9.2: Renormalización del Espacio Real

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Como se aludió anteriormente, existen dos clases diferentes de renormalización. Una clase, llamada grupo de renormalización de espacio real (RSRG), elimina los grados de libertad locales basados en redes en cada paso del proceso de RG. La segunda clase, llamada grupo de renormalización de espacio de impulso (MSRG), se implementa bajando sistemáticamente el punto de corte\(\RLambda\) en las integrales del sector de ondas. Resulta que el proceso RSRG, por razones que veremos, es incontrolado, y para resultados 'profesionales' se recurre a MSRG. Sin embargo, RSRG nos proporciona quizás la comprensión más vívida e intuitiva de lo que se trata la renormalización, por lo que comenzaremos ahí.

Figura\(\PageIndex{1}\): Renormalización espacial real de una celosía unidimensional “integrando” los grados de libertad en la mitad de los sitios de celosía.

RSRG para la cadena Ising

Considera un modelo de\(d=1\) Ising con Hamiltonian

\[\HH=-J\sum_n\sigma\ns_n\,\sigma\ns_{n+1}\ .\]

Nuestro objetivo es calcular la función de partición\(Z=\Tra e^{-\beta\HH}\). Esto lo hacemos rastreando primero los grados de libertad en todos los sitios de índice impar. Tenemos

\[\begin{aligned} \sum_{\sigma\ns_{2n+1}} e^{\beta J\sigma\ns_{2n}\sigma\ns_{2n+1}}\,e^{\beta J\sigma\ns_{2n+1}\sigma\ns_{2n+2}}&= e^{\beta J(\sigma\ns_{2n}+\sigma\ns_{2n+1})} + e^{-\beta J(\sigma\ns_{2n}+\sigma\ns_{2n+1})} \nonumber\\ &=\begin{cases} 2\cosh(\beta J) & \hbox{if $\sket{\sigma\ns_{2n}\,\sigma\ns_{2n+2}}=\sket{\!\!\uar\uar}$ or $\sket{\!\!\dar\dar}$} \\ 2& \hbox{if $\sket{\sigma\ns_{2n}\,\sigma\ns_{2n+2}}=\sket{\!\!\uar\dar}$ or $\sket{\!\!\dar\uar}$}\nonumber\\ \end{cases}\\ &\equiv e^{\beta J'\sigma\ns_{2n}\,\sigma\ns_{2n+2}}\,e^{\beta\RDelta\ve}\bvph\ ,\end{aligned}\]

donde

\[\begin{aligned} e^{\beta J'}\,e^{\beta\RDelta\ve}&=2\,\cosh(2\beta J)\\ e^{-\beta J'}\,e^{\beta\RDelta\ve}&=2\ ,\end{aligned}\]

de la que obtenemos

\[\begin{aligned} e^{2\beta J'} &= \cosh(2\beta J)\\ e^{\beta\RDelta\ve}&=2\sqrt{\cosh(2\beta J)}\ .\end{aligned}\]

Así, si escribimos nuestro Hamiltoniano original como

\[{\HH\over\kT}=\sum_n\big(c - K\sigma\ns_n\,\sigma\ns_{n+1}\big)\ ,\]

donde\(K=\beta J\), luego la transformación RSRG en la que rastreamos sobre todos los demás sitios da como resultado

\[\begin{aligned} c'&=c-\ln 2 -\half\ln\cosh(2K)\\ K'&=\half\ln\cosh(2K)\\ a'&=2a\ ,\end{aligned}\]

donde la última ecuación describe el cambio en la constante de celosía. La segunda de estas ecuaciones puede escribirse

\[\tanh K'=\tanh^2\! K \ .\]

Supongamos que realizamos este procedimiento\(n\) veces. Entonces tenemos, con\(\ell\ns_0\equiv a\),

\[\ell\ns_n=2^n\,\ell\ns_0\qquad,\qquad \ln\tanh K\ns_n=2^n\ln\tanh K\ns_0\ .\]

En este punto, podemos imaginar\(\ell\) que es una variable continua. Ahora podemos anotar el comportamiento de la constante\(K\) de acoplamiento en función de la escala microscópica de longitud\(\ell\):

\[\tanh K(\ell)=(\tanh K\ns_0)^{\ell/\ell\ns_0}\ .\]

Vamos a definir\(g\equiv\tanh K\). Luego tenemos la ecuación de flujo RG

\[\beta(g)\equiv {\pz\ln g\over\pz \ln b}=b\,\ln\tanh K\ns_0 = \ln g < 0\ ,\]

donde\(b=\ell/\ell\ns_0\). Así, a medida que\(\ell\) aumenta,\(\ln g\) fluye hacia valores cada vez más negativos, significado\(g\to 0\), lo que conlleva\(K\to 0\). Entonces, a medida que\(\ell\) fluye a valores cada vez más grandes, el acoplamiento\(K(\ell)\) se hace cada vez más pequeño.

