionales de simetría rota en\(m=\pm m\ns_0\), y uno puede verificar que corresponden a mínimos en la energía libre, mientras que\(m=0\) es un máximo local. Justo debajo\(\theta\ns_\Rc\), uno encuentra\(m(\theta)=\sqrt{3(1-\theta)}\propto (\theta\ns_\Rc-\theta)^\beta\), donde\(\beta=\half\) está el exponente medio del parámetro de orden de campo.

Un parámetro de orden es una cantidad que desaparece a lo largo de una fase desordenada, generalmente a alta temperatura, pero que rompe espontáneamente una simetría global para tomar un valor finito en la fase ordenada. Para el ferroimán Ising, el parámetro de orden es\(m\), la magnetización local. La simetría global del modelo Ising en campo externo cero es la\(\MZ\ns_2\) simetría asociada con voltear todos los giros:\(\sigma\ns_i\to -\sigma\ns_i\) para todos\(i\). Un campo externo rompe explícitamente esta simetría. Para un sistema dado, puede haber varias fases ordenadas distintas y una cascada de transiciones de ruptura de simetría a medida que se baja la temperatura.

De nuevo configurando\(h=0\), vemos eso\(f(\theta>\theta\ns_\Rc)=f\ns_0\), mientras que\(f(\theta <\theta\ns_\Rc)=f\ns_0 - \frac{3}{4}(\theta\ns_\Rc-\theta)^2\) justo por debajo de la transición. Así, hay un salto en el calor específico\(c=-\theta \,{\pz^2\!f\over\pz\theta^2}\) en la transición, con\(\RDelta c=-\frac{3}{2}\). Muy cerca de la transición, por lo tanto tenemos\(c(T)\propto |\theta-\theta\ns_\Rc|^{-\alpha}\), donde está el valor medio de campo del exponente\(\alpha=0\).

A medida que aumentamos\(|h|\) de cero, dos de las soluciones se fusionan y finalmente aniquilan en\(h^*(\theta)\), dejando una solución única para\(h>h^*(\theta)\), como se representa en la Fig. [IPD]. Para pequeños\(m\) y\(h\),, fraguado\({\pz f\over\pz m}=0\), obtenemos\(\third m^3 + (\theta-1)\,m -h=0\). Así, cuando\(\theta\) está justo por encima\(\theta\ns_\Rc=1\), tenemos\(m=h/(\theta-1)\), de ahí la susceptibilidad es\(\xhi={\pz m\over\pz h}\propto |\theta-\theta\ns_\Rc|^{-\gamma}\), donde\(\gamma=1\) está el exponente medio de susceptibilidad de campo. El mismo comportamiento de ley de poder se encuentra para\(\theta < \theta\ns_\Rc\); uno encuentra\(m(\theta)=m\ns_0(\theta) + {h\over 2(1-\theta)}\). Por último, si arreglamos\(\theta=\theta\ns_\Rc\), tenemos\(m(\theta\ns_\Rc,h)\propto h^{1/\delta}\) con\(\delta=3\). Las cantidades\(\alpha\),\(\beta\)\(\gamma\), y\(\delta\) son exponentes críticos para la transición de Ising. La teoría del campo medio se vuelve exacta cuando el número de vecinos es infinito, lo que surge en dos escenarios hipotéticos: (i) interacciones de rango infinito, o (ii) dimensión espacial infinita.

Un modelo fenomenológico para la dinámica de magnetización toma\({\pz m\over\pz t}=-{\pz f\over\pz m}\), por lo que\(m\) es conducido disipativamente a un mínimo local de la energía libre. Se trata de un sistema dinámico sencillo con parámetros de control\((\theta,h)\). Para\(h=0\), el punto\(\theta=\theta\ns_\Rc\) corresponde a una bifurcación de horca supercrítica, y más generalmente existe una bifurcación imperfecta en todas partes a lo largo de la curva\(h=h^*(\theta)\), definida por la desaparición simultánea de ambos\(\pz f/\pz m\) y\(\pz^2\!f/\pz m^2\), correspondiente a la curva verde discontinua en la Fig. [IPD]. Esto lleva al fenómeno de la histéresis: un protocolo en el que los parámetros de control cruzan ambas ramas de esta curva es irreversible.

