8.8: Transporte cuántico sin equilibrio

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Ecuación de Boltzmann para sistemas cuánticos

Casi todo lo que hemos derivado hasta ahora se puede aplicar, mutatis mutandis, a los sistemas cuánticos. La principal diferencia es que la distribución\(f^0\) correspondiente al equilibrio local ya no es de la forma Maxwell-Boltzmann, sino de la forma Bose-Einstein o Fermi-Dirac,\[f^0(\Br,\Bk,t)=\Bigg\{\!\exp\left({\ve(\Bk)-\mu(\Br,t)\over\kB T(\Br,t)}\right)\mp 1\Bigg\}^{-1}\ ,\] donde el signo superior se aplica a los bosones y el signo inferior a los fermiones. Aquí pasamos a la notación más común para los sistemas cuánticos en la que escribimos la distribución en términos del evector de ondas en\(\Bk=\Bp/\hbar\) lugar del impulso\(\Bp\). Las distribuciones cuánticas satisfacen el equilibrio detallado con respecto a la integral de colisión cuántica\[\coll=\int\!\!{d^3\!k\ns_1\over (2\pi)^3}\!\!\int\!\!{d^3\!k'\over (2\pi)^3}\!\!\int\!\!{d^3\!k'_1\over (2\pi)^3}\ w\, \Big\{ f' f'_1\,(1\pm f)\,(1\pm f\ns_1) - f f\ns_1\,(1\pm f')\,(1\pm f'_1)\Big\} \label{qtbc}\] donde\(w=w(\Bk,\Bk\ns_1\,|\,\Bk',\Bk'_1)\),\(f=f(\Bk)\),\(f\ns_1=f(\Bk\ns_1)\)\(f'=f(\Bk')\), y\(f'_1=f(\Bk'_1)\), y donde hemos asumido la inversión del tiempo y la simetría de paridad. El balance detallado requiere\[{f\over 1\pm f}\cdot {f\ns_1\over 1\pm f\ns_1}={f'\over 1\pm f'}\cdot {f'_1\over 1\pm f'_1}\ ,\] dónde\(f=f^0\) está la distribución de equilibrio. Se puede comprobar\[f={1\over e^{\beta(\ve-\mu)}\mp 1}\qquad\Longrightarrow\qquad {f\over 1\pm f}=e^{\beta(\mu-\ve)}\ ,\] lo que es la distribución de Boltzmann, que ya hemos demostrado para satisfacer el balance detallado. Para el término streaming, tenemos\[\begin{split} df^0&=\kT\,{\pz f^0\over\pz\ve}\>d\!\left({\ve-\mu\over\kT}\right)\\ &=\kT\>{\pz f^0\over\pz\ve}\left\{-{d\mu\over\kT}-{(\ve-\mu)\,dT\over\kB T^2} +{d\ve\over\kT}\right\}\\ &=-{\pz f^0\over\pz \ve}\left\{{\pz\mu\over\pz\Br}\cdot d\Br + {\ve-\mu\over T}\,{\pz T\over\pz\Br} \cdot d\Br-{\pz\ve\over\pz\Bk}\cdot d\Bk\right\}\ , \end{split}\] del que leemos\[\begin{split} {\pz f^0\over\pz\Br}&=-{\pz f^0\over\pz \ve}\left\{{\pz\mu\over\pz\Br} + {\ve-\mu\over T}\, {\pz T\over\pz\Br}\right\}\\ {\pz f^0\over\pz\Bk}&=\hbar\Bv\,{\pz f^0\over\pz\ve}\ . \end{split}\] La aplicación más importante es a la teoría del transporte de electrones en metales y semiconductores, en cuyo caso\(f^0\) es la distribución de Fermi. En este caso, la integral de colisión cuántica también recibe una contribución de la dispersión de un solo cuerpo en presencia de un potencial externo\(U(\Br)\), lo que viene dado por la Regla de Oro de Fermi:\[\begin{split} \bigg({\pz f(\Bk)\over\pz t}\bigg)'_{\!coll}&= {2\pi\over\hbar }\sum_{\Bk'\in\,{\hat\ROmega}} |\expect{\Bk'}{U}{\Bk}|^2\,\big(f(\Bk')-f(\Bk)\big)\,\delta\big(\ve(\Bk)-\ve(\Bk')\big)\label{qobc}\\ &={2\pi\over\hbar V}\int\limits_{\hat\ROmega}\!\!{d^3\!k\over (2\pi)^3}\> |\,{\hat U}(\Bk-\Bk')|^2\,\big(f(\Bk')-f(\Bk)\big)\,\delta\big(\ve(\Bk)-\ve(\Bk')\big)\ . \end{split}\] Los generadores de onda ahora están restringidos a la primera zona de Brillouin, y la dispersión ya no\(\ve(\Bk)\) es la forma balística\(\ve=\hbar^2\Bk^2/2m\) sino más bien la dispersión de electrones en una banda de energía particular (típicamente la banda de valencia) de un sólido ¹⁰. Tenga en cuenta que\(f=f^0\) satisface el equilibrio detallado con respecto a las colisiones de un solo cuerpo también ¹¹.

