8.10: Apéndice I- Ecuación de Boltzmann e invariantes colisionales

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Problema: El operador de Boltzmann linealizado\(L\psi\) es un complicado funcional. Supongamos que reemplazamos\(L\) por\(\CL\), donde\[\begin{split} \CL\psi&=-\gamma\,\psi(\Bv,t)+\gamma \bigg({m\over2\pi\kT}\bigg)^{\!\!3/2}\int\!\! d^3\!u\,\exp\bigg(-{m\Bu^2\over2\kT}\bigg)\\ &\qquad\times \Bigg\{ 1+{m\over\kT}\,\Bu\cdot\Bv + {2\over 3}\, \bigg( {m\Bu^2\over2\kT}-{3\over 2}\bigg) \bigg({m\Bv^2\over2\kT}-{3\over 2}\bigg) \Bigg\}\, \psi(\Bu,t)\ . \end{split}\]

Demostrar que\(\CL\) comparte todas las propiedades importantes de\(L\). ¿Cuál es el significado de\(\gamma\)? Ampliar\(\psi(\Bv,t)\) en armónicos esféricos y polinomios Sonine,\[\psi(\Bv,t)=\sum_{r\ell m} a_{r\ell m}(t)\,S^r_{\ell +\half}(x)\,x^{\ell/2} \,Y^\ell_m(\nhat),\] con\(x=mv^2/2\kT\), y así expresar la acción del operador de Boltzmann linealizado algebraicamente sobre los coeficientes de expansión\(a_{r\ell m}(t)\).

Los polinomios Sonine\(S^n_\alpha(x)\) son un conjunto ortogonal completo que son convenientes de usar en el cálculo de coeficientes de transporte. Se definen como\[S_\alpha^n(x)=\sum_{m=0}^n {\RGamma(\alpha+n+1)\,(-x)^m\over \RGamma(\alpha+m+1)\,(n-m)!\,m!}\ ,\] y satisfacen la relación de ortogonalidad generalizada\[\int\limits_0^\infty\!\!dx\,e^{-x}\,x^\alpha\,S_\alpha^n(x)\,S_\alpha^{n'}(x) = {\RGamma(\alpha+n+1)\over n!}\>\delta\nd_{nn'}\ .\]

Solución: Las 'propiedades importantes' de\(L\) son que aniquila a los cinco invariantes colisionales,\(1\),\(\Bv\), y\(v^2\), y que todos los demás valores propios son negativos. Que esto es cierto para\(\CL\) puede ser verificado por un cálculo explícito.

