8.13: Apéndice IV- Correlaciones en el formalismo langevin

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Como se muestra anteriormente, la integración de la ecuación de Langevin\(\Dp+\gamma p = F + \eta(t)\) rinde\[p(t)=p(0)\,e^{-\gamma t} +{F\over\gamma}\>\big(1-e^{-\gamma t}\big) + \int\limits_0^t\!\!ds\>\eta(s)\,e^{\gamma (s-t)}\ .\]. Así, el autocorrelador de momentum es\[\begin{split} \blangle p(t)\,p(t')\brangle -\blangle p(t)\brangle \blangle p(t')\brangle &= \int\limits_0^t\!\!ds\!\int\limits_0^{t'}\!\!ds'\> e^{\gamma(s-t)}\,e^{\gamma(s'-t')}\,\blangle\eta(s)\,\eta(s')\brangle\\ &=\Gamma\,e^{-\gamma(t+t')}\!\! \int\limits_0^{t\ns_{min}}\!\!\!ds\>e^{2\gamma s} =M\kT\,\Big( e^{-\gamma |t-t'|} - e^{-\gamma(t+t')}\Big)\ , \end{split}\] donde\[t\ns_{min}={min}(t,t')= \begin{cases} t&{if}\ t<t' \\ t'&{if}\ t'<t \end{cases}\] está el menor de\(t\) y\(t'\). Aquí hemos utilizado el resultado\[\begin{split} \int\limits_0^t\!\!ds\!\int\limits_0^{t'}\!\!ds'\> e^{\gamma(s+s')}\,\delta(s-s')&= \int\limits_0^{t\ns_{min}}\!\!\!ds\!\int\limits_0^{t\ns_{min}}\!\!\!ds'\>e^{\gamma(s+s')}\,\delta(s-s')\\ &=\int\limits_0^{t\ns_{min}}\!\!\!ds\>e^{2\gamma s}={1\over 2\gamma}\Big(e^{2\gamma t\ns_{min}}-1\Big)\ . \end{split}\] Una forma de entender intuitivamente este resultado es la siguiente. La doble integral sobre\(s\) y\(s'\) está sobre un rectángulo de dimensiones\(t\times t'\). Ya que la\(\delta\) función -sólo puede satisfacerse cuando\(s=s'\), no puede haber contribución a la integral desde regiones donde\(s>t'\) o\(s'>t\). Así, las únicas contribuciones pueden surgir de la integración sobre el cuadrado de dimensiones\(t\ns_{min}\times t\ns_{min}\). Tenga en cuenta también\[t+t'-2\,{min}(t,t')=|t-t'|\ .\]

[Fssprime] Regiones para algunas de las dobles integrales encontradas en el texto.

Ahora calculemos la posición\(x(t)\). Tenemos\[\begin{split} x(t)&=x(0)+{1\over M}\!\int\limits_0^t\!\!ds\>p(s)\\ &=x(0) + \int\limits_0^t\!\!ds\, \Bigg[\bigg(v(0)-{F\over\gamma M}\bigg)\,e^{-\gamma s} + {F\over \gamma M}\Bigg] +{1\over M}\!\int\limits_0^t\!\!ds\!\int\limits_0^{s}\!\!ds\ns_1\>\eta(s\ns_1)\,e^{\gamma(s\ns_1-s)}\\ &=\blangle x(t)\brangle + {1\over M}\!\int\limits_0^t\!\!ds\!\int\limits_0^{s}\!\!ds\ns_1\>\eta(s\ns_1)\,e^{\gamma(s\ns_1-s)}\ , \end{split}\] con\(v=p/M\). Ya que\(\big\langle\eta(t)\big\rangle=0\), tenemos\[\begin{split} \blangle x(t)\brangle&=x(0)+\int\limits_0^t\!\!ds\, \Bigg[\bigg(v(0)-{F\over\gamma M}\bigg)\,e^{-\gamma s} + {F\over \gamma M}\Bigg]\\ &=x(0)+{Ft\over \gamma M} + {1\over\gamma}\bigg(v(0)-{F\over\gamma M}\bigg)\,\big(1-e^{-\gamma t}\big)\ . \end{split}\] Nota que para\(\gamma t\ll 1\) nosotros tenemos\(\big\langle x(t)\big\rangle = x(0)+v(0)\, t + \half M^{-1} F t^2 + \CO(t^3)\), como es apropiado para partículas balísticas que se mueven bajo la influencia de una fuerza constante. Este largo límite de tiempo, por supuesto, concuerda con nuestra evaluación anterior para la velocidad terminal,\(v\ns_\infty=\big\langle p(\infty)\big\rangle/M = F/\gamma M\).

A continuación calculamos la autocorrelación de posición:\[\begin{aligned} \blangle x(t)\,x(t')\brangle - \blangle x(t)\brangle \blangle x(t')\brangle & = {1\over M^2}\!\int\limits_0^t\!\!ds\! \int\limits_0^{t'}\!\!ds'\>e^{-\gamma(s+s')}\!\int\limits_0^s\!\!ds\ns_1\!\int\limits_0^{s'}\!\!ds'_1\> e^{\gamma(s\ns_1+s\ns_2)}\,\blangle\eta(s\ns_1)\,\eta(s\ns_2)\brangle\nonumber\\ &={\Gamma\over 2\gamma M^2}\int\limits_0^t\!\!ds\!\int\limits_0^{t'}\!\!ds'\> \Big(e^{-\gamma|s-s'|}-e^{-\gamma(s+s')}\Big)\end{aligned}\] Tenemos que tener cuidado al computar la doble integral del primer término entre paréntesis en el RHS. Podemos asumir, sin pérdida de generalidad, eso\(t\ge t'\). Entonces\[\begin{split} \int\limits_0^t\!\!ds\!\int\limits_0^{t'}\!\!ds'\>e^{-\gamma|s-s'|}&=\int\limits_0^{t'}\!\!ds'\,e^{\gamma s'}\!\int\limits_{s'}^t\!\!ds\> \>e^{-\gamma s}+ \int\limits_0^{t'}\!\!ds'\,e^{-\gamma s'}\!\int\limits_0^{s'}\!\!ds\>e^{\gamma s}\\ &=2\gamma^{-1}t' + \gamma^{-2}\big(e^{-\gamma t} + e^{-\gamma t'} - 1 - e^{-\gamma (t-t')} \big)\ . \end{split}\] nos encontramos entonces, pues\(t>t'\),\[\blangle x(t)\,x(t')\brangle - \blangle x(t)\brangle \blangle x(t')\brangle = {2\kT\over \gamma M}\> t' + {\kT\over \gamma^2 M}\,\big(2e^{-\gamma t} + 2 e^{-\gamma t'} -2 -e^{-\gamma(t-t')} - e^{-\gamma(t+t')} \big)\ .\] en particular, el autocorrelador de igual tiempo es\[\blangle x^2(t)\brangle - \blangle x(t)\brangle^{\!2} = {2\kT\over \gamma M}\> t + {\kT\over \gamma^2 M}\,\big(4 e^{-\gamma t} - 3 - e^{-2\gamma t}\big)\ .\] Vemos que por largos tiempos\[\blangle x^2(t)\brangle - \blangle x(t)\brangle^{\!2} \sim 2Dt\ ,\] donde\(D=\kT/\gamma M\) está la constante de difusión.