En presencia de un campo eléctrico débil\(\BE\) y un campo magnético (no necesariamente débil)\(\BB\), tenemos, dentro de la aproximación del tiempo de relajación,\(f=f^0+\delf\) con\[{\pz\,\delf\over\pz t}-{e\over\hbar c}\,\Bv\times \BB\cdot{\pz\,\delf\over\pz\Bk}-\Bv\cdot\left[e\,\BCE +{\ve-\mu\over T}\>\bnabla\,T\right]{\pz f^0\over\pz\ve}=-{\delf\over\tau}\ , \label{qlbe}\] dónde\(\BCE=-\bnabla(\phi-\mu/e)=\BE-e^{-1}\bnabla\mu\) está el gradiente del 'potencial electroquímico'\(\phi-e^{-1}\mu\). Al derivar la ecuación anterior, hemos trabajado al orden más bajo en pequeñas cantidades. Esto implica la caída de términos como\(\Bv\cdot {\pz\,\delf\over\pz\Br}\) (orden superior en derivadas espaciales) y\(\BE\cdot {\pz\,\delf\over\pz\Bk}\) (ambos\(\BE\) y\(\delf\) se suponen pequeños). Típicamente\(\tau\) es dependiente de la energía,\(\tau=\tau\big(\ve(\Bk)\big)\).

Podemos usar la Ecuación [qlbe] para calcular la corriente eléctrica\(\Bj\) y la corriente térmica\(\Bj\ns_q\),\[\begin{aligned} \Bj &= -2e\!\int\limits_{\hat\ROmega}\!\!{d^3\!k\over (2\pi)^3} \,\Bv\,\delf\\ \Bj\ns_q &= 2\!\int\limits_{\hat\ROmega}\!\!{d^3\!k\over (2\pi)^3}\,(\ve-\mu)\,\Bv\,\delf \ .\end{aligned}\] Aquí el factor de\(2\) es de la degeneración de espín de los electrones (descuidamos la división de Zeeman).

En presencia de un gradiente de temperatura independiente del tiempo y campo eléctrico, la ecuación de Boltzmann linealizada en la aproximación del tiempo de relajación tiene la solución Ahora\[\delf = -\tau(\ve)\,\Bv\cdot\left(e\BCE + {\ve-\mu\over T}\,\bnabla\,T\right)\left(-{\pz f^0\over\pz\ve}\right)\ .\] consideramos tanto la corriente eléctrica ¹²\(\Bj\) como la densidad de corriente térmica\(\Bj\nd_q\). Se obtiene fácilmente\[\begin{aligned} \Bj = -2e\!\int\limits_{\hat\Omega}\!\!{d^3\!k\over (2\pi)^3}\, \,\Bv\,\delf&\equiv L_{11}\,\BCE - L_{12}\,\bnabla\,T\\ \Bj\nd_q = 2\!\int\limits_{\hat\Omega}\!\!{d^3\!k\over (2\pi)^3}\,\,(\ve-\mu)\,\Bv\,\delf &\equiv L_{21}\,\BCE - L_{22}\,\bnabla\,T \label{linrel1}\end{aligned}\] donde los coeficientes de transporte\(L^{11}\) son matrices:\[\begin{aligned} L_{11}^{\alpha\beta} & = {e^2\over 4\pi^3\hbar}\int\!\!d\ve\,\tau(\ve)\left(-{\pz f^0\over\pz\ve}\right)\int\!\! dS_\ve\,{v^\alpha\,v^\beta\over |\Bv|}\\ L_{21}^{\alpha\beta} = T L_{12}^{\alpha\beta}& = -{e\over 4\pi^3\hbar}\int\!\!d\ve\,\tau(\ve)\, (\ve-\mu)\left(-{\pz f^0\over\pz\ve}\right) \int\!\! dS_\ve\,{v^\alpha\,v^\beta\over |\Bv|} \\ L_{22}^{\alpha\beta} & = {1\over 4\pi^3\hbar\,T}\int\!\!d\ve\,\tau(\ve)\, (\ve-\mu)^2\left(-{\pz f^0\over\pz\ve}\right) \int\!\! dS_\ve\,{v^\alpha\,v^\beta\over |\Bv|}\ .\end{aligned}\] Si definimos la jerarquía de expresiones integrales\[\CJ_n^{\alpha\beta}\equiv {1\over 4\pi^3\hbar}\int\!\!d\ve\,\tau(\ve)\, (\ve-\mu)^n\left(-{\pz f^0\over\pz\ve}\right) \int\!\! dS_\ve\,{v^\alpha\,v^\beta\over |\Bv|}\] entonces podemos escribir\[L_{11}^{\alpha\beta}= e^2\CJ_0^{\alpha\beta} \qquad,\qquad L_{21}^{\alpha\beta}=TL_{12}^{\alpha\beta}=-e\, \CJ_1^{\alpha\beta} \qquad,\qquad L_{22}^{\alpha\beta}={1\over T}\,\CJ_2^{\alpha\beta}\ .\]

