6.2: La ley Ohm y la fórmula Drude

A pesar de sus deficiencias, la ecuación (\(6.1.18\)) es adecuada para bastantes aplicaciones. Quizás el más importante de ellos es derivar la ley de Ohm para corriente continua en un gas “casi ideal” de partículas cargadas, cuya única desviación importante de la idealidad son los raros efectos de dispersión descritos por la Ecuación (\(6.1.17\)). Como resultado, en equilibrio se describe por la probabilidad estacionaria\(w_0\) de un gas ideal (ver Sec. 3.1):

\[w_0 (\mathbf{r},\mathbf{p},t) = \frac{g}{(2\pi \hbar )^3} \langle N(\varepsilon )\rangle , \label{19}\]

donde\(g\) está el factor de degeneración interna (digamos,\(g = 2\) para los electrones debido a su espín), y\(\langle N(\varepsilon )\rangle\) es la ocupación promedio de un estado cuántico con impulso\(\mathbf{p}\), que obedece ya sea a la distribución Fermi-Dirac o a la distribución de Bose Einstein:

\[\langle N (\varepsilon )\rangle = \frac{1}{\exp\{(\varepsilon - \mu ) / T \} \pm 1} , \quad \varepsilon = \varepsilon (\mathbf{p} ). \label{20}\]

(Los siguientes cálculos serán válidos, hasta cierto punto, para ambas estadísticas y por tanto, en el límite\(\mu /T \rightarrow –\infty \), para un gas clásico también.)

Ahora deja que\(\pmb{\mathscr{E}}\) se aplique un campo eléctrico dc uniforme al gas de partículas con carga eléctrica\(q\), ejerciendo fuerza\(\pmb{\mathscr{F}} = q\pmb{\mathscr{E}}\) sobre cada una de ellas. Entonces la solución estacionaria a la Ecuación (\(6.1.18\)), con\(\partial /\partial t = 0\), también debe ser estacionaria y espacialmente uniforme\((\nabla_r = 0)\), de manera que esta ecuación se reduzca a

\[q\pmb{\mathscr{E}} \cdot \nabla_p w = -\frac{\tilde{w}}{\tau}. \label{21}\]

Exijamos que el campo eléctrico sea relativamente bajo, de manera que la perturbación que produce\(\tilde{w}\) sea relativamente pequeña, como lo exige nuestra suposición básica (\(6.1.16\)). ¹¹ Entonces en el lado izquierdo de la Ecuación (\ ref {21}), podemos descuidar esa perturbación,\(w\) reemplazando por\(w_0\), porque ese lado ya tiene un factor pequeño\((\pmb{\mathscr{E}})\). Como resultado, esta ecuación arroja

\[\tilde{w} = - \tau q \pmb{\mathscr{E}} \cdot \nabla_p w_0 \equiv - \tau q \pmb{\mathscr{E}} \cdot (\nabla_p \varepsilon ) \frac{\partial w_0}{\partial \varepsilon} , \label{22}\]

donde el segundo paso implica la isotropía de los parámetros\(\mu\) y\(T\), es decir, su independencia de la dirección del momento de la partícula\(\mathbf{p}\). Pero el gradiente no\(\nabla_p \varepsilon\) es otra cosa que la velocidad de la partícula\(\mathbf{v}\) —para una partícula cuántica, su velocidad de grupo. ¹² (Este hecho es fácil de verificar para la ley de dispersión isotrópica y parabólica, pertinente a las partículas clásicas que se mueven en el espacio libre,

\[\varepsilon (\mathbf{p} ) = \frac{p^2}{2m} \equiv \frac{p^2_1 + p^2_2 +p^2_3}{2m}. \label{23}\]

En efecto, en este caso, los componentes\(j^{th}\) cartesianos del vector\(\nabla_p\varepsilon\) son

\[(\nabla_p \varepsilon )_j \equiv \frac{\partial \varepsilon}{\partial p_j } = \frac{p_j}{m} = v _j, \label{24}\]

para que\(\nabla_p \varepsilon = \mathbf{v}\).) Por lo tanto, la ecuación (\ ref {22}) puede reescribirse como

\[\tilde{w} = -\tau q \pmb{\mathscr{E}} \cdot \mathbf{v} \frac{\partial w_0}{\partial \varepsilon}.\label{25}\]