Diagrama de fases para el ferroimán Ising. En la región azul rayada, las ecuaciones de campo promedio tienen tres soluciones. A lo largo del límite línea verde discontinua, donde hay una bifurcación de nodo de silla de montar para que haya una solución única a las ecuaciones de MF en la región blanca. Las propiedades termodinámicas son singulares, con magnetización discontinua, a lo largo de la línea negra continua, que termina en el punto crítico at\((\theta,h)=(1,0)\).

\(\bullet\)Matriz de densidad variacional: La energía libre viene dada por\(F=\Tra(\vrh\HH) + \kT\Tra(\vrh\ln\vrh)\). Extremizar\(F\) con respecto al\(\vrh\) sujeto a la condición de normalización\(\Tra\vrh=1\) produce la distribución de Gibbs en equilibrio\(\vrh=Z^{-1} e^{-\beta\HH}\). Cualquier distribución que no sea la de Gibbs arrojará un valor mayor de\(F\). Por lo tanto, podemos construir un Ansatz variacional para\(\vrh\) y minimizar\(F\) con respecto a sus parámetros variacionales. Por ejemplo, en el caso del modelo de Ising\(\HH=-\sum_{i<j} J\ns_{ij}\,\sigma\ns_i\, \sigma\ns_j - H\sum_i \sigma\ns_i\), luego asumiendo la invarianza\(J\ns_{ij}=J\big(|\BR\ns_i-\BR\ns_j|\big)\) traslacional\(\vrh\ns_{var}(\sigma\ns_1,\ldots,\sigma\ns_N)=\prod_{i=1}^N {\tilde\vrh}(\sigma\ns_i)\), escribimos, con\[{\tilde\vrh}(\sigma)=\Big({1+m\over 2}\Big)\,\delta_{\sigma,1} + \Big({1-m\over 2}\Big)\,\delta_{\sigma,-1}\ .\] Adimensionalizando por escrito\(\theta=\kT/{\HJ(0)}\) y\(h=H/\HJ(0)\) con\(\HJ(0)=\sum_j J\ns_{ij}\), uno encuentra que la energía libre variacional es\[\begin{aligned} f(m,\theta,h)&=-\half\, m^2 - hm + \theta\> \bigg\{\Big({1+m\over 2}\Big) \ln \Big({1+m\over 2}\Big) +\Big({1- m\over 2}\Big) \ln \Big({1-m\over 2}\Big) \bigg\}\bvph\\ &=-\theta\,\ln 2 - hm +\half\, (\theta-1) \,m^2 + \frac{\theta}{12}\,m^4 + \frac{\theta}{30}\,m^6 + \ldots\end{aligned}\] Extremizante con respecto a \(m\)produce la misma ecuación que antes:\(m=\tanh\big((m+h)/\theta\big)\). Se puede probar que esta formulación de matriz de densidad variacional de la teoría de campos medios arroja resultados idénticos al método de “descuido de las fluctuaciones” descrito anteriormente.

\(\bullet\)Teoría Landau de transiciones de fase: La idea básica es escribir una expansión fenomenológica de la energía libre en potencias del parámetro (s) de orden de un sistema, con coeficientes dependiendo de cantidades como temperatura y campo, y manteniendo términos solo hasta algunos bajos orden. A continuación se analiza cómo se comportan los mínimos del polinomio de grado finito resultante en función de estos coeficientes. El caso más sencillo es el de un modelo con simetría Ising, donde el parámetro de orden es una cantidad escalar real\(m\). Uno escribe\[f=f\ns_0 + \half a m^2 + \fourth b m^4 - hm\ ,\] con\(b>0\) para la estabilidad. Extremizante con respecto a\(m\) los rendimientos\(am + bm^3 - h=0\). Porque\(a>0\) hay una solución única a esta ecuación para\(m(h)\), pero para\(a<0\) hay tres raíces cuando\(|h| < h^*(a)\), con\(h^*(a)=\frac{2}{3^{3/2}}\, b^{-1/2}\, (-a)^{3/2}\). Para\(h=0\), uno tiene\(m(a>0)=0\) y\(m(a<0)=\pm \sqrt{-a/b}\). Así,\(a\ns_\Rc=0\) es el punto crítico en campo cero.

