1.7: Problemas de ejercicio

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Dos cuerpos, con capacidades de calor independientes de la temperatura\(C_1\) y\(C_2\), y diferentes temperaturas iniciales\(T_1\) y\(T_2\), se colocan en un contacto térmico débil. Calcular el cambio de la entropía total del sistema antes de que alcance el equilibrio térmico.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Una porción de gas tiene las siguientes propiedades:

(i) su capacidad calorífica\(C_V = aT^b\), y

ii) el trabajo\(\mathscr{W}_T\) necesario para su compresión isotérmica de\(V_2\) a\(V_1\) iguales\(cT \ln (V_2/V_1)\),

donde\(a\),\(b\), y\(c\) son algunas constantes. Encontrar la ecuación de estado del gas, y calcular la dependencia de la temperatura de su entropía\(S\) y potenciales termodinámicos\(E\),\(H\),\(F\),\(G\), y\(\Omega\).

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Un volumen cerrado con un gas clásico ideal de moléculas similares se separa con una partición de tal manera que el número\(N\) de moléculas en cada parte es el mismo, pero sus volúmenes son diferentes. El gas se encuentra inicialmente en equilibrio térmico, y su presión en una parte está\(P_1\), y en la otra parte,\(P_2\). Calcular el cambio de entropía resultante de una rápida eliminación de la partición, y analizar el resultado.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Un gas clásico ideal de\(N\) partículas se limita inicialmente al volumen\(V\), y se encuentra en equilibrio térmico con un baño de calor de temperatura\(T\). Luego se permite que el gas se expanda al volumen\(V’ > V\) de una de las siguientes maneras:

(i) La expansión es lenta, de manera que debido al contacto térmico sostenido con el baño de calor, la temperatura del gas se mantiene igual a\(T\).

(ii) La partición que separa los volúmenes\(V\) y\((V’ –V)\) se retira muy rápido, permitiendo que el gas se expanda rápidamente.

Para cada proceso, calcule los eventuales cambios de presión, temperatura, energía y entropía del gas en su expansión.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Para un gas clásico ideal con calor específico independiente de la temperatura, deriva la relación entre\(P\) y\(V\) a una expansión/compresión adiabática.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Calcular la velocidad y la impedancia de onda de las ondas acústicas que se propagan en un gas clásico ideal con calor específico independiente de la temperatura, en los límites cuando la propagación puede tratarse como:

(i) un proceso isotérmico, y

(ii) un proceso adiabático.

¿Cuál de estos límites se logra a frecuencias de onda más altas?

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Como se discutirá en la Sec. 3.5, los llamados modelos “hardball” de interacción clásica de partículas producen la siguiente ecuación de estado de un gas de tales partículas:

\[P = T \phi (n), \nonumber\]

donde\(n = N/V\) está la densidad de partículas, y la función\(\phi (n)\) es generalmente diferente\(( \phi_{ideal}(n) = n)\) de la del gas ideal, pero aún independiente de la temperatura. Para un gas de este tipo, con temperatura independiente\(c_V\), calcule:

(i) la energía del gas, y

(ii) su presión\(n\) en función de la compresión adiabática.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Para un sistema termodinámico arbitrario con un número fijo de partículas, probar las siguientes cuatro relaciones Maxwell (ya mencionadas en la Sec. 4):

(i):\[\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} = \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V},\nonumber\]	ii):\[\left(\frac{\partial V}{\partial S}\right)_{P} = \left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{S},\nonumber\]
iii):\[\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P},\nonumber\]	iv):\[\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_{V} = -\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{S},\nonumber\]

y también la siguiente relación:

\[\left(\frac{\partial E}{\partial V}\right)_{T} = T\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} - P.\nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Expresar la diferencia de capacidad calorífica\(C_P – C_V\),, a través de la ecuación\(P = P(V, T)\) de estado del sistema.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\[\kappa_T \equiv - \frac{1}{V} \left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_{T,N}\nonumber\]

en un sistema monofásico puede expresarse de dos maneras diferentes:

\[\kappa_T = - \frac{V^2}{N^2} \left(\frac{\partial^2 P}{\partial \mu^2}\right)_{T} = \frac{V}{N^2} \left(\frac{\partial N}{\partial \mu}\right)_{T,V}. \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Un proceso reversible, realizado con una porción fija de un gas clásico ideal, puede representarse en el\([V, P]\) plano con la línea recta que se muestra en la figura a la derecha. Encuentre el punto en el que el flujo de calor de entra/salida del gas cambia su dirección.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Dos cuerpos tienen capacidades de calor iguales e independientes de la temperatura\(C\), pero diferentes temperaturas,\(T_1\) y\(T_2\). Calcular el trabajo mecánico máximo que se puede obtener de este sistema, utilizando un motor térmico.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Expresar la eficiencia\(\eta\) de un motor térmico que utiliza el llamado ciclo Joule, consistente en dos procesos adiabáticos y dos isobáricos (ver la figura de la derecha), a través de los valores mínimo y máximo de presión, y comparar el resultado con\(\eta_{Carnot}\). Asumir un gas de trabajo clásico ideal con temperatura independiente\(C_P\) y\(C_V\).

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Calcular la eficiencia de un motor térmico utilizando el ciclo Otto, ⁴⁷ que consta de dos procesos adiabáticos y dos isocóricos (volumen constante) reversibles — ver la figura a la derecha. Explore cómo la eficiencia depende de la relación\(r \equiv V_{max}/V_{min}\) y compárela con la eficiencia del ciclo Carnot. Asume un gas de trabajo clásico ideal con capacidad de calor independiente de la temperatura.

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)

El ciclo de un motor térmico consiste en dos procesos isotérmicos (\(T =\)const) y dos isocóricos (\(V =\)const) reversibles; vea la figura a la derecha. ⁴⁸

(i) Suponiendo que el gas de trabajo es un gas clásico ideal de\(N\) partículas, calcular el trabajo mecánico realizado por el motor durante un ciclo.

ii) ¿Son suficientes las condiciones especificadas para calcular la eficiencia del motor? (Justifica tu respuesta.)

Ejercicio\(\PageIndex{16}\)

El ciclo Diesel (un modelo aproximado del funcionamiento del motor de combustión interna Diesel) consta de dos procesos adiabáticos, un proceso isocórico y un proceso isobárico, ver la figura a la derecha. Asumiendo un gas de trabajo ideal con temperatura independiente\(C_V\) y\(C_P\), expresar la eficiencia\(\eta\) del motor térmico utilizando este ciclo a través de los valores de temperatura del gas en sus estados de transición correspondientes a las esquinas del diagrama de ciclo.