Usemos este resultado para calcular la densidad de corriente eléctrica\(\mathbf{j}\). La contribución de cada partícula a la densidad de corriente es\(q\mathbf{v}\) para que la densidad total sea

\[\mathbf{j} = \int q \mathbf{v} wd^3 p \equiv q \int \mathbf{v} (w_0 + \tilde{w})d^3 p. \label{26}\]

Ya que en el estado de equilibrio (con\(w = w_0\)), la corriente tiene que ser cero, la integral del primer término entre paréntesis tiene que desvanecerse. Para la integral del segundo término, enchufando la ecuación (\ ref {25}), y luego usando la ecuación (\ ref {19}), obtenemos

Resultado de la teoría de Sommerfeld:

\[\boxed{ \mathbf{j} = q^2 \tau \int \mathbf{v} (\pmb{\mathscr{E}} \cdot \mathbf{v} ) \left(- \frac{\partial w_0}{\partial \varepsilon} \right) d^3 p = \frac{qg^2 \tau}{(2\pi \hbar )^3} \int \mathbf{v} (\pmb{\mathscr{E}} \cdot \mathbf{v}) \left[ - \frac{\partial \langle N(\varepsilon )\rangle}{\partial \varepsilon}\right] d^2 p_{\perp} dp_{\parallel}, } \label{27}\]

donde\(d^2p_{\perp}\) está el área elemental de la superficie de energía constante en el espacio de impulso, mientras que\(dp_{\parallel}\) es el componente del diferencial de impulso normal a esa superficie. El poder real de este resultado ¹³ es que es válido incluso para partículas con una ley de dispersión arbitraria\(\varepsilon (\mathbf{p})\) (que puede ser bastante complicada, por ejemplo, para partículas que se mueven en potenciales espacio-periódicos ¹⁴), y da, en particular, una descripción justa de la conductividad anisotropía en cristales.

Para las partículas libres cuya ley de dispersión es isotrópica y parabólica, como en la Ecuación (\ ref {23}), la superficie de energía constante es una esfera de radio\(p\), de modo que\(d^2p_{\perp} = p^2d\Omega = p^2 \sin\theta d\theta d\varphi \), mientras\(dp_{\parallel} = dp\). En las coordenadas esféricas, con el eje polar dirigido a lo largo del vector de campo eléctrico\(\pmb{\mathscr{E}}\), obtenemos\((\pmb{\mathscr{E}} \cdot \mathbf{v}) = \mathscr{E} v \cos\theta \). Ahora separando el vector\(\mathbf{v}\) fuera de los paréntesis en el componente\(v \cos\theta\) dirigido a lo largo del vector\(\pmb{\mathscr{E}}\),\(v \sin\theta \cos\varphi\) y dos componentes perpendiculares\(v\sin\theta \sin\varphi \), y, vemos que las integrales de los dos últimos componentes sobre el ángulo\(\varphi\) dan cero. De ahí que, como cabría esperar, en el caso isotrópico la corriente neta se dirige a lo largo del campo eléctrico y obedece a la ley lineal de Ohm,

Ley de ohmios:

\[\boxed{\mathbf{j} = \sigma \pmb{\mathscr{E}} ,} \label{28}\]

\[\sigma = \frac{gq^2 \tau}{(2\pi \hbar )^3} \int^{2\pi}_0 d \varphi \int^{\pi}_0 \sin \theta d \theta \cos^2 \theta \int^{\infty}_0 p^2 dp v^2 \left[-\frac{\partial \langle N (\varepsilon ) \rangle }{\partial \varepsilon} \right]. \label{29}\]

(Tenga en cuenta que\(\sigma\) es proporcional\(q^2\) y por lo tanto no depende del signo de carga de partículas. ¹⁶)