Las relaciones lineales en la Ecuación ([linrel1]) pueden ser refundidas en la siguiente forma:\[\begin{split} \BCE&=\rho\,\Bj+Q\,\bnabla\,T\\ \Bj\nd_q&=\bsqcap\,\Bj -\kappa\,\bnabla\,T\ , \end{split}\] donde las matrices\(\rho\)\(Q\)\(\bsqcap\),,, y\(\kappa\) están dadas por\[\begin{aligned} \rho &=L_{11}^{-1} & Q&=L_{11}^{-1}\,L\nd_{12}\\ \bsqcap&= L\nd_{21}\,L_{11}^{-1} & \kappa&=L\nd_{22}-L_{21}\nd\,L_{11}^{-1}\,L\nd_{12}\ ,\end{aligned}\] o, en términos de\(\CJ_n\),\[\begin{aligned} \rho &={1\over e^2}\,\CJ_0^{-1} & Q &=-{1\over e\,T}\,\CJ_0^{-1}\,\CJ\nd_1\\ \bsqcap&= -{1\over e}\,\CJ\nd_1\,\CJ_0^{-1} & \kappa&= {1\over T}\left(\CJ_2-\CJ\nd_1\,\CJ_0^{-1}\,\CJ\nd_1\right)\ ,\end{aligned}\]

[termopar] Un termopar es una unión formada por dos metales diferentes. Al no pasar corriente eléctrica, se genera un campo eléctrico en presencia de un gradiente de temperatura, resultando en una tensión\(V=V_\RA-V_\RB\).

Estas ecuaciones describen una gran cantidad de fenómenos de transporte:

• (\(\bnabla T=\BB=0\)) Una corriente eléctrica\(\Bj\) generará un campo eléctrico\(\BCE=\rho\Bj\), donde\(\rho\) está la resistividad eléctrica.
• (\(\bnabla T=\BB=0\)) Una corriente eléctrica\(\Bj\) generará una corriente térmica\(\Bj\ns_q=\sqcap\Bj\), donde\(\sqcap\) está el coeficiente Peltier.
• (\(\Bj=\BB=0\)) Un gradiente de temperatura\(\bnabla T\) da lugar a una corriente de calor\(\Bj\ns_q=-\kappa\bnabla T\), donde\(\kappa\) está la conductividad térmica.
• (\(\Bj=\BB=0\)) Un gradiente de temperatura\(\bnabla T\) da lugar a un campo eléctrico\(\BCE=Q\bnabla T\), donde\(Q\) está el coeficiente de Seebeck.

