7.10: Apéndice II- Ejemplos adicionales

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Modelo Blume-Capel

El modelo Blume-Capel proporciona una manera simple y conveniente de modelar sistemas con vacantes. Se escribe\[\HH=-\half\sum_{i,j} J\ns_{ij}\,S\ns_i\,S\ns_j +\RDelta\sum_i S^2_i\ .\] la versión más simple del modelo Las variables de giro\(S\ns_i\) oscilan sobre los valores\(\{-1\,,\,0\,,\,+1\}\), por lo que esta es una extensión del modelo de\(S=1\) Ising. Separamos explícitamente los términos diagonales\(J\ns_{ii}\equiv 0\), escribiéndolos y colocándolos en el segundo término en el RHS anterior. Decimos que sitio\(i\) está ocupado si\(S\ns_i=\pm 1\) y vacante si\(S\ns_i=0\), e identificamos\(-\RDelta\) como la energía de creación de vacantes, que puede ser positiva o negativa, dependiendo de si las vacantes son desfavorecidas o favorecidas en nuestro sistema.

Hacemos el campo medio Ansatz, escribiendo\(S\ns_i=m+\delta S\ns_i\). Esto da como resultado el campo medio hamiltoniano,\[\HH\ns_\ssr{MF}=\half N \jhz\, m^2 - \jhz\, m \sum_i S\ns_i + \RDelta\sum_i S^2_i\ .\] Una vez más, adimensionalizamos, escritura\(f\equiv F/N\jhz\),\(\theta=\kT/\jhz\), y\(\delta=\RDelta/\jhz\). Asumimos\(\jhz>0\). La energía libre por sitio es entonces\[f(\theta,\delta,m)=\half m^2 -\theta\ln\Big(1 + 2 e^{-\delta/\theta}\,\cosh(m/\theta)\Big)\ .\] Extremizante con respecto a\(m\), obtenemos la ecuación de campo medio,\[m={2\sinh(m/\theta)\over \exp(\delta/\theta) + 2\cosh(m/\theta)}\ .\] Tenga en cuenta que siempre\(m=0\) es una solución. Encontrar la pendiente del RHS en\(m=0\) y fijarlo a la unidad nos da la temperatura crítica:\[\theta\ns_\Rc={2\over \exp(\delta/\theta\ns_\Rc)+2}\ .\] Esta es una ecuación implícita para\(\theta\ns_\Rc\) en términos de la energía de vacante\(\delta\).

[blume] Diagrama de fase de campo medio para el modelo Blume-Capel. El punto negro significa un punto tricrítico, donde los coeficientes de\(m^2\) y\(m^4\) en la expansión de energía libre de Landau desaparecen. La curva discontinua denota una transición de primer orden y la curva sólida una transición de segundo orden. La delgada línea punteada es la continuación de la\(\theta_\Rc(\delta)\) relación con la temperatura cero.

Ahora ampliemos la energía libre en términos de la magnetización\(m\). Encontramos, a cuarto orden,\[\begin{split} f&=-\theta\ln\big(1+2 e^{-\delta/\theta}\big) + {1\over 2\theta}\bigg(\theta-{2\over 2 + \exp(\delta/\theta)}\bigg) m^2\\ &\qquad\qquad\qquad + {1\over 12\,\big(2+\exp(\delta/\theta)\big)\theta^3}\>\bigg({6\over 2+\exp(\delta/\theta)}-1\bigg)m^4 + \ldots\ . \end{split}\] Tenga en cuenta que establecer el coeficiente del\(m^2\) término a cero arroja la ecuación para\(\theta\ns_\Rc\). No obstante, tras un examen más detallado, vemos que el coeficiente del\(m^4\) término también puede desvanecerse. Como hemos visto, cuando tanto los coeficientes de\(m^2\) los términos como los\(m^4\) términos desaparecen, tenemos un punto tricrítico ²². Estableciendo ambos coeficientes a cero, obtenemos\[\theta\ns_\Rt=\frac{1}{3}\quad,\quad\delta\ns_\Rt=\frac{2}{3}\ln 2\ .\]

En\(\theta=0\), es fácil ver que tenemos una transición de primer orden, simplemente comparando las energías de los estados paramagnético (\(S\ns_i=0\)) y ferromagnético (\(S_i=+1\)o\(S_i=-1\)). Tenemos\[{E\ns_\ssr{MF}\over N\jhz}=\begin{cases} 0 & {if}\ m=0 \\ \half-\RDelta & {if}\ m=\pm 1\ . \end{cases}\] Estos resultados son, de hecho, exactos, y no sólo válidos para la teoría del campo medio. La teoría del campo medio es aproximada porque descuida las fluctuaciones, pero a temperatura cero, ¡no hay fluctuaciones que descuidar!

El diagrama de fases se muestra en la Figura [blume]. Tenga en cuenta que para\(\delta\) grandes y negativas, las vacantes son fuertemente desfavorecidas, de ahí que los únicos estados permitidos en cada sitio tienen\(S\ns_i=\pm 1\), que es nuestro viejo amigo el modelo de Ising de dos estados. En consecuencia, el límite de fase se aproxima a la línea vertical\(\theta\ns_\Rc=1\), que es la temperatura media de transición de campo para el modelo de Ising de dos estados.

