7.3: La distribución Maxwell para velocidades

La distribución más probable de velocidades de partículas en un gas viene dada por la Ecuación 7.2.9 con\( \epsilon = \frac{p^2}{2m} = \frac{1}{2}mv^2 \). Por lo tanto, esperamos que la función de distribución para las velocidades sea

\[ f(v)d^3v = C\;\exp \left( -\frac{mv^2}{2kT} \right)d^3v \]

Esto se conoce como la distribución Maxwell. Maxwell llegó a esto por un ingenioso argumento muchos años antes de que se resolviera la derivación que dimos en la última sección. Consideró la probabilidad de que una partícula tenga componentes de velocidad\((v_1, v_2, v_3)\). Si la probabilidad de que una partícula tenga el componente x de velocidad entre\(v_1\) y\(v_1 + dv_1\) es\(f(v_1)dv_1\), entonces la probabilidad de\((v_1, v_2, v_3)\) sería

\[\text{Probability of} \;(v_1, v_2, v_3) \;=\; f(v_1) f(v_2) f(v_3) dv_1 dv_2 dv_3 \label{7.3.2}\]

Dado que las dinámicas a lo largo de las tres dimensiones son independientes, la probabilidad debe ser producto de las individuales. Además, no hay nada que señale a ningún componente cartesiano en particular, todos son equivalentes, por lo que la función f debe ser la misma para cada dirección. Esto lleva a\ ref {7.3.2}. Finalmente, tenemos invarianza rotacional en un gas libre sin potenciales externos, por lo que la probabilidad debe ser una función únicamente de la velocidad\(v =\sqrt{ v^2_1 + v^2_2 + v^2_3}\). Así necesitamos una función\(f(v)\) tal que sólo\(f(v_1) f(v_2) f(v_3)\) dependa de\(v\). La única solución es\(f(v)\) que sea de la forma

\[f(v_1) \;∝\; \exp −(α v^2_1)\]

para alguna constante\(α\). La distribución de velocidades es así

\[ fd^3v \;=\; C \exp (- \alpha v^2_1) d^3v \label{7.3.4} \]

Dado que la probabilidad total\(\int f d^3v\) debe ser una, podemos identificar la constante\(C\) como\((\frac{α}{\pi})^{\frac{3}{2}}\).

Consideramos ahora partículas colisionando con la pared del contenedor, digamos la cara en\(x = L_1\), como se muestra en la Fig. 7.3.1. El impulso impartido a la pared en una colisión elástica es\(∆p_1 = 2mv_1\). En cualquier instante dado aproximadamente la mitad de las moléculas tendrán un componente\(v_1\) hacia la pared. Todos ellos en un volumen\(A \times v_1\) (donde\(A\) está el área de la cara) llegarán a la pared en un segundo, de manera que la fuerza sobre la pared debido a colisiones es

\[ F\;=\;\frac{1}{2}\; \left( \frac{N}{V} \right) A\;\times\; v_1 \;\times\; (2mv_1) \;=\; \left( \frac{N}{V} \right) Amv^2_1\]

Promediando sobre\(v^2_1\) el uso de la ecuación\ ref {7.3.4}, obtenemos la presión

\[ p \;=\; \frac{\langle F \rangle}{A} = \left( \frac{N}{V} \right) m \langle v^2_1 \rangle \;=\; \left( \frac{N\;m}{2 \alpha V} \right) \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Una colisión típica con la pared del contenedor en\(x = L_1\). El componente de velocidad\(v_1\) antes y después de la colisión se muestra mediante la línea punteada.

Comparando con la ley de gas ideal, podemos identificarnos\(α\) como\(\frac{m}{2kT}\). Así, la distribución de velocidades es

\[ f(v)d^3v\;=\; \left( \frac{m}{2 \pi kT} \right)^{\frac{3}{2}} \exp \left( -\frac{mv^2}{2kT} \right) d^3v \\ f(v)d^3v\;=\; \left( \frac{1}{2 \pi mkT} \right)^{\frac{3}{2}} \exp \left( -\frac{\epsilon}{kT} \right) d^3p \label{7.3.7}\]

Esto está de acuerdo con la Ecuación 7.2.9.