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Para ciertos sistemas, como la transición líquido-gas, no existe una verdadera simetría de Ising entre las dos fases homogéneas. El parámetro de orden, que puede considerarse proporcional a la densidad relativa a la del punto crítico, vuelve a ser un escalar real. Sin\(\MZ\ns_2\) simetría, escribimos\[f=f\ns_0 + \half a m^2 -\frac{1}{3} y m^3 + \fourth b m^4 \ ,\] con\(b>0\) y\(y>0\). Rendimientos extremizantes\((a-ym + bm^2)\,m=0\), que tiene tres raíces, una en\(m=0\) y las otras dos en\(m=m\ns_\pm\equiv{y\over 2b}\pm\sqrt{\big({y\over 2b}\big)^2 - {a\over b}}\). La situación es como se representa en la Fig. [cuártica]. Porque\(y^2 > 4ab\) sólo la\(m=0\) raíz es real. Porque\(4ab < y^2 < \frac{9}{2}ab\), las tres raíces son reales, pero el mínimo de\(f\) permanece en\(m=0\). Porque\(y^2 > \frac{9}{2}ab\), las tres raíces son reales, con un mínimo global en\(m=m\ns_+\) y uno local en\(m=m\ns_-\). Así, a lo largo de la curva\(y^2=\frac{9}{2}ab\), hay un cambio discontinuo en el parámetro de orden, entre\(m=0\) y\(m=3a/y\), que es el sello distintivo de una transición de fase de primer orden. Tenga en cuenta que esto ocurre para\(a>0\), antes de que el coeficiente del término cuadrático en\(f(m)\) haya cambiado de signo. Se dice en este caso que la transición de primer orden se adelanta a la de segundo orden.

\(\bullet\)Teoría media del campo de las fluctuaciones: Para el modelo de Ising\(\HH=-\sum_{i<j} J\ns_{ij}\,\sigma\ns_i\, \sigma\ns_j - \sum_i H\ns_i\,\sigma\ns_i\), ahora con campos locales\(H\ns_i\), la magnetización local es\(m\ns_i=\langle\sigma\ns_i\rangle=-{\pz F\over\pz H\ns_i}\). La susceptibilidad, dada por\(\xhi\ns_{ij}={\pz m\ns_i\over\pz H\ns_j}\), es un ejemplo de una función de respuesta termodinámica. En equilibrio, se relaciona con la función de correlación,\[C\ns_{ij}\equiv \langle\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\rangle-\langle\sigma\ns_i\rangle\,\langle\sigma\ns_j\rangle\ ,\] con\(C\ns_{ij}=\kT\,\xhi\ns_{ij}\). Dentro de la teoría del campo medio, esta relación ya no se aplica, y son las funciones de respuesta las que se representan con mayor precisión: la descripción habitual de MF trata cada sitio como independiente, de ahí\(C^\ssr{MF}_{ij}=0\) (!) Para calcular\(\xhi^\ssr{MF}_{ij}\), tomar una matriz de densidad variacional que es producto de las de un solo sitio, como arriba, donde está la magnetización local\(m\ns_i\). Al extremizar la energía libre resultante con respecto a cada una se\(m\ns_i\) obtiene un conjunto de ecuaciones no lineales acopladas,\[m\ns_i=\tanh\!\Bigg({\sum_j J\ns_{ij}\, m\ns_j + H\ns_i\over \kT}\Bigg)\ .\] expandiéndose para campos pequeños y magnetizaciones, se obtiene\(\sum_j \big(\kT\,\delta\ns_{ij}-J\ns_{ij}\big)\, m\ns_j=H\ns_i\), de ahí\(\xhi\ns_{ij}={\pz m\ns_i\over\pz H\ns_j}=\big(\kT\cdot{\mathbb I}-\MJ\big)^{-1}_{ij}\). Para los sistemas traduccionalmente invariantes, los vectores propios de la matriz\(J\ns_{ij}\) son ondas planas\(\psi\ns_{\Bq,i}=e^{i\Bq\cdot\BR\ns_i}\), y uno tiene\[{\hat m}(\Bq)={\HH(\Bq)\over \kT-{\hat J}(\Bq)}\qquad\Rightarrow\qquad {\hat\xhi}(\Bq)={\pz \Hm(\Bq)\over \pz\HH(\Bq)} = {1\over \kT-\HJ(\Bq)}\ ,\] dónde\(\HJ(\Bq)=\sum_\BR J(\BR)\,e^{-i\Bq\cdot\BR}\). El valor medio del campo de\(T\ns_\Rc\) es entonces\(\HJ(\BQ)\), donde\(\Bq=\BQ\) está el vector de onda de orden que maximiza\(\HJ(\Bq)\). Para un ferroimán, que está dominado por valores positivos de\(J\ns_{ij}\), uno tiene\(\BQ=0\), y expandiéndose sobre este punto se puede escribir\(\HJ(\Bq)=\kB T\ns_\Rc - C \Bq^2 + \ldots\), en cuyo caso\(\xhi(\Bq)\propto (\xi^{-2} + \Bq^2)^{-1}\) a longitudes de onda largas, que es de la forma Ornstein-Zernike (OZ).