Ising antiferroimán en un campo externo

Considera el siguiente modelo:\[\HH=J\sum_{\langle ij\rangle}\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j -H\sum_i\sigma\ns_i\ ,\] con\(J>0\) y\(\sigma\ns_i=\pm 1\). Hemos resuelto para el diagrama de fases de campo medio del ferroimán de Ising; ¿qué sucede si las interacciones son antiferromagnéticas?

Resulta que bajo ciertas circunstancias, el ferroimán y el antiferroimán se comportan exactamente igual en términos de su diagrama de fases, funciones de respuesta, Esto ocurre cuando\(H=0\), y cuando las interacciones son entre vecinos más cercanos en una red bipartita. Una celosía bipartita es aquella que se puede dividir en dos sublátices, a los que llamamos A y B, de tal manera que un sitio A solo tiene vecinos B, y un sitio B tiene solo vecinos A. Las celosías cúbicas cuadradas, de nido de abeja y centradas en el cuerpo (BCC) son bipartitas. Las celosías cúbicas triangulares y centradas en la cara no son bipartitas. Ahora bien, si la celosía es bipartita y la matriz de interacción\(J\ns_{ij}\) es distinta de cero solo cuando\(i\) y\(j\) son de diferentes sublátices (no necesitan ser solo vecinos más cercanos), entonces simplemente podemos redefinir las variables de giro de tal manera que\[\sigma'_j=\begin{cases} +\sigma\ns_j & {if}\ j\in\RA\\ -\sigma\ns_j & {if}\ j\in\RB\ . \end{cases}\] Entonces\(\sigma'_i\sigma'_j=-\sigma\ns_i\,\sigma\ns_j\), y en términos del nuevo giro variables que la constante de intercambio ha invertido. Las propiedades termodinámicas son invariantes bajo tal redefinición de las variables de espín.

Podemos ver por qué este truco no funciona ante la presencia de un campo magnético, porque el campo\(H\) tendría que invertirse sobre el sublatice B. Es decir, la termodinámica de un ferroimán de Ising sobre una celosía bipartita en un campo aplicado uniforme es idéntica a la del antiferroimán Ising, con la misma constante de intercambio (en magnitud), en presencia de un campo escalonado\(H\ns_\ssr{A}=+H\) y\(H\ns_\ssr{B}=-H\).

Tratamos este problema utilizando el método de matriz de densidad variacional, utilizando dos parámetros variacionales independientes\(\msa\) y\(\msb\) para las dos sublátices:\[\begin{split} \vrh_\ssr{A}(\sigma)&={1+\msa\over 2} \> \delta\ns_{\sigma,1} + {1-\msa\over 2} \> \delta\ns_{\sigma,-1}\\ \vrh_\ssr{B}(\sigma)&={1+\msb\over 2} \> \delta\ns_{\sigma,1} + {1-\msb\over 2} \> \delta\ns_{\sigma,-1}\ . \end{split}\] Con la adimensionalización habitual,\(f=F/NzJ\),\(\theta=\kT/zJ\), y\(h=H/zJ\), tenemos la energía libre\[f(\msa,\msb)=\half\msa\msb-\half\, h\, (\msa+\msb) -\half\,\theta \, s(\msa) -\half\,\theta\,s(\msb)\ ,\] donde se encuentra la entropía la función es\[s(m)=-\Bigg[{1+m\over 2}\>\ln\!\bigg({1+m\over 2}\bigg) +{1-m\over 2}\>\ln\!\bigg({1-m\over 2}\bigg) \Bigg]\ .\] Tenga en cuenta que\[{ds\over dm}=-\half\,\ln\!\bigg({1+m\over 1-m}\bigg)\qquad,\qquad {d^2\!s\over dm^2}=-{1\over 1-m^2}\ .\]

[affgraph] Solución gráfica a las ecuaciones de campo medio para el antiferroimán Ising en un campo externo, aquí para\(\theta=0.6\). En sentido horario desde la parte superior izquierda: (a)\(h=0.1\), (b)\(h=0.5\), (c)\(h=1.1\), (d)\(h=1.4\).

Diferenciando\(f(\msa,\msb)\) con respecto a los parámetros variacionales, obtenemos dos ecuaciones de campo medias acopladas:\[\begin{split} {\pz f\over\pz\msa}&=0 \quad \Longrightarrow\quad \msb=h-{\theta\over 2}\ln\!\bigg({1+\msa\over 1-\msa}\bigg) \\ {\pz f\over\pz\msb}&=0 \quad \Longrightarrow\quad \msa=h-{\theta\over 2}\ln\!\bigg({1+\msb\over 1-\msb}\bigg)\ .\bvph \end{split}\] Reconociendo\(\tanh^{-1}(x)=\half\ln\Big[(1+x)/(1-x)\Big]\), podemos escribir estas ecuaciones en una forma equivalente pero quizás más sugerente:\[\msa=\tanh\bigg({h-\msb\over\theta}\bigg)\qquad,\qquad \msb=\tanh\bigg({h-\msa\over\theta}\bigg)\ .\] En otras palabras, los sitios de sublatice A ven un campo interno \(H\ns_{\ssr{A},{int}}=-zJ\msb\)de sus vecinos B, y los sitios de sublatice B ven un campo interno\(H\ns_{\ssr{B},{int}}=-zJ\msa\) de sus vecinos A.