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Notas al pie

1. Para la lectura correctiva, puedo recomendar, por ejemplo (en orden alfabético): C. Kittel y H. Kroemer, Thermal Physics,\(2^{nd}\) ed., W. H. Freeman (1980); F. Reif, Fundamentos de la Física Estadística y Térmica, Waveland (2008); D. V. Schroeder, Introducción a Física Térmica, Addison Wesley (1999).
2. Aquí “interno” es un término (ciertamente suelto) que significa toda la física no relacionada con el movimiento del sistema en su conjunto. El ejemplo más importante de dinámica interna es el movimiento térmico de átomos y moléculas.
3. Esta es quizás mi mejor oportunidad para una mención reverente de Demócrito (circa 460-370 a.C.) —el genio griego antiguo que aparentemente fue el primero en conjeturar la estructura atómica de la materia.
4. Véase, por ejemplo, CM Capítulos 8 y 9.
5. Para probarlo, es suficiente integrar el producto escalar\(d\mathscr{W} = d\pmb{\mathscr{F}} \cdot d\mathbf{r}\), con\(d\pmb{\mathscr{F}} = –\mathbf{n}Pd^2r\), donde\(d\mathbf{r}\) está el vector de desplazamiento superficial (ver, por ejemplo, CM Sec. 7.1), y\(\mathbf{n}\) es la normal externa, sobre la superficie.
6. Véase, por ejemplo, CM Capítulos 2 y 10.
7. Algunos de mis alumnos necesitaban un esfuerzo para conciliar los signos positivos en las ecuaciones. (\(1.1.2-1.1.3\)) con el signo negativo en la conocida relación\(dU_k = –\pmb{\mathscr{E}}(\mathbf{r}_k)d \pmb{\mathcal{p}}_k\) para la energía potencial de un dipolo en un campo eléctrico externo — ver, e.g., Eq. EM. (3.15). La resolución de esta paradoja es simple: cada término de la Ecuación (\(1.1.3\)) describe el trabajo\(d\mathscr{W}_k\) del campo eléctrico sobre los grados internos de libertad del\(k^{th}\) dipolo, cambiando su energía interna\(E_k: dE_k = d\mathscr{W}_k\). Este cambio de energía puede verse como proveniente de la energía potencial del dipolo en el campo:\(dE_k = –dU_k\).
8. Aquí, como en todas mis series, estoy usando las unidades SI; para su traducción a las unidades gaussianas, tengo que referir al lector a la parte EM de la serie.
9. Tenga en cuenta que en los sistemas de partículas discretas, las fuerzas más generalizadas, incluyendo los campos\(\pmb{\mathscr{E}}\) y\(\pmb{\mathscr{H}}\), difieren de la presión\(P\) en el sentido de que su trabajo puede dividirse explícitamente en componentes de una sola partícula — ver Eqs. (\(1.1.3\)) y (\(1.1.5\)). Este hecho da cierta discreción para los cálculos basados en potenciales termodinámicos — ver Sec.4.
10. La noción de entropía fue introducida en la termodinámica en 1865 por Rudolf Julius Emanuel Clausius sobre una base puramente fenomenológica. A falta de una pista sobre el origen microscópico de la entropía (que tuvo que esperar las obras de L. Boltzmann y J. Maxwell), este fue un logro intelectual increíble.
11. Debido a eso, la posibilidad del comportamiento macroscópico irreversible de los sistemas microscópicamente reversibles fue cuestionada por algunos científicos serios tan recientemente como a finales del\(19^{th}\) siglo, especialmente por J. Loschmidt en 1876.
12. Si bien los efectos cuántico-mecánicos, con su incertidumbre intrínseca, pueden ser cuantitativamente importantes en este ejemplo, nuestra discusión cualitativa no depende de ellos. Otro ejemplo clásico es el movimiento caótico de una pelota sobre un billar Sinaí 2D — ver CM Capítulo 9 y en particular Figura 9.8 y su discusión.
13. Varias otras cantidades, por ejemplo la capacidad calorífica\(C\), pueden calcularse como derivadas parciales de las variables básicas discutidas anteriormente. También, en ciertas condiciones, el número de partículas\(N\) en un determinado sistema puede no ser fijo y también considerarse como una variable (extensa) — ver Sec. 5 a continuación.
14. Es cierto que algunas de estas pruebas se basan en otros postulados plausibles pero más profundos, por ejemplo la hipótesis estadística central (Sec. 2.2), cuya mejor prueba, a mi entender, es solo todo el cuerpo de datos experimentales.
15. Implícitamente, esta afirmación postula también la existencia, en un sistema cerrado, de equilibrio termodinámico, un estado asintóticamente alcanzado en el que todas las variables macroscópicas, incluida la entropía, permanecen constantes. A veces a este postulado se le llama la\(0^{th}\) ley de la termodinámica.
