9.1: Preliminares matemáticos

Comenzaremos con un teorema sobre formas diferenciales que se necesita para formular la versión de Carathéodory de la segunda ley.

Antes de probar el teorema de Carathéodory, necesitaremos el siguiente resultado.

Teorema\(\PageIndex{1}\) — Integrating Factor Theorem

Dejar\(A = A_idx^i\) denotar un diferencial de una forma. Si\(A ∧ dA = 0\), entonces al menos localmente, se puede encontrar un factor integrador para\(A\); es decir, existen funciones\(τ\) y\(φ\) tal que\(A = τ\;dφ\).

La prueba de este resultado se hace más fácilmente inductivamente en la dimensión del espacio. Primero, consideramos el caso bidimensional, así que eso\(i = 1, 2\). En este caso, la condición\(A ∧ dA = 0\) es vacia. Escribir\(A = A_1dx^1 + A_2dx^2\). Hacemos una transformación coordinada a\(λ\),\(φ\) donde

\ [\ begin {ecuación}
\ begin {split}
\ frac {dx^1} {dλ} & = -f (x^1, x^2) A_2\\ [0.125in]
\ frac {dx^2} {dλ} & = f (x^1, x^2) A_1
\ end {split}
\ end {ecuación}\ label {9.1.1}\]

donde\(f(x^1 , x^2)\) es una función arbitraria que se puede elegir de cualquier manera conveniente. Esta ecuación muestra que

\[A_1 \frac{\partial x^1}{\partial λ} + A_2 \frac{\partial x^2}{\partial λ} = 0 \]

Las ecuaciones\ ref {9.1.1} definen un conjunto de trayectorias no intersecantes, siendo λ el parámetro a lo largo de la trayectoria. Elegimos\(ϕ\) como la coordenada en secciones transversales del flujo generado por (\ ref {9.1.1}). Haciendo la transformación de coordenadas de\(x^1\)\(λ\),\(x^2\) a\(ϕ\), ahora podemos escribir la forma única\(A\) como

\ [\ begin {ecuación}
\ begin {split}
A & =\ izquierda (A_1\ frac {\ parcial x^1} {\ parcial λ} + A_2\ frac {\ parcial x^2} {\ parcial λ}\ derecha) dλ +\ izquierda (A-1\ frac {\ parcial x^1} {\ parcial\ phi} + A_2\ frac {\ parcial x^2}\ parcial\ phi}\ derecha) d\ phi\\ [0.125in]
& = τ\; d\ phi\\ [0.125in] τ & = a_I\ frac {\ parcial x^i} {\ parcial\ phi}
\ final {división}
\ final {ecuación}\ etiqueta {9.1.3}\]

Esto prueba el teorema para dos dimensiones. En tres dimensiones, tenemos

\[A = A_1dx^1 + A_2dx^2 + A_3dx^3 \label{9.1.4} \]

La estrategia es comenzar por determinar\(τ\),\(ϕ\) para el\(A_1\),\(A_2\) subsistema. Elegimos las nuevas coordenadas como\(λ\),\(ϕ\),\(x^3\) e imponemos la Ecuación\ ref {9.1.1}. Resolviendo estos, encontraremos\(x^1\) y\(x^2\) como funciones de\(λ\) y\(x^3\). Las trayectorias también dependerán de los puntos de mirada que pueden tomarse como puntos en la sección transversal y, por lo tanto, etiquetados por\(ϕ\). Así conseguimos

\[x^1 = x^1 (λ, ϕ, x^3 ), x^2 = x^2 (λ, ϕ, x^3) \]

