8.14: Apéndice V- Relaciones Kramers-Krönig

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Supongamos que\({\hat\chi}(\omega)\equiv {\hat G}(\omega)\) es analítico en el UHP ¹⁹. Entonces para todos\(\nu\), debemos tener\[\impi{d\nu\over 2\pi}\,{{\hat\chi}(\nu)\over\nu-\omega+i\eps}=0\ ,\label{kka}\] donde\(\eps\) está un infinitesimal positivo. La razón es simple: simplemente cerrar el contorno en la UHP, asumiendo que se\({\hat\chi}(\omega)\) desvanece lo suficientemente rápido como para que se pueda aplicar el lema de Jordan. Claramente se trata de una restricción extremadamente débil sobre\({\hat\chi}(\omega)\), dado que el denominador ya hace que el integrando desaparezcan como\(|\omega|^{-1}\).

Examinemos la función\[{1\over \nu-\omega+i\eps}={\nu-\omega\over (\nu-\omega)^2+\eps^2}-\, {i\eps\over (\nu-\omega)^2+\eps^2}\ .\] que hemos separado en partes reales e imaginarias. Bajo signo integral, el primer término, en el límite\(\eps\to 0\), equivale a tomar una parte principal de la integral. Es decir, para cualquier función\(F(\nu)\) que sea regular en\(\nu=\omega\),\[\lim_{\eps\to 0}\impi {d\nu\over 2\pi}\,{\nu-\omega\over (\nu-\omega)^2+\eps^2} \,F(\nu)\equiv\wp\!\! \impi {d\nu\over 2\pi}\,{F(\nu)\over\nu-\omega}\ .\] El símbolo de la parte principal\(\wp\) significa que la singularidad at\(\nu=\omega\) es elidida, ya sea suavizando la función\(1/(\nu-\eps)\) como se indicó anteriormente, o simplemente cortando una región de integración de ancho\(\eps\) a cada lado de\(\nu=\omega\).

La parte imaginaria es más interesante. Escribamos\[h(u)\equiv {\eps\over u^2+\eps^2}\ .\] Para\(|u|\gg\eps\),\(h(u)\simeq \eps/u^2\), que se desvanece como\(\eps\to 0\). Para\(u=0\),\(h(0)=1/\eps\) que diverge como\(\eps\to 0\). Por lo tanto,\(h(u)\) tiene un pico enorme\(u=0\) y decae rápidamente a\(0\) medida que uno se mueve fuera del pico en cualquier dirección una distancia mayor que\(\eps\). Por último, tenga en cuenta que\[\impi du\,h(u)=\pi\ ,\] un resultado que en sí mismo es fácil de mostrar mediante la integración de contornos. Poniéndolo todo junto, esto nos dice que\[\lim_{\eps\to 0} {\eps\over u^2+\eps^2}=\pi\delta(u)\ .\] Así, para infinitesimal positivo\(\eps\),\[{1\over u\pm i\eps}={\wp\over u} \mp i\pi\delta(u)\ ,\] un resultado de lo más útil.

Ahora volvemos a nuestro resultado inicial [kka], y nos separamos\({\hat\chi}(\omega)\) en partes reales e imaginarias:\[{\hat\chi}(\omega)={\hat\chi}'(\omega)+i{\hat\chi}''(\omega) \ .\] (En esta ecuación, los primos no indican diferenciación con respecto al argumento). Por lo tanto, tenemos, por cada valor real de\(\omega\),\[0=\impi{d\nu\over 2\pi}\,\Big[\chi'(\nu)+i\chi''(\nu)\Big]\, \Big[{\wp\over \nu-\omega}-i\pi\delta(\nu-\omega)\Big]\ .\] Tomando las partes real e imaginaria de esta ecuación, derivamos las relaciones Kramers-Kr ö nig:\[\begin{aligned} \chi'(\omega)&=&+\wp\!\!\impi{d\nu\over\pi}\,{{\hat\chi}''(\nu)\over\nu-\omega}\\ \chi''(\omega)&=&-\wp\!\!\impi{d\nu\over\pi}\,{{\hat\chi}'(\nu)\over\nu-\omega}\ .\end{aligned}\]