Podemos resolver estas ecuaciones gráficamente, como en la Figura [affgraph]. Tenga en cuenta que siempre hay una solución paramagnética con\(\msa=\msb=m\), donde\[m=h-{\theta\over 2}\,\ln\!\bigg({1+m\over 1-m}\bigg)\qquad\Longleftrightarrow\qquad m=\tanh\bigg({h-m\over\theta}\bigg)\ .\] Sin embargo, podemos ver a partir de la figura que habrá tres soluciones a las ecuaciones de campo medio siempre que\({\pz \msa\over\pz \msb}<-1\) en el punto de la solución donde\(\msa=\msb=m\). Esto nos da dos ecuaciones con las que eliminar\(\msa\) y\(\msb\), dando como resultado la curva\[h^*(\theta)=m+{\theta\over 2}\,\ln\!\bigg({1+m\over 1-m}\bigg)\qquad {with}\ \ m=\sqrt{1-\theta\,}\ .\] Así, para\(\theta<1\) y\(|h|<h^*(\theta)\) hay tres soluciones a las ecuaciones de campo promedio. Por lo general es el caso, las soluciones de simetría rotas, que significan aquellas para las que\(\msa\ne\msb\) en nuestro caso, son de menor energía que la (s) solución (es) simétrica (s). Se muestra la curva\(h^*(\theta)\) en la Figura [affpd].

[affpd] Diagrama de fase de campo medio para el antiferroimán Ising en un campo externo. El diagrama de fases es simétrico bajo reflexión en el\(h=0\) eje.

Podemos hacer avances adicionales definiendo las magnetizaciones promedio y escalonadas\(m\) y\(\mss\),\[m\equiv \half(\msa+\msb) \qquad,\quad \mss\equiv\half (\msa-\msb)\ .\] Ampliamos la energía libre en términos de\(\mss\):\[\begin{split} f(m,\mss)&=\half m^2 -\half m_\Rs^2- h\,m - \half\,\theta\, s(m+\mss) - \half \,\theta\,s(m-\mss)\\ &=\half m^2 - h\,m -\theta \,s(m) -\half\Big(1+\theta\,s''(m)\Big)\,m_\Rs^2 -\frac{1}{24}\,\theta\,s''''(m)\,m_\Rs^4 + \ldots\ . \end{split}\] El término cuadrático en\(\mss\) desaparece cuando\(\theta\,s''(m)=-1\), cuándo\(m=\sqrt{1-\theta}\). Es fácil\[{d^3\!s\over dm^3}=-{2m\over (1-m^2)^2}\qquad,\qquad {d^4\!s\over dm^4}=-{2\,(1+3m^2)\over (1-m^2)^3}\ ,\] de obtener de lo que aprendemos que el coeficiente del término cuártico\(-\frac{1}{24}\,\theta\,s''''(m)\),, nunca desaparece. Por lo tanto, la transición sigue siendo de segundo orden hasta\(\theta=0\), donde finalmente se convierte en primer orden.

Podemos confirmar el\(\theta\to 0\) límite directamente. Los dos estados competidores son el ferroimán, con\(\msa=\msb=\pm 1\), y el antiferroimán, con\(\msa=-\msb=\pm 1\). Las energías libres de estos estados son\[f^\ssr{FM}=\half-h \qquad,\qquad f^\ssr{AFM}=-\half\ .\] Hay una transición de primer orden cuando\(f^\ssr{FM}=f^\ssr{AFM}\), que rinde\(h=1\).

Antiferroimán cuántico inclinado

Considera el siguiente modelo para los\(S=\half\) giros cuánticos:\[\HH=\sum_{\langle ij\rangle} \Big[-J\big(\sigma^x_i\sigma^x_j + \sigma^y_i\sigma^y_j\big) +\RDelta\,\sigma^z_i\sigma^z_j\Big] + \fourth K\sum_{\langle ijkl\rangle} \sigma^z_i\sigma^z_j\sigma^z_k\sigma^z_l\ , \label{cantham}\] dónde\(\Bsigma\ns_i\) está el vector de matrices Pauli en el sitio\(i\). Los giros viven en una celosía cuadrada. La segunda suma es sobre todas las plaquetas cuadradas. Todas las constantes\(J\),\(\RDelta\), y\(K\) son positivas.

Echemos un vistazo al hamiltoniano por un momento. El\(J\) término claramente quiere que los giros se alineen ferromagnéticamente en el\((x,y)\) plano (en el espacio de giro interno). El\(\RDelta\) término prefiere la alineación antiferromagnética a lo largo del\(\HBz\) eje. El\(K\) término desalienta cualquier tipo de momento a lo largo\(\HBz\) y funciona en contra del\(\RDelta\) término. Nos gustaría que nuestra teoría de campo medio captara la física detrás de esta competencia.