La forma única\(A\) en la Ecuación\ ref {9.1.4} ahora se convierte en

\ [\ begin {ecuación}
\ begin {split}
A & =\ izquierda (A_1\ frac {\ parcial x^1} {\ parcial λ} + A_2\ frac {\ parcial x^2} {\ parcial λ}\ derecha) dλ +\ izquierda (A-1\ frac {\ parcial x^1} {\ parcial\ phi} + A_2\ frac {\ parcial x^2}\ parcial\ phi}\ derecha) d\ phi + a_3dx^3 +\ izquierda (A-1\ frac {\ parcial x^1} { \ parcial x^3} + A_2\ frac {\ parcial x^2} {\ parcial x^3}\ derecha) dx^3\\ [0.125in]
& = τ\; d\ phi +\ Widetilde {A} _3dx^3\ [0.125 pulg]\ tilde ancho {A} _3 & = A_3\ izquierda (A-1\ frac {\ parcial x^1} {\ parcial x^3} + A_2\ frac {\ parcial x^2} {\ parcial x^3}\ derecha)
\ end {split}
\ end {ecuación}\ etiqueta {9.1.6}\]

Consideramos ahora imponer las ecuaciones\(A ∧ dA = 0\),

\ [\ begin {ecuación}
\ begin {split}
A dA & =\ left [\ Widetilde {A} _3 (_λa_φ − _φ − _φ A_λ) + a_λ (_φ\ Widetilde {A} _3 − _3a_φ) + a_φ (_3a_λ − _λ\ Widetilde {A} _3)\ derecha] dx^3 dλ dφ\\ [0.125in]
& = 0
\ end {split}
\ end {ecuación}\ etiqueta {9.1.7}\]

Desde\(A_λ = 0\) y\(A_ϕ = τ\) a partir de la ecuación\ ref {9.1.6}, esta ecuación se convierte en

\[ \widetilde{A}_3 \frac{\partial τ}{\partial λ} - τ \frac{\partial \widetilde{A}_3}{\partial λ} = 0 \label{9.1.8} \]

Escribiendo\(\widetilde{A}_3 = τ\;h\), esto se convierte

\[τ^2 \frac{\partial h}{\partial λ} = 0 \label{9.1.9} \]

Como no\(τ\) es idénticamente cero para nosotros, obtenemos\(\frac{∂h}{∂λ} = 0\) y, volviendo a la Ecuación\ ref {9.1.6}, podemos escribir

\[ A = τ \left[ dϕ + h(ϕ, x^3) dx^3 \right] \label{9.1.10} \]

La cantidad entre corchetes es una forma única en el espacio bidimensional definido por\(ϕ\),\(x^3\). Para ello podemos usar el resultado bidimensional y escribirlo como\(\widetilde{τ} d \widetilde{ϕ}\), para que

\[A = τ τ [dϕ + h(ϕ, x^3) dx^3] = τ \widetilde{τ} d \widetilde{ϕ} ≡ T d\widetilde{ϕ}\]

\(T = τ \widetilde{τ}\)Esto prueba el teorema para el caso tridimensional.

La extensión a cuatro dimensiones sigue un patrón similar. Las soluciones a la Ecuación\ ref {9.1.1} se convierten

\[ x^1 = x^1 (λ, ϕ, x^3, x^4),\;\;\;\;\;\;\; x^2 = x^2 (λ, ϕ, x^3, x^4) \]

para que podamos llevar\(A\) a la forma

\ [\ begin {ecuación}
\ begin {split}
A & =\ left (A_1\ frac {\ parcial x^1} {\ partial φ} + A_2\ frac {\ parcial x^2} {\ partial φ}\ derecha) dφ +\ izquierda (A_3 + A_1\ frac {\ parcial x^1} {\ parcial x^3} + A_2\ frac {\ parcial x^3} + A_2\ frac {\ parcial x^1} ^2} {\ parcial x^3}\ derecha) d x^3 +\ izquierda (A_4 + A-1\ frac {\ parcial x^1} {\ parcial x^4} + A_2\ frac {\ parcial x^2} {\ parcial x^4}\ derecha) dx^4\ [0.125in]
& = τ\; d φ +\ Widetilde {A} _3dx^3 +\ Widetilde {A} _4dx^4
\ end {split}
\ end {ecuación}\ label {9.1.13}\]

