1.6: Máquinas térmicas

Para completar esta breve reseña de la termodinámica, no puedo pasar por completo el tema de las máquinas térmicas —no porque se vaya a utilizar mucho en este curso, sino sobre todo por su significación práctica e histórica. ⁴⁰ La figura\(\PageIndex{1a}\) muestra el esquema genérico de una máquina térmica que puede realizar trabajos mecánicos en su entorno (en nuestra notación, igual a\(-\mathscr{W}\)) durante cada ciclo de expansión/compresión de algún “gas de trabajo”, mediante la transferencia de diferentes cantidades de calor de un calor a alta temperatura baño (\(Q_H\)) y al baño de baja temperatura (\(Q_L\)).

Figura\(\PageIndex{1}\): (a) La implementación más simple de una máquina térmica, y (b) la representación gráfica del trabajo mecánico que realiza. En el panel (b), la flecha sólida indica la dirección del ciclo del motor térmico, mientras que la flecha discontinua, la dirección del ciclo del refrigerador.

Una relación entre las tres cantidades\(Q_H\),\(Q_L\), y\(\mathscr{W}\) viene dada inmediatamente por la conservación de energía (es decir, por la\(1^{st}\) ley de la termodinámica):

\[ Q_H − Q_L = −\mathscr{W} . \label{63}\]

A partir de la ecuación (\(1.1.1\)), el trabajo mecánico durante el ciclo puede calcularse como

\[ −\mathscr{W} = \oint PdV , \label{64}\]

y por lo tanto representado por el área eludida por el punto que representa el estado en el\([P, V]\) plano — ver Figura\(\PageIndex{1b}\). Obsérvese que el signo de esta integral circular depende de la dirección de rotación del punto; en particular, el trabajo (\(–\mathscr{W}\)) realizado por el gas de trabajo es positivo en su rotación en sentido horario (pertinente para calentar motores) y negativo en el caso contrario (implementado en refrigeradores y bombas de calor — ver abajo). Evidentemente, el trabajo depende de la forma exacta del ciclo, que a su vez puede depender no sólo de\(T_H\) y\(T_L\), sino también de las propiedades del gas de trabajo.

Una excepción a esta regla es el famoso ciclo Carnot, que consiste en dos procesos isotérmicos y dos adiabáticos (¡todos reversibles!). En su forma de motor térmico, el ciclo puede comenzar, por ejemplo, a partir de una expansión isotérmica del gas de trabajo en contacto con el baño caliente (es decir, at\(T = T_H\)). Le sigue su expansión adiabática adicional (con el gas desconectado de ambos baños de calor) hasta que su temperatura baje a\(T_L\). Después se realiza una compresión isotérmica del gas en su contacto con el baño frío (at\(T = T_L\)), seguida de su compresión adiabática adicional\(T\) para elevarlo de\(T_H\) nuevo, después de lo cual el ciclo se repite una y otra vez. Tenga en cuenta que durante este ciclo el gas de trabajo nunca está en contacto con ambos baños de calor simultáneamente, evitando así la transferencia irreversible de calor entre ellos. La forma del ciclo en el\([V, P]\) plano (Figura\(\PageIndex{2a}\)) depende de las propiedades exactas del gas de trabajo y puede ser bastante complicada. Sin embargo, dado que la entropía del sistema es constante en cualquier proceso adiabático, la forma del ciclo de Carnot en el\([S, T]\) plano es siempre rectangular — ver Figura\(\PageIndex{2b}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Representación del ciclo de Carnot: (a) en el\([V, P]\) plano (esquemáticamente), y (b) en el\([S, T]\) plano. El significado de las flechas es el mismo que en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Dado que durante cada isoterma, el gas de trabajo se pone en contacto térmico solo con el baño térmico correspondiente, es decir, su temperatura es constante, la relación (\(1.3.6\))\(dQ = TdS\), puede integrarse inmediatamente para producir

\[Q_H = T_H (S_2-S_1), \quad Q_L=T_L(S_2-S_1). \label{65}\]

Por lo tanto, la relación de estos dos flujos de calor está completamente determinada por su relación de temperatura:

\[\frac{Q_H}{Q_L} = \frac{T_H}{T_L}, \label{66}\]

Eficiencia del motor térmico: definición

\[\boxed{\eta \equiv \frac{|\mathscr{W}|}{Q_H} = \frac{Q_H-Q_L}{Q_H} \equiv 1 - \frac{Q_L}{Q_H} \leq 1.} \label{67}\]

Eficiencia del ciclo Carnot:

\[\boxed{ \eta_{Carnot} - 1 - \frac{T_L}{T_H},} \label{68}\]

lo que muestra que a una determinada\(T_L\) (es decir, típicamente la temperatura ambiente\(\sim 300\) K), la eficiencia puede aumentarse, en última instancia, a 1, elevando la temperatura\(T_H\) de la fuente de calor. ⁴²