En consecuencia, dividimos la celosía\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}\) cuadrada en dos sublátices cuadrados interpenetrantes (cada uno girado\(45^\circ\) con respecto al original), para poder describir un estado antiferromagnético. Además, incluimos un parámetro\(\alpha\) que describe el ángulo de inclinación que hacen los giros en estos sublátices con respecto al\(\HBx\) eje -eje. Es decir, escribimos\[\begin{split} \vrh\ns_\ssr{A}&=\half + \half m\,\big(\sin\alpha\>\sigma^x +\cos\alpha\>\sigma^z )\\ \vrh\ns_\ssr{B}&=\half + \half m\,\big(\sin\alpha\>\sigma^x - \cos\alpha\>\sigma^z )\ .\vph \end{split}\] Tenga en cuenta que\(\Tra\vrh\ns_\ssr{A}=\Tra\vrh\ns_\ssr{B}=1\) así se normalizan estas matrices de densidad. Obsérvese también que la dirección media para un giro en los sublátices A y B viene dada por\[\Bm\ns_\ssr{A,B}=\Tra(\vrh\ns_\ssr{A,B}\,\Bsigma)=\pm\, m\cos\alpha\,\HBz + m\sin\alpha\>\HBx\ .\] Así, cuando\(\alpha=0\), el sistema es un antiferroimán con su momento escalonado que se extiende a lo largo del\(\HBz\) eje. Cuando\(\alpha=\half\pi\), el sistema es un ferroimán con su momento acostado a lo largo del\(\HBx\) eje.

Por último, los valores propios de\(\vrh\ns_\ssr{A,B}\) son todavía\(\lambda\ns_\pm=\half(1\pm m)\), de ahí\[\begin{split} s(m)&\equiv-\Tra (\vrh\ns_\ssr{A}\ln\vrh\ns_\ssr{A})=-\Tra (\vrh\ns_\ssr{B}\ln\vrh\ns_\ssr{B})\\ &=-\Bigg[{1+m\over 2}\>\ln\!\bigg({1+m\over 2}\bigg) +{1-m\over 2}\> \ln\!\bigg({1-m\over 2}\bigg) \Bigg]\ . \end{split}\] Tenga en cuenta que hemos tomado\(m\ns_\ssr{A}=m\ns_\ssr{B}=m\), a diferencia del caso del antiferroimán en un campo uniforme. La razón es que queda en nuestro modelo una simetría entre los sublátigos A y B.

La energía libre ahora se calcula fácilmente:\[\begin{split} F&=\Tra (\vrh\HH)+\kT\Tra (\vrh\ln\vrh)\bvph\\ &=-2N\Big(J\,\sin^2\!\alpha +\RDelta\,\cos^2\!\alpha\Big)\,m^2 + \fourth N K m^4\cos^4\!\alpha-N\kT\,s(m) \end{split}\] Podemos adimensionalizar definiendo\(\delta\equiv\RDelta/J\),\(\kappa\equiv K/4J\), y\(\theta\equiv\kT/4J\). Entonces la energía libre por sitio\(f\equiv F/4NJ\) es\[f(m,\alpha)=-\half m^2 +\half\big(1-\delta\big)\,m^2\cos^2\!\alpha + \fourth\kappa\, m^4\cos^4\!\alpha-\theta\,s(m)\ . \label{cantedferg}\] Hay dos parámetros variacionales:\(m\) y\(\theta\). Así obtenemos dos ecuaciones de campo medias acopladas,\[\begin{split} {\pz f\over\pz m}&=0=-m+\big(1-\delta\big)\, m\,\cos^2\!\alpha + \kappa\,m^3\cos^4\!\alpha + \half\theta\,\ln\!\bigg({1+m\over 1-m}\bigg)\bvph\\ {\pz f\over\pz \alpha}&=0=\Big(1-\delta + \kappa\,m^2\cos^2\!\alpha\Big)\, m^2\sin\alpha\,\cos\alpha\ . \end{split}\]

Empecemos con la segunda de las ecuaciones de campo medio. Suponiendo\(m\ne 0\), queda claro a partir de la Ecuación [cantedferg] que\[\cos^2\!\alpha=\begin{cases} 0 & {if}\ \ \delta < 1\\ &\\ (\delta-1)/\kappa m^2& {if}\ \ 1\le\delta\le 1+\kappa\,m^2 \\ &\\ 1 & {if}\ \ \delta \ge 1+\kappa\, m^2\ . \end{cases}\] Supongamos\(\delta<1\). Entonces tenemos\(\cos\alpha=0\) y la primera ecuación de campo medio arroja el resultado familiar A\[m=\tanh\big(m/\theta\big)\ .\] lo largo del\(\theta\) eje, entonces, tenemos la transición habitual ferromagnético-paramagnet en\(\theta\ns_\Rc=1\).

[cantpd] Diagrama de fase de campo medio para el modelo de Ecuación [cantham] para el caso\(\kappa=1\).

