9.4: Variables de escalado
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\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
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\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
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\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
Hemos visto cómo una transformación RG actúa sobre el conjunto (infinito) de acoplamientos que definen el hamiltoniano de un sistema. Encontramos\(\BK'=\BCR\ns_b(\BK)\). Si\(\xi(\BK)\) es la longitud de correlación en unidades del espaciado de celosía, entonces dado que cada paso RG implica una reescalación por un factor\(b\), debemos tener\[\xi(\BK)=b\,\xi(\BK') = b^2\,\xi(\BK'') = \cdots \ .\]
Un punto fijo de la transformación\(\BCR\ns_b\) es un conjunto de acoplamientos\(\BK^*\) tales que\[\BCR\ns_b(\BK^*)=\BK^*\ .\] Linealizando\(\BCR\ns_b(\BK)\) sobre el punto fijo, tenemos\[K'_\alpha-K^*_\alpha = \sum_\beta Q\ns_{\alpha\beta}\,(K\ns_\beta-K^*_\beta) \qquad,\qquad Q\ns_{\alpha\beta}={\pz K'_\alpha\over \pz K\ns_\beta}\bigg|_{\BK^*}\ .\] La matriz\(Q\ns_{\alpha\beta}\) es real pero no necesariamente simétrica. Definimos los vectores propios izquierdos de\(Q\),\(\phi^{(i)}_\alpha\), tal que\[\sum_\alpha \phi^{(i)}_\alpha \, Q\ns_{\alpha\beta}=\lambda\ns_i \, \phi^{(i)}_\beta\ .\] La variable\(u\ns_i\) de escalado se define entonces como\[u\ns_i\equiv\sum_\alpha \phi^{(i)}_\alpha (K\ns_\alpha-K^*_\alpha)\ .\] Ahora debería ser evidente que bajo una transformación RG, tenemos\[u'_i=\sum_\alpha \phi^{(i)}_\alpha (K'_\alpha-K^*_\alpha) = \sum_{\alpha,\beta}\phi^{(i)}_\alpha\ , Q\ns_{\alpha\beta} (K\ns_\beta-K^*_\beta) =\lambda\ns_i \sum_\alpha \phi^{(i)}_\alpha (K_\alpha-K^*_\alpha) =\lambda\ns_i u\ns_i\ .\] Decimos que\[u\ns_i\ {is}\ \begin{cases} \hbox{\it relevant} & {if}\ \lambda\ns_i > 1 \\ \hbox{\it irrelevant} & {if}\ \lambda\ns_i < 1 \\ \hbox{\it marginal} & {if}\ \lambda\ns_i = 1 \ . \end{cases}\] Bajo renormalización, las variables de escala relevantes fluyen lejos del punto fijo, mientras que las variables de escala irrelevantes fluyen hacia el punto fijo. Para las variables marginales, se debe ir al orden superior, más allá de la linealización anterior, para determinar si el flujo está alejado (marginalmente relevante) o hacia (marginalmente irrelevante) el punto fijo.