Al enchufar la forma convenientemente parametrizada de\(\psi(\Bv,t)\) en\(\CL\), tenemos\[\begin{split} \CL\psi&=-\gamma\sum_{r\ell m} a_{r\ell m}(t)\>S^r_{\ell +\half}(x) \>x^{\ell/2}\>Y^\ell_m(\nhat)\ +\ {\gamma\over2\pi^{3/2}}\,\sum_{r\ell m}a_{r\ell m}(t)\!\! \int\limits_0^\infty\!\!dx\nd_1\,x_1^{1/2}\,e^{-x\nd_1}\\ &\qquad\times\int\!\!d\nhat\ns_1 \Big[1+2\,x^{1/2} x_1^{1/2}\,\nhat\!\cdot\!\nhat\ns_1+ \frac{2}{3}\big(x-\frac{3}{2}\big)\big(x\nd_1-\frac{3}{2}\big)\Big]\,S^r_{\ell +\half}(x\nd_1)\> x_1^{\ell/2}\>Y^\ell_m(\nhat_1)\ , \end{split}\] donde hemos usado\[u=\sqrt{2\kT\over m}\, x_1^{1/2}\qquad,\qquad du=\sqrt{\kT\over 2m}\,x_1^{-1/2}\,dx\nd_1\ .\] Ahora recordar\(Y^0_0(\nhat)=\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\) y\[\begin{aligned} Y^1_1(\nhat)&=-\sqrt{3\over8\pi}\,\sin\theta\,e^{i\varphi} & Y^1_0(\nhat)&=\sqrt{3\over4\pi}\,\cos\theta & Y^1_{-1}(\nhat)&=+\sqrt{3\over8\pi}\,\sin\theta\,e^{-i\varphi} \\ \bvph S^0_{1/2}(x)&=1 & S^0_{3/2}(x)&=1 & S^1_{1/2}(x)&=\frac{3}{2}-x \ ,\end{aligned}\] que nos permite escribir\[\begin{aligned} \bvph 1&=4\pi\, Y^0_0(\nhat)\,{Y^0_0}^*(\nhat_1)\\ \nhat\!\cdot\!\nhat_1&={4\pi\over3} \Big[\> Y^1_0(\nhat)\,{Y^1_0}^*(\nhat_1) +Y^1_1(\nhat)\,{Y^1_1}^*(\nhat_1)+Y^1_{-1}(\nhat)\,{Y^1_{-1}}^*(\nhat_1)\>\Big]\ .\end{aligned}\] Podemos hacer las integrales apelando a las relaciones de ortogonalidad para los armónicos esféricos y Sonine polinomios:\[\begin{aligned} \bvph\int\!d\nhat\,Y^\ell_m(\nhat)\,{Y^{l'}_{m'}}^*(\nhat)&=\delta_{ll'}\,\delta_{mm'}\\ \int\limits_0^\infty\!\!dx\,e^{-x}\,x^\alpha\,S^n_\alpha(x)\,S^{n'}_\alpha(x) &={\RGamma(n+\alpha+1)\over\RGamma(n+1)}\>\delta_{nn'}\ .\end{aligned}\] Integrando primero sobre el vector de dirección\(\nhat_1\),\[\begin{split} \CL\psi&=-\gamma\sum_{r\ell m} a_{r\ell m}(t)\>S^r_{\ell +\half}(x)\>x^{\ell/2}\>Y^\ell_m(\nhat)\\ &\qquad+{2\gamma\over\sqrt{\pi}}\,\sum_{r\ell m}a_{r\ell m}(t)\!\int\limits_0^\infty\!\!dx\nd_1\,x_1^{1/2}\,e^{-x\nd_1}\!\int\!\!d\nhat\ns_1\> \bigg[ Y^0_0(\nhat)\,{Y^0_0}^*(\nhat_1)\,S^0_{1/2}(x)\,S^0_{1/2}(x\nd_1)\\ &\qquad\qquad+\frac{2}{3}\,x^{1/2} x_1^{1/2}\!\sum_{m'=-1}^1 Y^1_{m'}(\nhat)\, {Y^1_{m'}}^*(\nhat_1)\,S^0_{3/2}(x)\,S^0_{3/2}(x\nd_1)\\ &\qquad\qquad\qquad+\frac{2}{3} \, Y^0_0(\nhat)\,{Y^0_0}^*(\nhat_1)\,S^1_{1/2}(x)\,S^1_{1/2}(x\nd_1)\bigg] \,S^r_{\ell +\half}(x\nd_1)\>x_1^{\ell/2}\>Y^\ell_m(\nhat_1)\ , \end{split}\] obtenemos el resultado intermedio\[\begin{split} \CL\psi&=-\gamma\sum_{r\ell m} a_{r\ell m}(t)\>S^r_{\ell +\half}(x)\>x^{\ell/2}\>Y^\ell_m(\nhat)\\ &\qquad +{2\gamma\over\sqrt{\pi}}\,\sum_{r\ell m}a_{r\ell m}(t)\!\int\limits_0^\infty\!\!dx\nd_1\,x_1^{1/2}\,e^{-x\nd_1} \bigg[Y^0_0(\nhat)\,\delta_{l0}\,\delta_{m0}\,S^0_{1/2}(x)\,S^0_{1/2}(x\nd_1)\\ &\qquad\qquad+\frac{2}{3} \, x^{1/2} x_1^{1/2}\sum_{m'=-1}^1 Y^1_{m'}(\nhat)\,\delta_{l1}\,\delta_{mm'}\,S^0_{3/2}(x)\,S^0_{3/2}(x\nd_1)\\ &\qquad\qquad\qquad+\frac{2}{3} \, Y^0_0(\nhat)\,\delta_{l0}\,\delta_{m0} \,S^1_{1/2}(x)\,S^1_{1/2}(x\nd_1)\bigg]\,S^r_{\ell +\half}(x\nd_1)\>x_1^{1/2} . \end{split}\]