Porque\(1<\delta < 1+\kappa m^2\) tenemos inclinación con un ángulo\[\alpha=\alpha^*(m)=\cos^{-1}\sqrt

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\ .\] Sustituyendo esto en la primera ecuación de campo medio, obtenemos una vez más la relación\(m=\tanh\big(m/\theta\big)\). Sin embargo, eventualmente, a medida\(\theta\) que se incrementa, la magnetización caerá por debajo del valor\(m_0\equiv\sqrt{(\delta-1)/\kappa\,}\). Esto ocurre a una temperatura adimensional\[\theta\ns_0={m\ns_0\over\tanh^{-1}(m\ns_0)} < 1\qquad;\qquad m\ns_0=\sqrt

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\ .\] Para\(\theta > \theta\ns_0\), tenemos\(\delta > 1+\kappa m^2\), y debemos tomar\(\cos^2\!\alpha=1\). La primera ecuación de campo medio entonces se convierte en\[\delta m - \kappa m^3 = {\theta\over 2}\,\ln\!\bigg({1+m\over 1-m}\bigg)\ ,\] o, de manera equivalente,\(m=\tanh\big( (\delta m -\kappa m^3)/\theta\big)\). Un simple análisis gráfico muestra que existe una solución no trivial proporcionada\(\theta < \delta\). Ya que\(\cos\alpha=\pm 1\), esta solución describe un antiferroimán, con\(\Bm\ns_\ssr{A}=\pm m\zhat\) y\(\Bm\ns_\ssr{B}=\mp m\zhat\). El diagrama de fase de campo medio resultante es entonces como se representa en la Figura [cantpd].

Parámetros de orden acoplados

Considera la energía libre Landau\[f(m,\phi)=\half \,a\ns_m\,m^2 + \fourth\,b\ns_m\,m^4 + \half \,a\ns_\phi\,\phi^2 + \fourth\,b\ns_\phi\,\phi^4 + \half \Lambda\,m^2\,\phi^2\ . \label{coupledLandau}\] Escribimos\[a\ns_m\equiv\alpha\ns_m\,\theta\ns_m \qquad,\qquad a\ns_\phi=\alpha\ns_\phi\,\theta\ns_\phi\ ,\]\[\thm={T-T\ns_{\Rc,m}\over T\ns_0} \qquad,\qquad \thp={T-T\ns_{\Rc,\phi}\over T\ns_0}\ ,\] dónde\(T\ns_0\) está alguna escala de temperatura. Asumimos sin pérdida de generalidad eso\(T\ns_{\Rc,m} > T\ns_{\Rc,\phi}\). Comenzamos por reescalar: Entonces\[m\equiv \bigg({\alpha\ns_m\over b\ns_m}\bigg)^{\!\!1/2}\,\mtil\qquad,\qquad \phi\equiv \bigg({\alpha\ns_m\over b\ns_m}\bigg)^{\!\!1/2}\,\phitil\ .\] tenemos\[f=\ve\ns_0\>\bigg\{r \, \big( \half\thm\,\mtil^2 + \fourth\, \mtil^4\big) + r^{-1}\,\big( \half\, \thp\,\phitil^2 + \fourth\,\phitil^4\big) + \half\,\lambda\,\mtil^2\phitil^2\bigg\}\ ,\] donde\[\ve\ns_0={\alpha\ns_m\,\alpha\ns_\phi\over (b\ns_m\,b\ns_\phi)^{1/2}}\qquad,\qquad r = {\alpha\ns_m\over\alpha\ns_\phi}\,\bigg({b\ns_\phi\over b\ns_m}\bigg)^{\!\!1/2}\qquad,\qquad \lambda = {\Lambda\over(b\ns_m\,b\ns_\phi)^{1/2}} \ .\] resulta conveniente realizar una última reescalación, escritura\[{\tilde m}\equiv r^{-1/4}\,{\textsf m} \quad,\quad {\tilde\phi}\equiv r^{1/4}\,\vphi\ .\] Entonces\[f=\ve\ns_0\bigg\{ \half q\,\thm\,\Sm^2 + \fourth\,\Sm^4 + \half q^{-1}\,\thp\,\vphi^2 + \fourth\,\vphi^4 + \half\,\lambda\,\Sm^2\,\vphi^2\bigg\}\ ,\] donde\[q=\sqrt{r}=\bigg({\alpha\ns_m\over\alpha\ns_\phi}\bigg)^{\!\!1/2}\bigg({b\ns_\phi\over b\ns_m}\bigg)^{\!\!1/4}\ .\] Tenga en cuenta que podemos escribir\[f(\Sm,\vphi)={\ve\ns_0\over 4}\begin{pmatrix} \Sm^2 & \vphi^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ \lambda & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Sm^2 \\ \vphi^2\end{pmatrix} + {\ve\ns_0\over 2} \begin{pmatrix} \Sm^2 & \vphi^2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} q\,\thm \\ q^{-1}\,\thp \end{pmatrix}\ .\] Los valores propios de la\(2\times 2\) matriz anterior son\(1\pm \lambda\), con correspondientes vectores propios\(\big({1\atop \pm 1}\big)\). Ya que\(\vphi^2>0\), sólo nos interesa el primer vector propio\(\big({1\atop 1}\big)\), correspondiente al valor propio\(1+\lambda\). Claramente cuando\(\lambda<1\) la energía libre está sin límites desde abajo, que es poco física.