Ya que\(\sin\theta d\theta\) es justo\(–d(\cos\theta )\), la integral sobre\(\theta\) es igual (2/3). El final integral\(d\varphi\) es, por supuesto\(2\pi \), justo, mientras que ese sobre\(p\) puede transformarse fácilmente en uno sobre la energía de la partícula\(\varepsilon (\mathbf{p}) = p^2/2m: p^2 = 2m\varepsilon , v^2 = 2\varepsilon /m, p = (2m\varepsilon )^{1/2}\), de modo que\(dp = (m/2\varepsilon )^{1/2}d\varepsilon \), y\(p^2dpv^2 = (2m\varepsilon )(m/2\varepsilon )^{1/2}d\varepsilon (2\varepsilon /m) \equiv (8m\varepsilon^3)^{1/2}d\varepsilon \). Como resultado, la conductividad es igual a

\[\sigma = \frac{gq^2 \tau}{(2\pi \hbar )^3 }\frac{4\pi}{3} \int^{\infty}_0 (8m\varepsilon^3 )^{1/2} \left[ - \frac{\partial \langle N (\varepsilon ) \rangle }{\partial \varepsilon} \right] d \varepsilon . \label{30}\]

Ahora podemos elaborar la integral en Ecuación (\ ref {30}) por partes, primero reescribiendo\([-\partial \langle N(\varepsilon )\rangle /\partial \varepsilon ]d\varepsilon\) como\(–d[\langle N(\varepsilon )\rangle ].\) Debido a la rápida (exponencial) decaimiento del factor\(\langle N(\varepsilon )\rangle\) at\(\varepsilon \rightarrow \infty \), su producto por el factor\((8m\varepsilon^3)^{1/2}\) desaparece en ambos límites de integración, y obtenemos

\[\begin{align} \sigma &=\frac{g q^{2} \tau}{(2 \pi h)^{3}} \frac{4 \pi}{3} \int_{0}^{\infty}\langle N(\varepsilon)\rangle d\left[\left(8 m \varepsilon^{3}\right)^{1 / 2}\right] \equiv \frac{g q^{2} \tau}{(2 \pi h)^{3}} \frac{4 \pi}{3}(8 m)^{1 / 2} \int_{0}^{\infty}\langle N(\varepsilon)\rangle \frac{3}{2} \varepsilon^{1 / 2} d \varepsilon \nonumber \\ & \equiv \frac{q^{2} \tau}{m} \times \frac{g m^{3 / 2}}{\sqrt{2} \pi^{2} \hbar^{3}} \int_{0}^{\infty}\langle N(\varepsilon)\rangle \varepsilon^{1 / 2} d \varepsilon . \label{31} \end{align}\]

Fórmula Drude:

\[\boxed{\sigma = \frac{q^2 \tau}{m} n, } \label{32}\]

que debería ser bien familiar para el lector de un curso de licenciatura en física.

Como recordatorio, aquí está su simple derivación clásica. ¹⁸\(2\tau\) Sea el intervalo de tiempo promedio entre dos eventos de dispersión secuenciales que hacen que una partícula pierda el componente determinista de su velocidad\(\mathbf{v}_{drift}\), proporcionado por el campo eléctrico\(\pmb{\mathscr{E}}\) en la parte superior del movimiento térmico aleatorio de la partícula, lo que no contribuye a la corriente neta. Usando la ley de\(2^{nd}\) Newton para describir la aceleración de partículas por el campo\(d\mathbf{v}_{drift}/dt = q\pmb{\mathscr{E}}/m\),, obtenemos\(\langle \mathbf{v}_{drift}\rangle = \tau q\pmb{\mathscr{E}}/m\). Multiplicando este resultado por la carga\(q\) y densidad de la partícula\(n \equiv N/V\), obtenemos la ley Ohm\(\mathbf{j} = \sigma \pmb{\mathscr{E}}\), con\(\sigma\) dada por la Ecuación (\ ref {32}).