16. Dos formulaciones iniciales de esta ley, posteriormente probadas equivalentes, fueron presentadas independientemente por Lord Kelvin (nacido William Thomson) en 1851 y por Rudolf Clausius en 1854.
17. Aquí dependemos fuertemente de un aspecto muy importante (y posiblemente el menos intuitivo) de la\(2^{nd}\) ley, a saber, que la entropía es una medida única de desorden.
18. Aquí tengo que mencionar una unidad tradicional de energía térmica, la caloría, aún siendo utilizada en algunos campos aplicados. En la definición moderna más común (como la llamada caloría termoquímica) equivale exactamente a 4.148 J.
19. Para conocer los valores más exactos de esta y otras constantes, consulte el apéndice CA: Constantes físicas seleccionadas. Tenga en cuenta que ambos\(T\) y\(T_K\) definen la escala absoluta natural (también llamada “termodinámica”) de temperatura, desapareciendo en el mismo punto — en contraste con escalas artificiales tales como los grados Celsius (“centígrados”), definidos como\(T_C \equiv T_K + 273.15\), o los grados Fahrenheit: \(T_F \equiv (9/5)T_C + 32\).
20. Históricamente, tal noción fue inicialmente cualitativa —así como algo que distingue “caliente” de “frío”. Después de la invención de los termómetros (el primero de Galileo Galilei en 1592), basados principalmente en la expansión térmica de fluidos, esta noción se había vuelto cuantitativa pero no muy profunda: entendiéndose como algo “lo que mide el termómetro” —hasta su sentido físico como medida de la intensidad del movimiento térmico, fue revelado en el\(19^{th}\) siglo.
21. Permítanme recalcar nuevamente que cualquier proceso adiabático es reversible, pero no al revés.
22. Dicha conservación, expresada por las Eq. (\(1.3.5\)) - (\(1.3.6\)), comúnmente se llama la\(1^{st}\) ley de la termodinámica. Si bien (a diferencia de la\(2^{nd}\) ley) no presenta ninguna nueva ley de la naturaleza, y en particular ya se utilizó de facto para escribir la primera de las Eq. (\(1.2.2\)) y también Ecuación (\(1.3.1\)), tal gran nombre estaba absolutamente justificado en el\(19^{th}\) siglo en que la naturaleza mecánica de la energía interna (el movimiento térmico) no estaba del todo clara. En este contexto, los nombres de tres científicos, Benjamin Thompson (quien dio, en 1799, argumentos convincentes de que el calor no puede ser otra cosa que una forma de movimiento de partículas), Julius Robert von Mayer (quien conjeturó la conservación de la suma de las energías mecánicas térmicas y macroscópicas en 1841) y James Prescott Joule (quien probó experimentalmente esta conservación dos años después), tiene que ser mencionado con reverencia.
23. En realidad, la\(3^{rd}\) ley (también llamada teorema de Nernst) como postuló Walter Hermann Nernst en 1912 era diferente —y realmente significativa: “Es imposible que cualquier procedimiento conduzca a la isoterma\(T = 0\) en un número finito de pasos”. Discutiré este teorema al final de la Sec. 6.
24. Por esta definición, la capacidad calorífica total de un sistema es una variable extensa, pero puede ser utilizada para formar variables tan intensivas como la capacidad calorífica por partícula, llamada la capacidad calorífica específica, o simplemente el calor específico. (Tenga en cuenta que los últimos términos son bastante ambiguos: se utilizan para la capacidad calorífica por unidad de masa, por unidad de volumen, y a veces incluso para la capacidad calorífica del sistema en su conjunto, por lo que hay cierta precaución en orden.)
25. Dividiendo ambos lados de la Ecuación (\(1.3.6\)) por\(dT\), obtenemos la relación general\(dQ/dT = TdS/dT\), que puede ser utilizada para reescribir las definiciones (\(1.3.9\)) y (\(1.3.10\)) en las siguientes formas:\[C_V = T \left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)_V, \quad C_P = T \left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)_P, \nonumber\] más conveniente para algunas aplicaciones.
26. Desde el punto de vista de las matemáticas, la Ecuación (\(1.4.4\)) es un caso particular de las llamadas transformaciones de Legendre.