Adaptando el argumento de Maxwell a un gas relativista

El argumento de Maxwell que lleva a la Ecuación\ ref {7.3.7} es tan simple y elegante que resulta tentador ver si hay otras situaciones a las que podría aplicarse tal razonamiento basado en la simetría. El caso más obvio sería un gas de partículas libres para el que se toman en cuenta los efectos relativistas. En este caso,\(\epsilon = \sqrt{p_2 + m_2}\) y es claro que\(e^{− \beta \epsilon}\) no se puede obtener de un producto de la forma\(f(p_1)f(p_2)f(p_3)\). Entonces, a primera vista, el razonamiento de Maxwell parece fallar. Pero esto no es así del todo, como lo demostrará la siguiente línea de razonamiento.

Como primer paso, observe que la distribución en la Ecuación\ ref {7.3.7} es para un gas que no tiene movimiento general de deriva. Esto se ve al señalar que

\[ \langle v_i \rangle \;=\; \int d^3p \frac{p_i}{m} \left( \frac{1}{2 \pi mkT} \right)^{\frac{3}{2}} \exp \left( -\frac{\epsilon}{kT} \right) \;=\; 0\]

Podemos incluir una velocidad global\(\vec{u}\) cambiando la distribución a

\[ f(p) = \left( \frac{1}{2 \pi mkT} \right)^{\frac{3}{2}} \exp \left( -\frac{(\vec{p} - m \vec{u})^2}{2mkT} \right) \]

Se verifica fácilmente eso\(\langle v_i \rangle = u_i \). Es importante incluir el movimiento general en el razonamiento ya que la simetría es el conjunto completo de transformaciones de Lorentz en el caso relativista e incluyen transformaciones de velocidad.

En segundo lugar, observamos que en el caso relativista donde tenemos el 4-momentum\(p_µ\),\(µ = 0, \;1,\; 2,\; 3\) y lo que se necesita para sumar sobre todos los estados no es la integración sobre todos\(p_µ\), más bien debemos integrarnos con la medida invariante

\[dµ = d^4 p δ(p^2 − m^2) Θ(p_0) \label{7.3.10}\]

donde\(Θ\) esta la función de paso,

\ [θ (x) =
\ comenzar {casos}
1\;\;\;\;\ texto {para x>0}\\
0\;\;\;\;\ texto {para x<0}
\ end {casos}\]

Además, la\(δ\) función -se puede ampliar como

\[δ(p^2 − m^2 ) = δ(p^2_0 − \vec{p}^{2} − m^2 ) = \frac{1}{2p_0} \left[ δ(p_0 − \sqrt{\vec{p}^{2} + m^2}) + δ(p_0 + \sqrt{\vec{p}^{2} + m^2}) \right]\]

La integración sobre\(p_0\) es trivial por estas ecuaciones y encontramos que

\[ \int d \mu f(p_{\mu}) \;=\; \int \frac{d^3p}{2 \sqrt{\vec{p}^{2} + m^2}} f (\sqrt{\vec{p}^{2} + m^2},\; \vec{p} )\]

Ahora buscamos una función que pueda escribirse en la forma\(f(p_0)f(p_1)f(p_2)f(p_3)\) involucrando los cuatro componentes de\(p_µ\) e integrarla con la Ecuación medida\ ref {7.3.10}. La función f también debe involucrar la velocidad de deriva en general. En el caso relativista, esta es la velocidad 4\(U^µ\), cuyos componentes son

\[ U_0 = \frac{1}{\sqrt{1-\vec{u}^{2}}} , \;\;\;\;\;\; U_i = \frac{u_i}{\sqrt{1-\vec{u}^{2}}}\]

La solución vuelve a ser exponencial

\[f(p) = C \exp (−β\;p_µU^µ ) \;=\; C \exp \left( −β(p_0U_0 − \vec{p} \cdot \vec{U} )\right) \]

Con la medida de la Ecuación\ ref {7.3.10}, encontramos

\[ \int dµ\; f(p) \;B(p) = C\; \int \frac{d^3p}{ 2 \epsilon_p} \exp \left( −β(\epsilon_p U_0 − \vec{p} \cdot \vec{U} )\right) \;B(\epsilon_p,\vec{p}) \]

para cualquier observable\(B(p)\) y dónde\(\epsilon_p = \sqrt{p_2 + m_2}\). En esta etapa, si lo deseamos, podemos considerar un gas sin movimiento general, ajuste\(\vec{u} = 0\), para obtener

\[ \langle B \rangle \;=\;C\; \int \frac{d^3p}{ 2 \epsilon_p} \exp \left( −β \epsilon_p \right) \;B(\epsilon_p,\vec{p}) \]

Esto nos devuelve a una forma similar a la Ecuación 7.2.9, incluso para el caso relativista.