9.1: El Programa de Renormalización

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Un sistema mecánico estadístico se define por un conjunto de grados de libertad y por un conjunto de constantes de acoplamiento\(\{K\ns_\alpha\}\). Los grados de libertad pueden ser discretos, como los giros Ising\(\sigma\ns_i\), o continuos, como un campo\(\phi(\Br)\). Adicionalmente, cada uno de estos sistemas posee una escala microscópica de longitud\(\ell\). Para discretos, sistemas basados en celosía, esta escala de longitud es simplemente el espaciado de celosía:\(\ell=a\). Para sistemas continuos, podemos definir una escala microscópica de longitud imponiendo un corte\(\RLambda\) en los generadores de onda que integramos en todas las transformadas de Fourier. Es decir, reemplazamos\[\int\!\!{d^d\!k\over (2\pi)^d}\>F(\Bk) \longrightarrow \int\!\!{d^d\!k\over (2\pi)^d}\>F(\Bk)\,\gla(\Bk)\ ,\] donde\(F(\Bk)\) está cualquier función y\(\gla(\Bk)\) es la función de corte. El caso más simple de imaginar es un corte agudo que es isotrópico en el evector de ondas,\(\gla(\Bk)=\RTheta(\RLambda-|\Bk|)\). Otros esquemas de corte, sin embargo, son posibles, incluyendo 'cortes suaves' donde\(\gla(\Bk)\) es suave. La escala microscópica de longitud es entonces\(\ell\sim\RLambda^{-1}\), que es la distancia más pequeña en el espacio real sobre la cual el sistema puede fluctuar independientemente.

La idea detrás de la renormalización es que podemos ganar sucesivamente grados de libertad de un sistema de alguna manera exacta o aproximada, y al hacerlo generamos una nueva versión del sistema, a una escala de longitud diferente\(\ell'>\ell\), y con diferentes acoplamientos\(\{K'_\alpha\}\). Luego iteramos este procedimiento. El resultado es un conjunto de ecuaciones que nos indican cómo se comportan los acoplamientos bajo un cambio de la escala microscópica de longitud. Como veremos, los puntos fijos de este procedimiento —donde los acoplamientos no cambian bajo una escala de cambio de longitud— son puntos críticos. Tal punto fijo está definido por un conjunto de acoplamientos\(\{K^*_\alpha\}\).

Si denotamos por\(\CR\ns_b\) el procedimiento de renormalización\[\CR\ns_b\big(\ell\,,\{K\ns_\alpha\}\big) = \big(\ell'\,,\{K'_\alpha\}\big)\ ,\] donde\(\ell'=b\,\ell\), entonces tenemos la ley de composición\(\CR\ns_b\,\CR\ns_{b'}=\CR\ns_{b+b'}\). El conjunto de transformaciones\(\{\CR\ns_b\}\) se conoce colectivamente como el grupo de renormalización (RG) debido a esta estructura matemática. Es algo así como un nombre erróneo, sin embargo, ya que las transformaciones sólo se definen para\(b\ge 1\), lo que significa que no hay una operación inversa, y por lo tanto no hay una verdadera estructura de grupo ¹. Sin embargo, utilizaremos la terminología RG porque ha llegado a ser universalmente aceptada en la literatura.