27. Esta función (así como la energía libre de Gibbs\(G\), ver más adelante), había sido introducida en 1875 por J. Gibbs, aunque el término “entalpía” fue acuñado (mucho más tarde) por H. Onnes.
28. Fue nombrado en honor a Hermann von Helmholtz (1821-1894). El último de los términos enumerados para\(F\) fue recomendado por la decisión más reciente (1988) de la IUPAC, pero voy a usar el primer término, que prevalece es la literatura física. El origen del adjetivo “libre” deriva de la Ecuación (\(1.4.9\)):\(F\) se puede interpretar como la parte de la energía interna que es “libre” para ser transferida a la obra mecánica, en el proceso (más común) reversible, isotérmico.
29. Obsérvese la similitud de esta situación con la mecánica analítica (ver, por ejemplo, CM Capítulos 2 y 10): la función Lagrangiana puede ser utilizada para derivar las ecuaciones de movimiento si se expresa como una función de coordenadas generalizadas y sus velocidades, mientras que para usar la función hamiltoniana en de manera similar, tiene que expresarse en función de las coordenadas generalizadas y los momentos correspondientes.
30. También hay una gran cantidad de otras relaciones entre las variables termodinámicas que pueden representarse como segundas derivadas de los potenciales termodinámicos, incluyendo cuatro relaciones Maxwell como\((\partial S/\partial V)_T = (\partial P/\partial T)_V\), etc. (Se pueden recuperar fácilmente de la propiedad bien conocida de una función de dos argumentos independientes, digamos,\(f(x, y): \partial (\partial f/\partial x)/\partial y = \partial (\partial f/\partial y)/\partial x.)\) En este capítulo, enumeraré solo las relaciones termodinámicas que se utilizarán más adelante en el curso; se puede encontrar una lista más completa, e.g., en la Sec. 16 del libro de L. Landau y E. Lifshitz, Statistical Physics, Part 1,\(3^{rd}\) ed., Pergamon, 1980 (y sus posteriores reimpresiones).
31. Existen algunos sistemas practicables, entre los que destacan los llamados refrigeradores magnéticos adiabáticos (que se discutirán en el Capítulo 2), donde el crecimiento involuntario de\(S\) es tan lento que la condición\(S =\) const puede ser abordada de cerca.
32. Es conveniente describirlo como la diferencia entre la energía potencial “habitual” (interna)\(U\) del sistema y su “energía potencial Gibbs”\(U_G\) — ver CM Sec. 1.4. Para los lectores que se saltaron esa discusión: mi mascota ejemplo es el resorte elástico habitual con\(U = kx^{2}/2\), bajo el efecto de una fuerza externa\(\mathscr{F}\), cuya posición de equilibrio\((x_0 = \mathscr{F}/k)\) evidentemente corresponde al mínimo de\(U_G = U – \mathscr{F}_x\), en lugar de solo\(U\).
33. Un ejemplo de tal situación extrema es el caso cuando se aplica un campo\(\pmb{\mathscr{H}}\) magnético externo a un superconductor en su llamado estado intermedio, en el que la muestra se divide en dominios de la fase “normal” con\(\pmb{\mathscr{B}} = \mu_0\pmb{\mathscr{H}}\), y la fase superconductora con\(\pmb{\mathscr{B}} = 0\). En este caso, el campo se aplica efectivamente a las interfaces entre los dominios, de manera muy similar a la presión mecánica aplicada a una porción de gas a través de un pistón — ver Figura\(1.1.1\) nuevamente.
34. La larga historia del descubrimiento gradual de esta relación incluye la obra muy temprana (circa 1662) de R. Boyle y R. Townely, seguida de contribuciones de H. Power, E. Mariotte, J. Charles, J. Dalton y J. Gay-Lussac. Fue formulado completamente por Benoît Paul Émile Clapeyron en 1834, en la forma\(PV = nRT_K\), donde\(n\) está el número de moles en la muestra de gas, y\(R \approx 8.31\) J/mol\(\cdot\) K es la llamada constante de gas. Esta forma es equivalente a la Ecuación (\(1.4.21\)), tomando en cuenta que\(R \equiv k_BN_A\), donde\(N_A = 6.022\)\(140\)\(76 \times 10^{23}\) mol\(^{-1}\) es el número de Avogadro, es decir, el número de moléculas por mol. (Por definición del topo,\(N_A\) es solo la masa recíproca, en gramos, de la\(1/12^{th}\) parte del átomo de\(^{12}\) C, que está cerca de la masa de un protón o neutrón — ver Apéndice CA: Constantes Físicas Seleccionadas.) Históricamente, esta ecuación de estado fue el principal argumento para la introducción de la temperatura absoluta\(T\), pues sólo con ella, la ecuación adquiere la forma espectacularmente simple (\(1.4.21\)).