Por otro lado, si el ciclo se invierte (ver las flechas discontinuas en las Figs. \(\PageIndex{1}\)y\(\PageIndex{2}\)), la misma máquina térmica puede servir como refrigerador, proporcionando la eliminación de calor del baño de baja temperatura (\(Q_L < 0\)) a costa de consumir trabajo mecánico externo:\(\mathscr{W} > 0\). Esta inversión no afecta la relación básica (\ ref {63}), que ahora puede ser utilizada para calcular la figura de mérito relevante, denominada coeficiente de rendimiento de enfriamiento (\(COP_{cooling}\)):

\[COP_{cooling} \equiv \frac{|Q_L|}{\mathscr{W}} = \frac{Q_L}{Q_H-Q_L}. \label{69}\]

Observe que este coeficiente puede estar por encima de la unidad; en particular, para el ciclo Carnot podemos usar la ecuación (\ ref {66}) (que tampoco se ve afectada por la inversión del ciclo) para obtener

\[(COP_{cooling})_{Carnot} = \frac{T_L}{T_H-T_L}, \label{70}\]

de manera que este valor sea mayor que 1 at\(T_H < 2T_L\), e incluso puede ser mucho mayor que eso cuando la diferencia de temperatura (\(T_H – T_L\)) sostenida por el refrigerador, tiende a cero. Por ejemplo, en un sistema de aire acondicionado típico, esta diferencia es del orden de 10 K, mientras que\(T_L \sim 300\) K, de manera que (\(T_H – T_L) \sim T_L/30\), es decir, el valor de Carnot de\(COP_{cooling}\) es tan alto como\(\sim 30\). (En los sistemas HVAC comerciales de última generación se encuentra dentro del rango de 3 a 4.) Es por ello que el término “eficiencia de enfriamiento”, utilizado en algunos libros de texto en vez de\((COP)_{cooling}\), puede ser engañoso.

Dado que en el ciclo invertido\(Q_H = –\mathscr{W} + Q_L < 0\), es decir, el sistema proporciona flujo de calor al baño de calor de alta temperatura, se puede usar como bomba de calor para fines de calentamiento. La figura de mérito apropiada para esta aplicación es diferente de la Ecuación (\ ref {69}):

\[COP_{heating} \equiv \frac{|Q_H|}{\mathscr{W}} = \frac{Q_H}{Q_H - Q_L}, \label{71}\]

para que para el ciclo Carnot, usando de nuevo la Ecuación (\ ref {66}), obtengamos

\[(COP_{heating})_{Carnot} = \frac{T_H}{T_H-T_L}. \label{72}\]

Tenga en cuenta que esto siempre\(COP\) es mayor que 1, lo que significa que la bomba de calor Carnot siempre es más eficiente que la conversión directa del trabajo en calor (cuando\(Q_H = –\mathscr{W}\), de modo que\(COP_{heating}\) = 1), aunque las prácticas bombas de calor impulsadas por electricidad son sustancialmente más complejas y, por lo tanto, más caras que calentadores eléctricos simples. Dichas bombas de calor, con\(COP_{heating}\) valores típicos alrededor de 4 en verano y 2 en invierno, se utilizan frecuentemente para calentar grandes edificios.

Por último, señalar que según la Ecuación (\ ref {70}), el\(COP_{cooling}\) del ciclo Carnot tiende a cero at\(T_L \rightarrow 0\), haciendo imposible alcanzar el cero absoluto de temperatura, y de ahí ilustrar la formulación significativa (de Nernst) de la\(3^{rd}\) ley de la termodinámica, citada en la Sec. 3. En efecto, prescribamos una capacidad calorífica finita pero muy grande\(C(T)\) al baño de baja temperatura, y utilicemos la definición de esta variable para escribir la siguiente expresión para el cambio relativamente pequeño de su temperatura como resultado de dn ciclos de refrigeración similares:

\[C(T_L)dT_L = Q_L dn. \label{73}\]

Junto con la ecuación (\ ref {66}), esta relación rinde

\[\frac{C(T_L)dT_L}{T_L} = - \frac{|Q_H|}{T_H}dn. \label{74}\]

Si\(T_L \rightarrow 0\), para eso\(T_H >>T_L\) y\(| Q_H | \approx –\mathscr{W} =\) const, el lado derecho de esta ecuación no depende\(T_L\), de manera que si la integramos a lo largo de muchos (\(n >> 1\)) ciclos, obteniendo la siguiente relación simple entre los valores inicial y final de\(T_L\):

\[\int^{T_{fin}}_{T_{ini}} \frac{C(T)dT}{T} = - \frac{|Q_H|}{T_H}n. \label{75}\]

Por ejemplo, si\(C(T)\) es una constante, la ecuación (\ ref {75}) produce una ley exponencial,

\[T_{fin} = T_{ini} exp\left\{ - \frac{|Q_H|}{CT_H}n\right\}, \label{76}\]

con el cero absoluto de temperatura no alcanzado como ningún finito\(n\). Incluso para una función arbitraria\(C(T)\) que no desaparece en\(T \rightarrow 0\), Ecuación (\ ref {74}) prueba el teorema de Nernst, porque dn diverge en\(T_L \rightarrow 0\). ⁴⁵