Ahora establecemos\[{\pz f\over\pz \Sm}=0\qquad,\qquad {\pz f\over\pz\vphi}=0\ ,\] e identificamos cuatro posibles fases:

• Fase I:\(\Sm=0\),\(\vphi=0\). La energía libre es\(f\ns_\ssr{I}=0\).
• Fase II:\(\Sm\ne 0\) con\(\vphi=0\). La energía libre es de\[f={\ve\ns_0\over 2}\,\big(q\,\thm\,\Sm^2 + \half\,\Sm^4\big)\ ,\] ahí que requerimos\(\thm<0\) en esta fase, en cuyo caso\[\Sm\ns_\ssr{II}=\sqrt{-q\,\thm}\qquad,\qquad f\ns_\ssr{II}=-{\ve\ns_0\over 4}\,q^2\,\theta_m^2\ .\]
• Fase III:\(m= 0\) con\(\vphi\ne0\). La energía libre es de\[f={\ve\ns_0\over 2}\,\big(q^{-1}\,\thp\,\vphi^2 + \half\,\vphi^4\big)\ ,\] ahí que requerimos\(\thp<0\) en esta fase, en cuyo caso\[\vphi\ns_\ssr{III}=\sqrt{-q^{-1}\,\thp}\qquad,\qquad f\ns_\ssr{III}=-{\ve\ns_0\over 4}\,q^{-2}\,\theta_\phi^2\ .\]
• Fase IV:\(\Sm\ne 0\) y\(\vphi\ne0\). \(f\)Variables rendimientos\[\begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ \lambda &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \Sm^2 \\ \vphi^2\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} q\,\thm \\ q^{-1}\,\thp \end{pmatrix}\ ,\] con solución\[\begin{split} \Sm^2&={q\,\thm-q^{-1}\,\thp\,\lambda\over\lambda^2-1}\vph\\ \vphi^2&={q^{-1}\,\thp-q\,\thm\,\lambda\over\lambda^2-1}\ . \label{IVab} \end{split}\] Dado que\(\Sm^2\) cada uno de ellos\(\vphi^2\) debe ser no negativo, la fase IV existe solo sobre un subconjunto aún por determinar de todo el espacio de parámetros. La energía libre es\[f\ns_\ssr{IV}={q^2\,\theta_m^2 + q^{-2}\,\theta_\phi^2 - 2\lambda\,\thm\,\thp\over 4(\lambda^2-1)}\ .\]

Ahora definimos\(\theta\equiv\thm\) y\(\tau\equiv\thp-\thm=(T\ns_{\Rc,m}-T\ns_{\Rc,\phi)}/T\ns_0\). Tenga en cuenta que\(\tau>0\). Hay tres posibles rangos de temperatura a considerar.

• \(\thp>\thm>0\). Las únicas fases posibles son I y IV. Para la fase IV, debemos imponer las condiciones\(m^2>0\) y\(\phi^2>0\). Si\(\lambda^2>1\), entonces los numeradores en eqns. [IVab] cada uno debe ser positivo:\[\lambda < {q^2\,\thm\over\thp} \quad,\quad \lambda < {\thp\over q^2\,\thm} \quad\Rightarrow\quad \lambda < {min}\bigg({q^2\,\thm\over \thp}\,,\, {\thp\over q^2\thm}\bigg)\ .\] Pero como cualquiera\(q^2\thm/\thp\) o su inverso debe ser menor o igual a la unidad, esto requiere\(\lambda < -1\), que es antifísico.

  Si por otro lado asumimos\(\lambda^2<1\), la no negatividad de\(\Sm^2\) y\(\vphi^2\) requiere\[\lambda > {q^2\,\thm\over\thp} \quad,\quad \lambda > {\thp\over q^2\,\thm} \quad\Rightarrow\quad \lambda > {max}\bigg({q^2\,\thm\over \thp}\,,\, {\thp\over q^2\thm}\bigg)>1\ .\] Así,\(\lambda>1\) y tenemos una contradicción.

  Por lo tanto, la única fase permitida para\(\theta>0\) es la fase I.

• \(\thp > 0 > \thm\). Ahora las fases posibles son I, II y IV. Podemos descartar de inmediato la fase I porque\(f\ns_\ssr{II} < f\ns_\ssr{I}\). Para comparar las fases II y IV, calculamos\[\RDelta f = f\ns_\ssr{IV}-f\ns_\ssr{II}={(q\,\lambda\,\thm - q^{-1}\,\thp)^2\over 4(\lambda^2-1)}\ .\] Así, la fase II tiene la menor energía si\(\lambda^2>1\). Para\(\lambda^2<1\), la fase IV tiene la menor energía, pero las condiciones\(\Sm^2>0\) y\(\vphi^2>0\) luego conllevan\[{q^2 \thm\over\thp} < \lambda < {\thp\over q^2\thm} \quad \Rightarrow \quad q^2 |\thm| > \thp > 0\ .\] Así,\(\lambda\) se restringe al rango\[\lambda\in \Bigg[ -1\,,\, -{\thp\over q^2 |\thm|}\Bigg]\ .\] Con\(\thm\equiv\theta<0\) y\(\thp\equiv\theta+\tau>0\),\(q^2 |\thm| > \thp\) se encuentra que la condición es\[-\tau < \theta < -{\tau\over q^2+1} \ .\] Así, la fase IV existe y tiene menor energía cuando\[-\tau < \theta < -{\tau\over r+1} \quad {and}\quad -1 < \lambda < -{\theta+\tau\over r\theta}\ ,\] donde\(r=q^2\).
• \(0 > \thp > \thm\). En este régimen, cualquier fase es posible, sin embargo una vez más se puede descartar la fase I ya que las fases II y III son de menor energía libre. Es la condición de que la fase II tenga menor energía libre que la fase III\[f\ns_\ssr{II} - f\ns_\ssr{III} = {\ve\ns_0\over 4}\big(q^{-2}\theta_\phi^2-q^2\theta_m^2\big) < 0\ ,\]\(|\thp| < r |\thm|\), lo que significa\(r |\theta| > |\theta| - \tau\). Si\(r>1\) esto es cierto para todos\(\theta<0\), mientras que si\(r<1\) la fase II es menor en energía sólo para\(|\theta| < \tau/(1-r)\).