\(\bullet\)Simetrías globales: Una simetría global es una operación que se lleva a cabo por igual en cada punto del espacio (sistemas continuos) o en cada celda unitaria de la celosía (sistemas discretos) de tal manera que el hamiltoniano queda invariante. Las operaciones de simetría comprenden un grupo\(G\). En ausencia de un campo externo que rompa la simetría, los sistemas de Ising tienen un grupo de simetría\(\MZ\ns_2\). El modelo de reloj\(p\) -state tiene grupo de simetría\(\MZ\ns_p\). El modelo\(q\) -state Potts tiene un grupo de simetría\(\CS\ns_q\) (el grupo de permutación en\(q\) elementos). En cada uno de estos casos, el grupo\(G\) es discreto. Ejemplos de modelos con simetrías continuas incluyen el\(XY\) modelo (\(G=\SO(2)\)), el modelo de Heisenberg (\(G=\SO(3)\)o\(\SO(n)\)), el Modelo Estándar de física de partículas (\(G=\SS\SU(3)\times\SS\SU(2)\times\SU(1)\)), Dependiendo de si\(G\) es discreto o continuo, y en la dimensión de espacio, puede que no haya fase ordenada posible. La dimensión crítica inferior\(d\ns_\ell\) de un modelo es la dimensión en o por debajo de la cual no hay ruptura de simetría espontánea a ninguna temperatura finita. Para sistemas con simetrías globales discretas,\(d\ns_\ell=1\). Para sistemas con simetrías globales continuas,\(d\ns_\ell=2\). La dimensión crítica superior\(d\ns_\Ru\) es la dimensión por encima de la cual los exponentes medios de campo son exactos. Esto depende de la estructura del modelo en sí, y no todos los modelos tienen una dimensión crítica superior finita.