Pasamos ahora a imponer la condición\(A ∧ dA = 0\). En las coordenadas locales esto se convierte

\[A_α(∂_µA_{\nu} − ∂_{\nu}A_µ) + A_µ(∂_{\nu}A_α − ∂_αA_{\nu}) + A_{\nu}(∂_αA_µ − ∂_µA_α) = 0\]

Aquí hay cuatro condiciones independientes que corresponden a\((α, µ, \nu) = (1, 2, 3), (4, 1, 2), (3, 4, 1), (3, 2, 4)\). Usando\(A_λ = 0\) y\(A_ϕ = τ\), estas cuatro ecuaciones se convierten en

\[\widetilde{A}_3 \frac{∂τ}{∂λ} - τ \frac{∂ \widetilde{A}_3}{∂λ} = 0 \label{9.1.15}\]

\[\widetilde{A}_4 \frac{∂τ}{∂λ} - τ \frac{∂ \widetilde{A}_4}{∂λ} = 0 \label{9.1.16}\]

\[\widetilde{A}_4 \frac{∂ \widetilde{A}_3}{∂λ} - \widetilde{A}_3 \frac{∂ \widetilde{A}_4}{∂λ} = 0 \label{9.1.17}\]

\[\widetilde{A}_3 \frac{∂ \widetilde{A}_4}{∂ϕ} - \widetilde{A}_4 \frac{∂ \widetilde{A}_3}{∂ϕ} + τ \frac{∂ \widetilde{A}_3}{∂x^4} - \widetilde{A}_3 \frac{∂τ}{∂x^4} + \widetilde{A}_4 \frac{∂τ}{∂x^3} - τ \frac{∂ \widetilde{A}_4}{∂x^3} = 0 \label{9.1.18}\]

Nuevamente, introducimos\(h\) y\(g\) por\ anchotilde {A} _3 = τ h\),\(\widetilde{A}_4 = τ g\). Entonces, las ecuaciones (\ ref {9.1.15}) y (\ ref {9.1.16}) se convierten en

\[\frac{\partial h}{\partial λ} = 0,\;\;\;\;\;\; \frac{\partial g}{\partial λ} = 0 \label{9.1.19} \]

La ecuación\ ref {9.1.17} se satisface entonces de manera idéntica. La última ecuación, a saber,\ ref {9.1.18}, simplifica a

\[h \frac{\partial g}{\partial ϕ} - g \frac{\partial h}{\partial ϕ} + \frac{\partial h}{\partial x^4} - \frac{\partial g}{\partial x^3} = 0 \label{9.1.20} \]

Usando estos resultados, la ecuación\ ref {9.1.13} se convierte

\[A = = [τ dϕ + hdx^3 + gdx^4] \label{9.1.21}\]

La cantidad entre corchetes es una forma única en el espacio tridimensional de\(ϕ, x^3, x^4\) y podemos usar el resultado anterior para un factor de integración para esto. La condición para la existencia de un factor integrador para\(dϕ + hdx^3 + gdx^4\) es precisamente\ ref {9.1.20}. Así si tenemos Ecuación\ ref {9.1.20}, podemos escribir\(dϕ + hdx^3 + gdx^4\) como\(tds\) para algunas funciones\(t\) y\(s\), para que finalmente\(A\) tome la forma\(A = T dS\). Así se demuestra el teorema para cuatro dimensiones. El procedimiento puede extenderse a dimensiones superiores recursivamente, estableciendo el teorema para todas las dimensiones.