Una manera práctica de medir la termopotencia es formar una unión entre dos metales diferentes, A y B. La unión se mantiene a temperatura\(T_1\) y los otros extremos de los metales se mantienen a temperatura\(T_0\). Luego se mide una diferencia de voltaje entre los extremos libres de los metales, esto se conoce como el efecto Seebeck. Integrar el campo eléctrico desde el extremo libre de A hasta el extremo libre de B da\[V_\RA-V_\RB = -\int\limits_\RA ^ \RB\!\BCE\cdot d\Bl = (Q_\RB-Q_\RA)(T_1-T_0)\ .\] Lo que uno mide aquí es realmente la diferencia en las termopotencias de los dos metales. Para una medición absoluta de\(Q_\RA\), reemplace B por un superconductor (\(Q=0\)para un superconductor). Un dispositivo que convierte un gradiente de temperatura en una CEM se conoce como termopar.

El efecto Peltier tiene aplicaciones prácticas en la tecnología de refrigeración. Supongamos que\(I\) se pasa una corriente eléctrica a través de una unión entre dos metales diferentes, A y B. Debido a la diferencia en los coeficientes de Peltier, habrá una corriente de calor neta en la unión de\(W=(\bsqcap_\RA-\bsqcap_\RB)\,I\). Tenga en cuenta que esto es proporcional a\(I\), en lugar del\(I^2\) resultado familiar del calentamiento Joule. El signo de\(W\) depende de la dirección de la corriente. Si se agrega una segunda unión, para hacer una configuración ABA, entonces el calor absorbido en la primera unión se liberará en la segunda. ¹³

\ bsqcap_\ RA, para mantener un equilibrio de corriente térmica en la unión." style="width:10cm" src="/Fpeltier">

[Peltier] Un boceto de un refrigerador efecto Peltier. Una corriente eléctrica\(I\) se pasa a través de una unión entre dos metales diferentes. Si la línea punteada representa el límite de un cuerpo térmicamente bien aislado, entonces el cuerpo se enfría cuando\(\bsqcap_\RB >\bsqcap_\RA\), para mantener un equilibrio de corriente térmica en la unión.

La ecuación del calor

Comenzamos con las ecuaciones de continuidad para densidad de carga\(\rho\) y densidad de energía\(\ve\):\[\begin{aligned} {\pz\rho\over\pz t}+\bnabla\cdot\Bj &= 0\vph\\ {\pz\ve\over\pz t} + \bnabla\cdot\Bj\nd_\ve&=\Bj\ncdot\BE\ ,\end{aligned}\] dónde\(\BE\) está el campo eléctrico ¹⁴. Ahora invocamos equilibrio termodinámico local y escribimos\[\begin{aligned} {\pz\ve\over\pz t} &= {\pz\ve\over\pz n}\,{\pz n\over\pz t} + {\pz\ve\over\pz T}\, {\pz T\over\pz t}\vph\nonumber\\ &=-{\mu\over e}\,{\pz\rho\over\pz t} + c\nd_V\,{\pz T\over\pz t}\ ,\end{aligned}\] dónde\(n\) está la densidad numérica de electrones (\(n=-\rho/e\)) y\(c\nd_V\) es el calor específico. Ahora podemos escribir\[\begin{aligned} c\nd_V\,{\pz T\over\pz t}&={\pz\ve\over\pz t} + {\mu\over e}\,{\pz\rho\over\pz t}\nonumber\\ &=\Bj\cdot\BE-\bnabla\cdot\Bj\nd_\ve - {\mu\over e}\,\bnabla\cdot\Bj\nonumber\\ &=\Bj\cdot\BCE-\bnabla\cdot\Bj\nd_q\ .\end{aligned}\] Invocando\(\Bj\nd_q=\bsqcap\Bj-\kappa\bnabla\,T\), vemos que si no hay corriente eléctrica (\(\Bj=0\)), obtenemos la ecuación de calor\[c\nd_V\,{\pz T\over\pz t}=\kappa_{\alpha\beta}\>{\pz^2\!T\over \pz x^\alpha\, \pz x^\beta}\ .\] Esto da como resultado una escala de tiempo\(\tau\nd_T\) para la difusión de temperatura\(\tau\nd_T = \CC L^2 c\nd_V/\kappa\), donde\(L\) es una escala de longitud típica y\(\CC\) es una constante numérica. Para un cubo de tamaño\(L\) sometido a un cambio brusco de temperatura externa,\(L\) es la longitud lateral y\(\CC=1/3\pi^2\) (resolver por separación de variables).