Apelando ahora a la ortogonalidad de los polinomios Sonine, y recordando que\[\RGamma(\half)=\sqrt{\pi}\qquad,\qquad \RGamma(1)=1\qquad,\qquad \RGamma(z+1)=z\,\RGamma(z)\ ,\] nos integramos sobre\(x\nd_1\). Para el primer término entre paréntesis, invocamos la relación de ortogonalidad con\(n=0\) y\(\alpha=\half\), dando\(\RGamma(\frac{3}{2})=\half\sqrt{\pi}\). Para el segundo término entre corchetes, tenemos\(n=0\) pero\(\alpha=\frac{3}{2}\), y obtenemos\(\RGamma(\frac{5}{2})=\frac{3}{2}\,\RGamma(\frac{3}{2})\), mientras que el tercer término entre corchetes implica lleva a\(n=1\) y\(\alpha=\half\), también a ceder\(\RGamma(\frac{5}{2})=\frac{3}{2}\,\RGamma(\frac{3}{2})\). Así, obtenemos el resultado simple y agradable\[\CL\psi=-\gamma{\sum_{r\ell m}}' a_{r\ell m}(t)\>S^r_{\ell +\half}(x)\>x^{\ell/2}\>Y^\ell_m(\nhat)\] donde el primo sobre la suma indica que el conjunto\[{CI}=\Big\{ (0,0,0)\ ,\quad (1,0,0)\ ,\quad (0,1,1)\ ,\quad (0,1,0)\ ,\quad (0,1,-1)\Big\}\] debe ser excluido de la suma. ¡Pero estas son solo las funciones que corresponden a los cinco invariantes colisionales! Así, aprendemos que\[\psi_{r\ell m}(\Bv)=\CN_{r\ell m}\, S^r_{\ell +\half}(x)\,x^{\ell/2}\,Y^\ell_m(\nhat),\] es una función propia de\(\CL\) con valor propio\(-\gamma\) si\((r,\ell,m)\) no corresponde a uno de los cinco invariantes colisionales. En este último caso, el valor propio es cero. Así, la acción algebraica de\(\CL\) sobre los coeficientes\(a_{r\ell m}\) es\[(\CL a)_{r\ell m}=\begin{cases} -\gamma\> a_{r\ell m} & \hbox{if $(r,\ell,m)\notin {CI}$}\\ =0 & \hbox{if $(r,\ell,m)\in {CI}$} \end{cases}\] La cantidad\(\tau=\gamma^{-1}\) es el tiempo de relajación.

Es bastante obvio que\(\CL\) es autoadjoint, ya que\[\begin{split} \sbraket{\phi}{\CL\psi}&\equiv\int\!\! d^3\!v \,f^0(\Bv)\,\phi(\Bv)\,\CL[\psi(\Bv)]\\ &=-\gamma\, n \left({m\over2\pi\kT}\right)^{\!\!3/2}\!\int\!\!d^3\!v\,\exp\bigg(-{m\Bv^2\over2\kT}\bigg)\phi(\Bv)\,\psi(\Bv)\\ &\qquad +\gamma\, n \bigg({m\over2\pi\kT}\bigg)^{\!\!3}\int\!\!d^3\!v\!\!\int\!\!d^3\!u\, \exp\bigg(-{m\Bu^2\over2\kT}\bigg)\exp\bigg(-{m\Bv^2\over2\kT}\bigg)\\ &\qquad\qquad\times \phi(\Bv)\,\Bigg[1+{m\over\kT}\,\Bu\cdot\Bv + {2\over 3}\, \bigg({m\Bu^2\over2\kT}-{3\over 2}\bigg)\bigg({m\Bv^2\over2\kT}-{3\over 2}\bigg)\Bigg]\,\psi(\Bu)\\ &=\sbraket{\CL\phi}{\psi}\ , \end{split}\] donde\(n\) está la densidad numérica aparente y\(f^0(\Bv)\) es la distribución de velocidad maxwelliana.