  [FcoupledLandau] Diagrama de fases para\(\tau=0.5\),\(r=1.5\) (arriba) y\(\tau=0.5\),\(r=0.25\) (abajo). La región púrpura eclosionada es poco física, con una energía libre sin límites desde abajo. Las líneas azules denotan transiciones de segundo orden. La línea roja gruesa que separa las fases II y III es una línea de primer orden.

  A continuación tenemos que probar si la fase IV tiene una energía aún menor que la menor de las fases II y III. Tenemos\[\begin{split} f\ns_\ssr{IV}-f\ns_\ssr{II}&={(q\,\lambda\,\thm - q^{-1}\,\thp)^2\over 4(\lambda^2-1)}\vph\\ f\ns_\ssr{IV}-f\ns_\ssr{III}&={(q\,\thm - q^{-1}\,\lambda\,\thp)^2\over 4(\lambda^2-1)}\ . \end{split}\] En ambos casos, la fase IV sólo puede ser la verdadera fase termodinámica si\(\lambda^2<1\). Entonces requerimos\(\Sm^2>0\) y\(\vphi^2>0\), que fija\[\lambda \in \Bigg[ -1\,,\,{min}\bigg({q^2\,\thm\over \thp}\,,\,{\thp\over q^2\thm}\bigg)\Bigg]\ .\] El límite superior será el primer término dentro de los corchetes redondeados si\(q^2|\thm| < \thp\), si\(r |\theta| < |\theta| - \tau\). Esto es imposible si\(r>1\), de ahí que el límite superior viene dado por el segundo término entre corchetes redondeados:\[r>1\ :\ \lambda \in\bigg[ -1 \,,\, {\theta+\tau\over r\,\theta}\bigg]\qquad \hbox{(condition for phase IV)}\ .\] Si\(r<1\), entonces el límite superior será\(q^2\thm/\thp=r\theta/(\theta+\tau)\) si\(|\theta|>\tau/(1-r)\), y será\(\thp/q^2\thm=(\theta+\tau)/r\theta\) si\(|\theta|<\tau/(1-r)\). \[\begin{split} r<1\ ,\ -{\tau\over 1-r} < \theta < -\tau\ &:\ \lambda \in \bigg[ -1\,,\,{\theta+\tau\over r\theta}\Bigg]\qquad \hbox{(phase IV)}\\ r<1\ ,\ \theta < -{\tau\over 1-r} \ &:\ \lambda \in \bigg[ -1\,,\,{ r\theta\over\theta+\tau}\Bigg]\qquad \hbox{(phase IV)}\ . \end{split}\]

Diagramas de fase representativos para los casos\(r>1\) y\(r<1\) se muestran en la Figura [fAcopladoLandau].