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\(\bullet\)Sistemas aleatorios: Un sistema con órdenes de aleatoriedad apagadas de una manera diferente a una pura. Por lo general, la aleatoriedad puede modelarse como un campo de ruptura de simetría débil que varía espacialmente, pero promedia a cero en escalas grandes. Imry y Ma (1975) razonaron que tal sistema podría intentar bajar su energía formando dominios en los que el parámetro de orden aproveche las fluctuaciones locales en el campo aleatorio. Si el tamaño de estos dominios es\(L\ns_\Rd\), entonces las fluctuaciones rms del campo aleatorio integrado sobre un solo dominio son proporcionales a\(L_\Rd^{d/2}\), donde\(d\) está la dimensión del espacio. Al alinear el parámetro de orden en cada dominio con la dirección del campo promedio en el mismo, se disminuye la energía\(E\ns_{bulk}\approx -H\ns_{rms}\,(L\ns_\Rd/a)^{d/2}\) por dominio, donde\(a\) es una longitud microscópica. La energía superficial de un solo dominio es\(E\ns_{surf}\approx J (L\ns_\Rd/a)^{d-\sigma}\), donde\(\sigma=1\) si la simetría global es discreta y\(\sigma=2\) si es continua. Esto se desprende de un simple cálculo de la energía de pared de dominio asociada. Dividiendo por el número de átomos (o celdas unitarias) en un dominio\((L\ns_\Rd/a)^d\), se obtiene la densidad de energía,\[f\approx J\bigg({a\over L\ns_\Rd}\bigg)^{\!\sigma}-H\ns_{rms}\bigg({a\over L\ns_\Rd}\bigg)^{\!{d\over 2}}\ .\] Para\(d<2\sigma\) el término de superficie\((\propto J)\) domina para pequeños\(L\ns_\Rd\) y el término a granel para grandes\(L\ns_\Rd\). La energía tiene un mínimo en\(L\ns_\Rd\approx a\,(2\sigma J/dH\ns_{rms})^{2/(2\sigma-d)}\). Así, para\(d<2\sigma\) el estado ordenado es siempre inestable a la formación de dominio en presencia de un campo aleatorio. Pues\(d>2\sigma\), se invierte el dominio relevante de los dos términos, y el mínimo se convierte en máximo. Entonces hay dos posibilidades, dependiendo del tamaño relativo de\(J\) y\(H\ns_{rms}\). El valor más pequeño permitido para\(L\ns_d\) es la escala de celosía\(a\), en cuyo caso\(f(L\ns_\Rd=a)\approx J-H\ns_{rms}\). Comparando con\(f(L\ns_\Rd=\infty)=0\), vemos que si el campo aleatorio es débil, entonces\(J>H\ns_{rms}\), el estado mínimo de energía ocurre para\(L\ns_\Rd=\infty\), el sistema tiene un estado de tierra ordenado. Luego esperamos una temperatura crítica finita\(T\ns_\Rc>0\) para una transición a un estado alto\(T\) desordenado. Si por otro lado el campo aleatorio es fuerte y\(J< H\ns_{rms}\), entonces la energía se minimiza para\(L\ns_\Rd=a\), lo que significa que el estado fundamental del sistema está desordenado hasta la escala del espaciado de celosía. En este caso ya no hay ninguna transición de fase de temperatura finita, debido a que no hay fase ordenada.

\(\bullet\)Teoría de Ginzburg-Landau: Permitir que el parámetro de orden varíe en el espacio. La energía libre es entonces un funcional de\(m(\Bx)\):\[F\big[m(\Bx)\,,\,h(\Bx)\big]=\int\!\!d^d\!x\>\bigg\{ f\ns_0 + \half a m^2+ \fourth b m^4 \ -hm +\half\kappa\, (\bnabla m)^2 + \ldots\bigg\}\ .\] Extremizar\(F\) estableciendo la derivada funcional\(\delta F / \delta m(\Bx)\) a cero, resultando en\[am + bm^3 - hm - \kappa\,\nabla^2 m=0\ .\] For\(a>0\) y small\(h\) (take\(b,c>0\)) entonces\(m\) es pequeño, y uno tiene\((a-\kappa\nabla^2)m=h\), por lo tanto\(\Hm(\Bq)=\Hh(\Bq)/(a+\kappa\Bq^2)\), que es de la forma OZ. Si\(a<0\), escribir\(m(\Bx)=m\ns_0+\delta m(\Bx)\), y para pequeño\(|a|\) hallazgo\(m_0^2=-a/3b\) y\(\delta\Hm(\Bq)=\Hh(\Bq)/(-2a+\kappa\Bq^2)\). Más profundo en la fase ordenada (\(a<0\)), y para\(h=0\), se puede contemplar una situación en la que\(m(\Bx)\) interpola entre los dos valores degenerados\(\pm m\ns_0\). Suponiendo que la variación ocurre solo a lo largo de una dirección, se puede resolver\(am + bm^3 -\kappa\,d^2\!m/dx^2=0\) para obtener\(m(x)=m\ns_0\tanh(x/\sqrt{2}\,\xi)\), donde está la longitud de coherencia\(\xi=(\kappa/|a|)^{1/2}\).