Ahora pasamos al teorema básico necesario para la formulación de Carathéodory. Considere un colector n-dimensional\(M\) con una forma única\(A\) en él. Una curva de solución a\(A\) se define a\(A = 0\) lo largo de la curva. De manera explícita, la curva puede ser tomada como dada por un conjunto de función\(x^i = ξ^i (t)\) donde\(t\) está el parámetro a lo largo de la curva y

\[A_i \frac{dx^i}{dt} = A_i \dot{ξ}^i = 0 \label{9.1.22} \]

En otras palabras, el vector tangente a la curva es ortogonal a a_I, por lo que la curva se encuentra en una superficie\((n − 1)\) -dimensional. Se dice que dos puntos, digamos,\(P\) y\(P'\) sucesivamente\(M\) son\(A\) accesibles si hay una curva de solución que contenga\(P\) y\(P'\). El teorema de Carathéodory es el siguiente:

Teorema\(\PageIndex{2}\) — Carathéodory’s Theorem.

Si en la vecindad de un punto\(P\) hay\(A\) -puntos inaccesibles, entonces\(A\) admite un factor integrador; es decir,\(A = T dS\) dónde\(T\) y\(S\) son funciones bien definidas en el vecindario.

La prueba del teorema implica un argumento reductio ad absurdum que construye caminos\(P\) que conectan con cualquier otro punto del vecindario. (Esta prueba se debe a H.A. Buchdahl, Proc. Camb. Phil. Soc. 76, 529 (1979).) Para ello, defina

\[ C_{ijk} = A_i(∂_jA_k − ∂_kA_j) + A_k(∂_iA_j − ∂_jA_i) + A_j (∂_kA_i − ∂_iA_k) \label{9.1.23} \]

Ahora considera un punto\(P'\) cerca\(P\) Tenemos un vector de desplazamiento\( \epsilonη^i\) para las coordenadas de\(P'\) (de\(P\)). \(η^i\)en general puede tener un componente a lo largo\(A_i\) y algunos componentes ortogonales a\(A_i\). La idea es resolver para estos a partir de la ecuación\(A = 0\). Dejar\(ξ^i (t)\) ser un camino que comienza y termina en\(P\), es decir,\(ξ^i (0) = ξ^i (1) = 0\),\(0 ≤ t ≤ 1\), y que es ortogonal a\(A_i\). Por lo tanto, es una curva de solución. Cualquier curva cerrada que comience en\(P\) y se encuentre en el espacio\((n − 1)\) -dimensional ortogonal a\(A_i\) elegir. Consideremos ahora un camino cercano dado por\(x^i (t) = ξ^i (t) + \epsilon η^i (t)\). Esta también será una curva de solución si\(A_I (ξ + \epsilon η)(\dot{ξ} + \epsilon \dot{η})^i = 0\). Ampliándose a primer orden en\(\epsilon\), esto es equivalente a

\[A_i \dot{η}^i + \dot{ξ}^i \left( \frac{\partial A_i}{\partial x^j} \right) η^j = 0 \label{9.1.24}\]

donde también usamos\(A_i \dot{ξ}^i = 0\). Podemos elegir\(\dot{ξ}^i\) ser de la forma\(\dot{ξ}^i = f^{ij}A_j\) donde\(f^{ij}\) es antisimétrico, para ser consistentes con\(A_i \dot{ξ}^i = 0\). Podemos encontrar cantidades\(f^{ij}\) tales que esto sea cierto; en todo caso, basta con mostrar un camino que lo haga\(P'\) accesible. Por lo que podemos considerar\(\dot{ξ}^i\)'s de esta forma. Así la Ecuación\ ref {9.1.24} se convierte

\[ A_i \dot{η}^i + η^j (∂_jA_i)f^{ik}A_k = 0 \]

Esta es una ecuación para los\(n\) componentes del desplazamiento\(η^i\). Podemos elegir\(n − 1\) los componentes de los\(η^i\) cuales son ortogonales a\(A_i\) como nos gusta y ver esta ecuación como la que determina el componente restante, el que va a lo largo\(A_i\). Entonces reescribimos esta ecuación como una ecuación para\(A_iη^i\) lo siguiente.