35. Obsérvese que la Ecuación (\(1.4.24\)), en particular, describe una propiedad muy importante del gas clásico ideal: su energía depende únicamente de la temperatura (y del número de partículas), pero no del volumen o la presión.
36. Obsérvese, sin embargo, que la diferencia\(C_P – C_V = N\) es independiente de\(f(T)\). (Si la temperatura se mide en kelvin, esta relación toma una forma más familiar)\(C_P – C_V = nR\). Es sencillo (y por lo tanto se deja para el ejercicio del lector) demostrar que la diferencia\(C_P – C_V\) de cualquier sistema está totalmente determinada por su ecuación de estado.
37. Otro ejemplo importante es un gas en contacto con el líquido de superficie abierta de moléculas similares.
38. Este nombre, de origen histórico, es engañoso: como se desprende de la Ecuación (\(1.5.1\)),\(\mu\) tiene un claro sentido físico del costo promedio de energía de agregar una partícula más al sistema de\(N >> 1\) partículas.
39. Tenga en cuenta que estrictamente hablando, Eqs. (\(1.2.6\)), (\(1.3.2\)), (\(1.4.8\)), (\(1.4.12\)). y (\(1.4.16\)) debería generalizarse ahora sumando otro índice inferior,\(N\), a las derivadas correspondientes; solo voy a dar a entender esto.
40. Todo el campo de la termodinámica fue estimulado por la famosa obra de 1824 de Nicolas Léonard Sadi Carnot, en la que, en particular, dio una forma alternativa, indirecta, de la\(2^{nd}\) ley de la termodinámica —véase más adelante.
41. Curiosamente, S. Carnot derivó su resultado clave aún creyendo que el calor es algún fluido específico (“calórico”), cuyo flujo es impulsado por la diferencia de temperatura, en lugar de solo una forma de movimiento de partículas.
42. Semicuantitativamente, dicha tendencia es válida también para otros ciclos de motores térmicos menos eficientes pero más practicables — ver Problemas 13-16. Esta tendencia es la principal razón por la que los motores\(T_H\) de combustión interna, con del orden de 1,500 K, son más eficientes que los motores de vapor, con la diferencia\(T_H – T_L\) de como mucho unos cientos de K.
43. En algunos sistemas axiomáticos alternativos de la termodinámica, este hecho se postula y cumple el papel de la\(2^{nd}\) ley. Es por ello que se encuentra bajo ataques persistentes (dominantemente, teóricos) por sugerencias de motores térmicos más eficientes —recientemente, principalmente de sistemas cuánticos que utilizan protocolos sofisticados como el llamado atajo a la adiabaticidad — véase, por ejemplo, el reciente artículo de O. Abah y E. Lutz, Eurofísica 118, 40005 (2017), y referencias en los mismos. A mi leal saber y entender, los análisis confiables de todas las sugerencias presentadas hasta ahora han confirmado que la eficiencia de Carnot (\(1.6.6\)) es la más alta posible incluso en sistemas cuánticos.
44. Tal hipotético motor térmico, que violaría la\(2^{nd}\) ley de la termodinámica, se llama la “máquina de movimiento perpetuo del\(2^{nd}\) tipo” —en contraste con cualquier (también hipotética) “máquina de movimiento perpetuo del\(1^{st}\) tipo” que violaría la\(1^{st}\) ley, es decir, la energía conservación.
45. Tenga en cuenta que para sistemas metaestables como las gafas la situación puede ser más complicada. (Para una discusión detallada de este número véase, por ejemplo, J. Wilks, The Third Law of Thermodynamics, Oxford U. Press, 1961.) Afortunadamente, este tema no afecta a otros aspectos de la física estadística —al menos los que se discutirán en este curso.
46. Tenga en cuenta que la compresibilidad es solo el módulo de volumen recíproco,\(\kappa = 1/K\) — véase, por ejemplo, CM Sec. 7.3.
47. Este nombre se deriva del hecho de que el ciclo es un modelo aproximado de funcionamiento del motor de combustión interna de cuatro tiempos, el cual fue mejorado y hecho practicable (¡aunque no inventado!) de N. Otto en 1876.
48. El ciclo invertido de este tipo es una aproximación razonable para el funcionamiento de los refrigeradores Stirling y Gifford McMahon (GM), ampliamente utilizados para crioenfriamiento — para una revisión reciente ver, e.g., A. de Waele, J. Low Temp. Phys. 164, 179 (2011).