Figura\(\PageIndex{2}\): Renormalización espacial real de una celosía cuadrada bidimensional.

Enrejado cuadrado bidimensional

Considere a continuación una transformación RSRG del modelo bidimensional de celosía cuadrada Ising. Como se representa en la Figura\(\PageIndex{2}\), la celosía cuadrada es bipartita, consistente en dos sublátices\(\sqrt{2}\times\sqrt{2}\) cuadrados interpenetrantes. Tratemos de hacer lo mismo que para el modelo unidimensional de Ising y trazar sobre los grados de libertad de una de las sublattices. Para ello, trazemos sobre un solo sitio, que tiene cuatro vecinos en la celosía cuadrada, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). Tenemos ²

\[\begin{aligned} \sum_{\sigma\ns_0} e^{K\sigma\ns_0(\sigma\ns_1+\sigma\ns_2+\sigma\ns_3+\sigma\ns_4)}&= e^{K(\sigma\ns_1+\sigma\ns_2+\sigma\ns_3+\sigma\ns_4)} + e^{-K(\sigma\ns_1+\sigma\ns_2+\sigma\ns_3+\sigma\ns_4)}\nonumber\\ &\equiv e^{K'(\sigma\ns_1\sigma\ns_2 + \sigma\ns_2\sigma\ns_3 + \sigma\ns_3\sigma\ns_4 + \sigma\ns_4\sigma\ns_1)}\, e^{{\widetilde K}'(\sigma\ns_1\sigma\ns_3 + \sigma\ns_2\sigma\ns_4)}\,e^{L'\sigma\ns_1\sigma\ns_2\sigma\ns_3\sigma\ns_4}\, e^{\alpha'}\ .\end{aligned}\]

Debe quedar claro que\({\widetilde K}'=K'\), debido a que el giro se\(\sigma\ns_0\) acopla a la suma\((\sigma\ns_1+\sigma\ns_2+\sigma\ns_3+\sigma\ns_4)\) por lo que no puede haber distinción entre interacciones inducidas del vecino más cercano (\(K'\sigma\ns_1\sigma\ns_2\)) e interacciones inducidas del vecino siguiente más cercano (\({\widetilde K}'\sigma\ns_1\sigma\ns_3\)) en esta etapa. Nos fijamos\(\sket{\sigma\ns_1\,\sigma\ns_2\,\sigma\ns_3\,\sigma\ns_4}\) a\(\sket{\!\!\uar\uar\uar\uar}\)\(\sket{\uar\uar\uar\dar}\),\(\sket{\!\!\uar\uar\dar\dar}\), y, respectivamente, obtenemos las relaciones

\[\begin{aligned} 2\cosh(4K)&=e^{6K'+L'+\alpha'}\\ 2\cosh(2K)&=e^{-L'+\alpha'}\\ 2&=e^{-2K'+L'+\alpha'}\ .\end{aligned}\]

La solución es

\[\begin{aligned} K'&=\frac{1}{8}\ln\cosh(4K)\\ L'&=\frac{1}{8}\ln\cosh(4K)-\half\ln\cosh(2K)\\ \alpha'&=2\cosh^{1/8}(4K)\,\cosh^{1/2}(2K)\ .\end{aligned}\]

Figura\(\PageIndex{3}\): El rastreo sobre el sitio central da como resultado tres interacciones diferentes: vecino más cercano (azul), vecino siguiente más cercano (rojo) y un término de plaqueta de cuatro sitios (verde).

Tenga en cuenta que se han generado nuevos acoplamientos en este primer paso del procedimiento RSRG. Ahora se vuelve muy difícil iterar esta transformación por segunda vez, ya que la presencia de acoplamientos de segundo vecino y plaqueta\({\tilde K}\) y\(L\) significa que no podemos integrar exactamente uno de los sublátices como antes. Aún así podríamos imaginar iterar este procedimiento RSRG, aunque sólo sea perturbadoramente en ciertos acoplamientos. Vemos, sin embargo, que en lugar de considerar el efecto de\(\CR\) sobre un solo acoplamiento\(K\) o el par\((K,\alpha)\), deberíamos considerar, aunque solo sea formalmente, la iteración de un conjunto infinito de todos los acoplamientos posibles,\(\{K\ns_\alpha\}\). Escribiendo esto como un vector\(\BK\), podemos escribir la transformación RSRG en la forma

\[\BK'=\BCR\ns_b(\BK)\ .\]

Figura\(\PageIndex{4}\): Bloqueo de giro en la celosía triangular.