\ [\ begin {ecuación}
\ begin {split}
\ frac {d} {dt} (a_Iη^i) & =\ punto {A} _iη^i + a_i\ punto {η} ^i\\ [0.125 pulg]
& = (_ja_i)\ punto {} ^j η^i − η^j (_ja_i) f^ {ik} a_K)\\ [0.125in]
& = −η^i f^ {jk} (_ia_j − _ja_i) a_K\\ [0.125in]
& =\ frac {1} {2} η^i f^ {jk} [a_k (_ia_j − _ja_i) + a_J (_ka_i − _ia_k) + a_I (_ja_k − _ka_j)] +\ frac {1} {2} (A · η) f^ {jk} (_ja_k − ka_j)\\ [0.125in]
& =\ frac {1} {2} η^i f^ {jk} C_ {kij} +\ frac {1} {2} (A · η) f^ {ij} (_ia_j − _ja_I)
\ end {split}
\ end {ecuación}\ label { 9.1.26}\]

Esto se puede reescribir como

\[\frac{d}{dt} (A · η) - F (A · η) = -\frac{1}{2} (C_{kij}η^i f^{jk}) \label{9.1.27} \]

donde\(F = \frac{1}{2} f^{ij} (∂_iA_j − ∂_jA_i)\). El punto importante es que podemos elegir\(f^{ij}\), junto con una transformación de coordenadas si es necesario, tal que no\( C_{kij}η^i f^{jk} \) tenga componente a lo largo\(A_i\). Para ello, tenga en cuenta que

\[ C_{kij}η^i f^{jk} A_i = A^2F_{ij} − A_iA_kF_{kj} + A_jA_kF_{ki} f^{ij} \label{9.1.28}\]

donde\(F_{ij} = ∂_iA_j − ∂_jA_i\). Hay\(\frac{1}{2} n(n − 1)\) componentes para\(f^{ij}\), para los cuales tenemos una ecuación si nos ponemos\( C_{kij}η^i f^{jk} A_i\) a cero. Siempre podemos encontrar una solución; de hecho, hay muchas soluciones. Haciendo esta elección, no\( C_{kij}η^i f^{jk} \) tiene componente a lo largo\(A_i\), por lo que los componentes de\(η\) en el lado derecho de la Ecuación\ ref {9.1.27} son ortogonales a\(A_i\). Como se mencionó anteriormente, hay mucha libertad en cómo\(η\) se eligen estos componentes de. Una vez que se eligen, podemos integrar la Ecuación\ ref {9.1.27} para obtener\((A · η)\), el componente a lo largo\(A_i\). Integrando Ecuación\ ref {9.1.27}, obtenemos

\[A · η(1) = \int_0^1 dt \text{ exp} \left( \int_t^1 dt' F(t') \right) \left( \frac{1}{2} C_{kij}η^i f^{jk} \right) \]

Nosotros hemos elegido\(η(0) = 0\). Es importante que el lado derecho de la Ecuación\ ref {9.1.27} no implique\((A · η)\) para nosotros poder integrarnos así. Elegimos todos los componentes de\(η^i\) ortogonal\(A_i\) para ser tal que

\[ \epsilon η^i = \text{ coordinates of } P' \text{ orthogonal to } A \label{9.1.30} \]

Entonces elegimos\(f^{jk}\), si es necesario escalándolo, tal que\(A · η(1)\) en la Ecuación\ ref {9.1.30} da\(A_i(x_{P'} − x_P)^i\). Así, hemos demostrado que siempre podemos acceder a\(P'\) lo largo de una curva de solución. El único caso en el que fallaría el argumento es cuándo\(C_{ijk} = 0\). En este caso,\(A · η(1)\) como se calcula es cero y no tenemos ninguna garantía de igualar el componente del desplazamiento de\(P'\) a lo largo de la dirección de\(A_i\). Así, si hay puntos inaccesibles en el barrio de\(P\), entonces debemos tener\(C_{ijk} = 0\). En este caso, por el teorema anterior,\(A\) admite un factor integrador y podemos escribir\(A = T dS\) para algunas funciones\(T\) y\(S\) en el barrio de\(P\). Esto completa la prueba del teorema de Carateodory.