8.11: Apéndice II- Distribuciones y Funcionales

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Dejar\(x\in{\mathbb R}\) ser una variable aleatoria, y\(P(x)\) una distribución de probabilidad para\(x\). El promedio de cualquier función\(\phi(x)\) es entonces\[\blangle\phi(x)\brangle = \int\limits_{-\infty}^\infty\!\!dx\>P(x)\,\phi(x)\Bigg/\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!dx\>P(x)\ .\]

Dejar\(\eta(t)\) ser una función aleatoria de\(t\), con\(\eta(t)\in{\mathbb R}\), y dejar\(P\big[\eta(t)\big]\) ser la distribución de probabilidad funcional para\(\eta(t)\). Entonces si\(\Phi\big[\eta(t)\big]\) es un funcional de\(\eta(t)\), el promedio de\(\Phi\) viene dado por\[\int\!\!D\eta\>P\big[\eta(t)\big]\>\Phi\big[\eta(t)\big]\Bigg/\!\!\int\!\!D\eta\,P\big[\eta(t)\big]\] La expresión\(\int\!D\eta\>P[\eta]\,\Phi[\eta]\) es una integral funcional. Una integral funcional es un límite continuo de una integral multivariable. Supongamos que se\(\eta(t)\) definieron sobre un conjunto de\(t\) valores\(t\ns_n=n\tau\). Un funcional de\(\eta(t)\) se convierte en una función multivariable de los valores\(\eta\ns_n\equiv \eta(t\ns_n)\). La métrica se convierte entonces\[D\eta\longrightarrow \prod_n d\eta\ns_n\ .\]

De hecho, para nuestros fines no necesitaremos conocer ningún detalle sobre la medida funcional\(D\eta\); vamos a refinar este delicado tema ¹⁸. Considerar el funcional generador,\[Z\big[J(t)\big]=\int\!\!D\eta\>P[\eta]\,\exp\Bigg(\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dt\>J(t)\,\eta(t)\Bigg)\ .\] Es claro que\[{1\over Z[J]}\,{\delta^n\!Z[J]\over\delta J(t\ns_1)\cdots\delta J(t\ns_n)}\Bigg|\nd_{J(t)=0}= \blangle \eta(t\ns_1)\cdots\eta(t\ns_n)\brangle\ .\] La función\(J(t)\) es una función fuente arbitraria. Nos diferenciamos con respecto a ella para encontrar los correladores\(\eta\) -field.

[Fdiscretizar] Discretización de una función continua\(\eta(t)\). Tras la discretización, un funcional\(\Phi\big[\eta(t)\big]\) se convierte en una función multivariable ordinaria\(\Phi(\{\eta_j\})\).

Vamos a calcular la función generadora para una clase de distribuciones de la forma gaussiana,\[\begin{aligned} P[\eta]&=\exp\!\Bigg(\!-{1\over 2\Gamma}\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dt\> \big(\tau^2\,{\dot\eta}^2 + \eta^2\big)\Bigg)\\ &=\exp\!\Bigg(\!-{1\over 2\Gamma}\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!{d\omega\over 2\pi}\> \big( 1 + \omega^2\tau^2\big)\, \big|{\hat\eta}(\omega)\big|^2\Bigg)\ .\end{aligned}\] Entonces Fourier transformando la función fuente\(J(t)\), es fácil ver eso\[Z[J]=Z[0]\cdot\exp\!\Bigg({\Gamma\over 2}\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!{d\omega\over 2\pi}\> { \big|{\hat J}(\omega)\big|^2\over 1+\omega^2\tau^2}\Bigg)\ .\] Tenga en cuenta que con\(\eta(t)\in {\mathbb R}\) y\(J(t)\in {\mathbb R}\) tenemos\(\eta^*(\omega)=\eta(-\omega)\) y\(J^*(\omega)=J(-\omega)\). Transformando de nuevo al tiempo real, tenemos\[Z[J]=Z[0]\cdot\exp\Bigg({1\over 2}\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dt\!\!\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!dt'\> J(t)\,G(t-t')\,J(t')\Bigg)\ ,\] dónde\[G(s)={\Gamma\over 2\tau}\,e^{-|s|/\tau} \qquad,\qquad {\widehat G}(\omega)={\Gamma\over 1+\omega^2\tau^2}\] está la función del Verde, en el espacio real y de Fourier. Tenga en cuenta que Ahora\[\int\limits_{-\infty}^\infty\!\!\!ds\>G(s)={\widehat G}(0)=\Gamma\ .\] podemos calcular\[\begin{aligned} \blangle \eta(t\ns_1)\,\eta(t\ns_2)\brangle&=G(t\ns_1-t\ns_2)\bvph\\ \blangle \eta(t\ns_1)\,\eta(t\ns_2)\,\eta(t\ns_3)\,\eta(t\ns_4)\brangle&=G(t\ns_1-t\ns_2)\,G(t\ns_3-t\ns_4)+ G(t\ns_1-t\ns_3)\,G(t\ns_2-t\ns_4)\\ &\qquad\qquad + G(t\ns_1-t\ns_4)\,G(t\ns_2-t\ns_3)\ .\nonumber\end{aligned}\] La generalización es ahora fácil de probar, y se conoce como el teorema de Wick:\[\blangle \eta(t\ns_1)\cdots\eta(t\ns_{2n})\brangle=\sum_{contractions}\!\!\! G(t\ns_{i\ns_1}-t\ns_{i\ns_2})\cdots G(t\ns_{i\ns_{2n-1}}-t\ns_{i\ns_{2n}})\ ,\] donde la suma está sobre todas las contracciones distintas de la secuencia\(1\) -\(2\cdots 2n\) en productos de pares. ¿Cuántos términos hay? Algunas combinatorias simples responden a esta pregunta. Escoge el índice\(1\). Existen\((2n-1)\) otros índices de tiempo con los que se puede contratar. Ahora elige otro índice. Hay\((2n-3)\) índices con los que ese índice puede ser contraído. Y así sucesivamente. De esta manera obtenemos\[C(n)\equiv{\hbox{\# of contractions}\atop \hbox{of 1-2-3\,$\cdots$$2n$}} = (2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot 1 = {(2n)!\over 2^n\,n!}\ .\]