8.7: Las ecuaciones de la hidrodinámica

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Ahora derivamos las ecuaciones que rigen el flujo de fluido. Las ecuaciones de balance de masa e impulso son\[\begin{aligned} {\pz \rho\over\pz t}+\bnabla\ncdot(\rho\,\BV)&=0\\ {\pz(\rho\, V\ns_\alpha)\over\pz t} + {\pz \RPi\ns_{\alpha\beta}\over\pz x^\beta}&=0\ ,\end{aligned}\] donde\[\RPi\ns_{\alpha\beta}=\rho\, V\ns_\alpha V\ns_\beta + p\,\delta\ns_{\alpha\beta} \, - \, \stackrel

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{\overbrace{\left\{\eta\Bigg( {\pz V\ns_\alpha\over\pz x\ns_\beta} + {\pz V\ns_\beta\over\pz x\ns_\alpha}-\frac{2}{3}\,\bnabla\!\cdot\!\BV\,\delta\ns_{\alpha\beta}\bigg) +\zeta\,\bnabla\!\cdot\!\BV\,\delta\ns_{\alpha\beta}\right\}}}\ .\] Sustituyendo la ecuación de continuidad en la ecuación de equilibrio de momento, se llega a la\[\rho\,{\pz\BV\over\pz t} + \rho\,(\BV\ncdot\bnabla)\BV = -\bnabla p + \eta\,\nabla^2\BV + (\zeta+\third\eta)\bnabla(\bnabla\ncdot\BV)\ , \label{NSB}\] que, junto con la continuidad, se conocen como las ecuaciones de Navier-Stokes. Estas ecuaciones se complementan con una ecuación que describe la conservación de la energía,\[T{\pz s\over\pz T} + T\,\bnabla\ncdot(s\BV)={\tilde\sigma}\ns_{\alpha\beta}\,{\pz V\ns_\alpha\over\pz x^\beta} + \bnabla\ncdot(\kappa\bnabla T)\ .\] Tenga en cuenta que el LHS de la Ecuación [NSB] es\(\rho\,D\BV/Dt\), donde\(D/Dt\) está la derivada convectiva. Multiplicando por un volumen diferencial, esto da a la masa multiplicada por la aceleración de un elemento diferencial de fluido local. El RHS, multiplicado por el mismo volumen diferencial, da la fuerza diferencial sobre este elemento fluido en un marco que se mueve instantáneamente con velocidad constante\(\BV\). Así, esta es la Segunda Ley de Newton para el fluido.