\(\bullet\)Criterio de Ginzburg: La energía libre real de Helmholtz, que aquí llamaremos\(A(T,H,V,N)\), se obtiene realizando una integral funcional sobre el campo de parámetros de orden. La función de partición es\(Z= e^{-\beta A}=\int\! Dm \,e^{-\beta F[m(\Bx)]}\). Cerca\(T\ns_\Rc\), tenemos licencia para mantener solo términos cuadráticos en\(m\) y sus gradientes en\(F[m]\), resultando en\[A=\half\kT\sum_\Bq\ln\! \bigg({a+\kappa\,\Bq^2\over\pi\kT}\bigg)\ .\] Let\(a(t)=\alpha t\) con\(t\equiv (T-T\ns_\Rc)/T\ns_\Rc\), y dejar\(\RLambda^{-1}\) ser el corte microscópico (celosía). El calor específico es entonces (para\(t>0\)):\[c=-{1\over V\RLambda^d}\,T{\pz^2\!A\over\pz T^2}={\alpha^2\RLambda^{-d}\over 2\kappa^2}\!\!\int\limits^{\RLambda}\!\! {d^d\!q\over (2\pi)^d}\>{1\over (\xi^{-2} + \Bq^2)^2} \sim\begin{cases} {const.} & \hbox{if $d>4$} \\ -\ln t & \hbox{if $d=4$} \\ t^{{d\over 2}-2} & \hbox{if $d<4$}\ , \end{cases}\] con\(\xi=\big(\kappa/\alpha |t|\big)^{1/2}\propto |t|^{-1/2}\).

La dimensión crítica superior es\(d\ns_\ell=4\). Porque\(d>4\), la teoría de campo promedio es cualitativamente precisa, con correcciones finitas. En dimensiones\(d\le 4\), el resultado medio del campo se ve abrumado por las contribuciones de fluctuación como\(t\to 0^+\) (as\(T\to T_\Rc^+\)). Vemos que MFT es sensato siempre que las contribuciones de fluctuación sean pequeñas,\[R^{-4}\,\Sa^d\,\xi^{4-d}\ll 1 \ ,\] provistas de\(R=(\kappa/\alpha)^{1/2}\), lo que conlleva\(t\gg t\ns_\ssr{G}\), dónde\[t\ns_\ssr{G}=\bigg({\Sa\over R}\bigg)^{\!{2d\over 4-d}}\] está la temperatura reducida de Ginzburg. El criterio para la suficiencia de la teoría de campos medios, es decir\(t\gg t\ns_\ssr{G}\), se conoce como el criterio de Ginzburg. La región\(|t|<t\ns_\ssr{G}\) es conocida como la región crítica. En un ferroimán de celosía,\(R\sim\Sa\) se encuentra en la escala de la propia celosía el espaciamiento, de ahí\(t\ns_\ssr{G}\sim 1\) y el régimen crítico es muy grande. La teoría media del campo luego falla rápidamente como\(T\to T\ns_\Rc\). En un superconductor tridimensional (convencional),\(R\) está en el orden del tamaño del par Cooper, y\(R/\Sa\sim 10^2 - 10^3\), por lo tanto,\(t\ns_\ssr{G}=(a/R)^6\sim 10^{-18} - 10^{-12}\) es despreciablemente estrecho. La teoría del campo medio de la transición superconductora — teoría BCS — es entonces válida esencialmente todo el camino hasta\(T=T\ns_\Rc\).