Cálculo de Coeficientes de Transporte

En adelante asumiremos que existe suficiente simetría cristalina (simetría cúbica) para renderizar todos los coeficientes de transporte múltiplos de la matriz de identidad. Bajo tales condiciones, podemos escribir\(\CJ_n^{\alpha\beta}=\CJ\nd_n\,\delta_{\alpha\beta}\) con\[\CJ\nd_n= {1\over 12\pi^3\hbar}\int\!\!d\ve\,\tau(\ve)\, (\ve-\mu)^n\left(-{\pz f^0\over\pz\ve}\right)\int\!\! dS_\ve\, |\Bv|\ .\] El comportamiento a baja temperatura se extrae utilizando la expansión Sommerfeld,\[\begin{aligned} \CI\equiv\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!d\ve\,H(\ve)\left(-{\pz f^0\over\pz\ve}\right) &= \pi \CD \csc(\pi \CD)\, H(\ve)\,\Big|_{\ve=\mu}\\ &=H(\mu)+ {\pi^2\over 6}(\kT)^2\,H''(\mu) + \ldots\end{aligned}\] donde\(\CD\equiv \kT\,{\pz\over \pz \ve}\) es un operador diferencial adimensional. ¹⁵

Hagamos ahora algunos cálculos explícitos en el caso de una banda parabólica con un tiempo de dispersión independiente de la energía\(\tau\). En este caso, uno encuentra fácilmente\[\CJ\nd_n={\sigma\nd_0\over e^2}\,\mu^{-3/2}\,\pi \CD\csc \pi\CD\, \ve^{3/2}\, (\ve-\mu)^n\Big|_{\ve=\mu}\ ,\] dónde\(\sigma\nd_0=n e^2\tau/m^*\). Así,\[\begin{split} \CJ\nd_0&={\sigma\nd_0\over e^2}\left[ 1 + {\pi^2\over 8}{(\kT)^2\over\mu^2}+\ldots\right]\\ \CJ\nd_1&={\sigma\nd_0\over e^2}{\pi^2\over 2} {(\kT)^2\over\mu} + \ldots\\ \CJ\nd_2&={\sigma\nd_0\over e^2}{\pi^2\over 3} (\kT)^2 + \ldots\ , \end{split}\] de donde obtenemos los bajos-\(T\) resultados\(\rho=\sigma_0^{-1}\),\[Q=-{\pi^2\over 2}\,{k_\ssr{B}^2 T\over e\,\veF} \qquad\qquad \kappa = {\pi^2\over 3}\,{n\tau\over m^*}\,k_\ssr{B}^2 T\ ,\] y por supuesto\(\bsqcap=TQ\). La relación universal prevista\[{\kappa\over\sigma T}={\pi^2\over 3}\, (k\nd_\ssr{B}/e)^2 = 2.45\times 10^{-8}\,\RV^2\,\RK^{-2}\ ,\] se conoce como ley Wiedemann-Franz. Tenga en cuenta también que nuestro resultado para la termopotencia es inequívocamente negativo. En la actualidad, varios metales electrónicos casi libres tienen termopotencias positivas a baja temperatura (Cs y Li, por ejemplo). ¿Qué salió mal? ¡Hemos descuidado la dispersión de electrones y fonones!

Relaciones Onsager

Los fenómenos de transporte son descritos en general por un conjunto de relaciones lineales,\[J_i=L_{ik}\, F_k\ ,\] donde las\(\{F_k\}\) son fuerzas generalizadas y las\(\{J_i\}\) son corrientes generalizadas. Además, a cada fuerza\(F_i\) corresponde una corriente conjugada única\(J_i\), tal que la tasa de producción de entropía interna es\[{\dot S}=\sum_i F_i\,J_i \quad \Longrightarrow \quad F_i = {\pz {\dot S}\over \pz J_i}\ .\] El estado de relaciones Onsager (también conocido como reciprocidad Onsager) que\[L_{ik}(\BB)=\eta_i\,\eta_k\,L_{ki}(-\BB)\ ,\] donde\(\eta_i\) describe la paridad de \(J_i\)bajo inversión de tiempo:\[J^T_i = \eta_i\,J_i\ ,\] dónde\(J^T_i\) está el tiempo inverso de\(J\ns_i\). Para justificar las relaciones Onsager se requiere una descripción microscópica de nuestro sistema de no equilibrio.