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1. Siempre hay una solución para\((\pz p/\pz v)\ns_T=0\) at\(v=\infty\). ↩
2. ¡No confundas la energía libre molar (\(f\)) con el número de grados moleculares de libertad (\(f\))! ↩
3. Johannes Diderik van der Waals, el mayor de diez hijos, era hijo de un carpintero. De niño recibía sólo una educación primaria. Trabajó para ganarse la vida hasta los 25 años, y pudo inscribirse en una escuela industrial vespertina de tres años para jóvenes de clase trabajadora. Posteriormente continuó sus estudios de manera independiente, en su tiempo libre, trabajando como maestro. Para cuando obtuvo su doctorado, tenía 36 años. Recibió el Premio Nobel de Física en 1910. ↩
4. Ver www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1910/waals-lecture.pdf ↩
5. También se podría identificar la segunda correspondencia\(n\longleftrightarrow m\) entre densidad (en lugar de volumen específico) y magnetización. Uno podría objetar que\(H\) es más propiamente análogo a\(\mu\). No obstante,\(\mu=\mu(p,T)\) ya que puede ser igualmente considerado como análogo a\(p\). Tenga en cuenta también que\(\beta p=z\lambda_T^{-d}\) para el gas ideal, en cuyo caso\(\xi=z (a/\lambda\ns_T)^d\) es proporcional a\(p\). ↩
6. Observe la distinción entre el número de sitios de celosía\(\NS\) y el número de celdas ocupadas\(N\). De acuerdo con nuestras definiciones,\(N=\half (M+\NS)\). ↩
7. En la tercera de las siguientes igualdades exponentes,\(d\) se encuentra la dimensión del espacio y\(\nu\) es el exponente de longitud de correlación. ↩
8. Una celosía Bravais es aquella en la que cualquier sitio es equivalente a cualquier otro sitio a través de una traducción discreta apropiada. Los ejemplos de celosías de Bravais incluyen las celosías de cadena lineal, cuadrada, triangular, cúbica simple, cúbica centrada en la cara. La celosía de nido de abeja no es una celosía de Bravais, porque hay dos conjuntos de sitios inequivalentes: los que están en el centro de una Y y los del centro de una Y. al revés ↩
9. Para obtener este resultado, se escribe\(f=f\big(\theta,m(\theta)\big)\) y luego se diferencia dos veces con respecto a\(\theta\), usando la regla de la cadena. En el camino, cualquier término desnudo (indiferenciado) proporcional a\({\pz f\over\pz m}\) puede ser descartado, ya que éste desaparece en cualquiera\(\theta\) por la ecuación de campo medio. ↩
10. Pierre Curie fue pionero en los campos de la cristalografía, el magnetismo y la física de la radiación. En 1880, Pierre y su hermano mayor Jacques descubrieron la piezoelectricidad. Tenía 21 años en su momento. Fue en 1895 cuando Pierre realizó los primeros estudios sistemáticos de los efectos de la temperatura en los materiales magnéticos, y formuló lo que se conoce como Ley de Curie\(\xhi=C/T\), donde\(C\) es una constante. Curie se casó con Marie Sklodowska ese mismo año. Su investigación giró hacia la radiación, descubierta recientemente por Becquerel y R ö ntgen. En 1898, Pierre y Marie Curie descubrieron el radio. Compartieron el Premio Nobel de Física 1903 con Becquerel. Marie pasó a ganar el Premio Nobel de Química 1911 y fue la primera persona que recibió dos premios Nobel. Su hija Ir è ne Joliot Curie compartió el Premio 1935 de Química (con su marido), también por el trabajo sobre radiactividad. Pierre Curie encontró un final inoportuno y desafortunado en la primavera de 1906. Al cruzar la Place Dauphine, se resbaló y cayó bajo una pesada carreta tirada por caballos que transportaba uniformes militares. Su cráneo fue aplastado por una de las ruedas del vagón, matándolo instantáneamente. Posteriormente ese año, Pierre-Ernest Weiss propuso una modificación de la Ley de Curie para dar cuenta del ferromagnetismo. Esto se conoció como la ley Curie-Weiss,\(\xhi=C/(T-T\ns_\Rc)\). ↩
11. Los términos de autointeracción con\(i=j\) contribuyen a una constante\(\HH\) y pueden ser incluidos o excluidos. Sin embargo, esta propiedad solo pertenece al\(\sigma\ns_i=\pm 1\) modelo. Para versiones de mayor giro del modelo de Ising, digamos dónde\(S\ns_i\in\{-1,0,+1\}\), entonces no\(S^2_i\) es constante y debemos excluir explícitamente los términos de autointeracción. ↩
12. La suma en la transformada discreta de Fourier está sobre todos los 'vectores de red Bravais directos' y el vector de ondas\(\Bq\) puede restringirse a la 'primera zona Brillouin'. Estos términos son familiares de la física elemental del estado sólido. ↩
13. ¿Cómo tomamos el logaritmo de una matriz? La regla es esta:\(A=\ln B\) si\(B=\exp(A)\). El exponencial de una matriz puede ser evaluado a través de su expansión Taylor. ↩
14. El denominador de\(2\pi\) en la medida no es necesario, y de hecho es incluso un poco engorroso. Se divide cada vez que tomamos una relación para calcular un promedio termodinámico. Introduzco este factor para preservar la relación\(\Tra 1 = 1\). Personalmente encuentro que las huellas no normalizadas son profundamente inquietantes por motivos puramente estéticos. ↩
15. Tenga en cuenta que el coeficiente del término cuártico en\(\ve\) es negativo para\(\theta >\frac{2}{3}\). At\(\theta=\theta_\Rc=\half\), el coeficiente es positivo, pero para mayores\(\theta\) se deben incluir términos de orden superior en la expansión de Landau. ↩
16. Siempre es el caso que\(f\) se limita desde abajo, por motivos físicos. Si fueran\(b\) negativos, tendríamos que considerar términos de orden superior en la expansión Landau. ↩
17. No necesitamos perder el tiempo considerando la\(m=m\ns_-\) solución, ya que el término cúbico prefiere positivo\(m\). ↩
18. Existe una diferencia de signos entre la susceptibilidad de partículas definida en el capítulo 6 y la susceptibilidad al espín definida aquí. El origen de la diferencia es que el potencial de partículas individuales tal\(v\) como se definió fue repulsivo\(v>0\), lo que significa que la respuesta de densidad local\(\delta n\) debe ser negativa, mientras que en la discusión actual\(H\) prefiere un campo magnético positivo\(m>0\). ↩
19. Para evocar un valor propio negativo en una celosía cúbica\(d\) -dimensional, establecer\(q\ns_\mu=\frac{\pi}{a}\) para todos\(\mu\). El valor propio es entonces\(-2dK\ns_1\). ↩
20. No tiene por qué ser una secuencia igualmente espaciada, por ejemplo. ↩
21. La función\(\RPhi(\sigma)\) puede implicar uno o más parámetros ajustables que podrían corresponder, por ejemplo, a un campo magnético externo\(h\). Suprimimos estos parámetros cuando escribimos la energía libre como\(f(\theta)\). ↩
22. Realmente deberíamos comprobar que el coeficiente del sexto término de orden es positivo, pero eso se deja como ejercicio al estudiante ansioso. ↩