Las relaciones Onsager tienen algunas consecuencias notables. Por ejemplo, requieren, para\(\BB=0\), que el tensor\(\kappa\nd_{ij}\) de conductividad térmica de cualquier cristal debe ser simétrico, independiente de la estructura cristalina. En general, este resultado no se deriva de consideraciones de simetría cristalina. También requiere que por cada fenómeno de transporte 'fuera de la diagonal', el efecto Seebeck, exista un fenómeno distinto correspondiente, el efecto Peltier.

Para los coeficientes de transporte estudiados, la reciprocidad de Onsager significa que ante la presencia de un campo magnético externo,\[\begin{aligned} \rho\nd_{\alpha\beta}(\BB)&=\rho\nd_{\beta\alpha}(-\BB)\\ \kappa\nd_{\alpha\beta}(\BB)&= \kappa\nd_{\beta\alpha}(-\BB)\\ \qquad \bsqcap\nd_{\alpha\beta}(\BB)&=T\,Q\nd_{\beta\alpha}(-\BB)\ .\end{aligned}\] consideremos un sistema isotrópico en un campo magnético débil, y expandamos los coeficientes de transporte a primer orden en\(\BB\): La reciprocidad de\[\begin{aligned} \rho\nd_{\alpha\beta}(\BB)&=\rho\,\delta\nd_{\alpha\beta} + \nu\,\eps\ns_{\alpha\beta\gamma}\,B^\gamma\\ \kappa\nd_{\alpha\beta}(\BB)&=\kappa\,\delta\nd_{\alpha\beta} + \varpi\,\eps\ns_{\alpha\beta\gamma}\,B^\gamma\\ Q\nd_{\alpha\beta}(\BB)&=Q\,\delta\nd_{\alpha\beta} + \zeta\,\eps\ns_{\alpha\beta\gamma}\,B^\gamma\\ \bsqcap\nd_{\alpha\beta}(\BB)&=\bsqcap\,\delta\nd_{\alpha\beta} +\theta \,\eps\ns_{\alpha\beta\gamma} B^\gamma\ .\end{aligned}\] Onsager requiere\(\bsqcap = T\,Q\) y\(\theta = T\,\zeta\). Ya podemos escribir\[\begin{aligned} \BCE &= \rho\,\Bj + \nu\,\Bj\times\BB + Q\,\bnabla\,T + \zeta\,\bnabla\,T\times\BB\\ \Bj\nd_q & = \bsqcap\,\Bj + \theta\,\Bj\times\BB - \kappa\,\bnabla\,T -\varpi\,\bnabla\,T\times\BB\ .\end{aligned}\] Hay varios fenómenos nuevos al acecho:

• (\({\pz T\over \pz x} ={\pz T\over\pz y}=j\nd_y=0\)) Una corriente eléctrica\(\Bj=j\nd_x\,\HBx\) y un campo\(\BB=B\nd_z\,\zhat\) producen un campo eléctrico\(\BCE\). El coeficiente Hall es\(R_\RH=\CE\nd_y/ j\nd_x\,B\nd_z=-\nu\).
• (\({\pz T\over \pz x}=j\nd_y=j\nd_{q,y}=0\)) Una corriente eléctrica\(\Bj=j\nd_x\,\HBx\) y un campo\(\BB=B\nd_z\,\zhat\) producen un gradiente de temperatura\({\pz T\over\pz y}\). El coeficiente de Ettingshausen es\(P ={\pz T\over\pz y} \big/ j\nd_x\,B\nd_z=-\theta/\kappa\).
• (\(j\nd_x=j\nd_y={\pz T\over\pz y}=0\)) Un gradiente de temperatura\(\bnabla\,T={\pz T\over\pz x}\,\HBx\) y un campo\(\BB=B\nd_z\,\zhat\) producen un campo eléctrico\(\BCE\). El coeficiente de Nernst es\(\RLambda=\CE\nd_y\big/ {\pz T\over\pz x}\,B\nd_z=-\zeta\).
• (\(j\nd_x=j\nd_y=\CE\nd_y=0\)) Un gradiente de temperatura\(\bnabla\,T={\pz T\over\pz x}\,\HBx\) y un campo\(\BB=B\nd_z\,\zhat\) producen un gradiente de temperatura ortogonal\({\pz T\over\pz y}\). El coeficiente Righi-Leduc es\(\CL={\pz T\over\pz y}\big/ {\pz T\over\pz x} B\nd_z=\zeta/Q\).