La derivación de Sommerfeld de la fórmula Drude plantea una importante cuestión conceptual. La estructura de la Ecuación (\ ref {30}) implica que los únicos estados cuánticos que contribuyen a la conductividad eléctrica son aquellos cuya derivada\([-\partial \langle N(\varepsilon )\rangle /\partial \varepsilon ]\) es significativa. Para las partículas de Fermi como los electrones, en el límite\(T << \varepsilon_F\), estos son los estados en la superficie misma de la esfera Fermi. Por otro lado, la Ecuación (\ ref {32}) y todo el razonamiento Drude, involucra la densidad\(n\) de todos los electrones. Entonces, ¿qué son exactamente los electrones responsables de la conductividad: todos ellos, o solo los que están en la superficie Fermi? Para la resolución de esta paradoja, volvamos a la Ecuación (\ ref {22}) y analicemos el significado físico de ese resultado. Comparémoslo con la siguiente distribución del modelo:

\[w_{model} \equiv w_0 (\mathbf{r},\mathbf{p} - \tilde{\mathbf{p}},t), \label{33} \]

donde\(\tilde{\mathbf{p}}\) hay algún vector constante, pequeño, que describe un pequeño desplazamiento de la distribución imperturbable\(w_0\) como un todo, en el espacio de impulso. Al realizar la expansión Taylor de la ecuación (\ ref {33}) en este pequeño parámetro, y manteniendo solo dos términos iniciales, obtenemos

\[w_{model} \approx w_0 (\mathbf{r},\mathbf{p} ,t) + \tilde{w}_{model}, \quad \text{ with } \tilde{w}_{model} = - \tilde{\mathbf{p}} \cdot \nabla_p w_0 (\mathbf{r},\mathbf{p},t). \label{34}\]

Comparando la última expresión con la primera forma de Ecuación (\ ref {22}), vemos que coinciden si

\[\tilde{\mathbf{p}} = q\pmb{\mathscr{E}} \tau \equiv \pmb{\mathscr{F}}\tau . \label{35}\]

Esto significa que la Ecuación (\ ref {22}) describe un pequeño desplazamiento de la distribución de equilibrio de todas las partículas (en el espacio de impulso)\(q\mathscr{E}\tau\) a lo largo de la dirección del campo eléctrico, justificando la caricatura mostrada en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Llenado de estados de momento por un gas de electrones degenerado: (a) en ausencia y (b) en presencia de un campo eléctrico externo\(\pmb{\mathscr{E}}\). Las flechas muestran eventos de dispersión representativos.

At\(\pmb{\mathscr{E}} = 0\), el sistema está en equilibrio, de manera que los estados cuánticos dentro de la esfera Fermi\((p < p_F)\), están ocupados, mientras que los que están fuera de ella están vacíos —ver Figura\(\PageIndex{1a}\). Los eventos de dispersión de electrones pueden ocurrir solo entre estados dentro de una capa muy delgada\((| p^2/2m – \varepsilon_F | \sim T)\) en la superficie de Fermi, porque solo en esta capa los estados están parcialmente ocupados, de manera que ambos componentes del producto\(w(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t)[1 – w(\mathbf{r}, \mathbf{p}', t)]\), mencionados en la Sec. 1, no desaparecen. Estos eventos de dispersión, en promedio, no cambian la distribución de probabilidad de equilibrio, debido a que se distribuyen uniformemente sobre la superficie de Fermi.

Ahora que el campo eléctrico se encienda instantáneamente. Inmediatamente comienza a acelerar todos los electrones en su dirección, es decir, toda la esfera Fermi comienza a moverse en el espacio de impulso, a lo largo de la dirección del campo en el espacio real. Para eventos de dispersión elástica (con\(| \mathbf{p}' | = | \mathbf{p} |\)), esto crea una adición de estados ocupados en el borde de ataque de la esfera acelerada y una adición de estados libres en su borde de salida (Figura\(\PageIndex{1b}\)). Como resultado, ahora hay más eventos de dispersión que llevan electrones desde el borde de ataque hasta el borde posterior de la esfera que en la dirección opuesta. Esto crea el reflujo promedio de la ocupación estatal en el espacio de impulso. Estas dos tendencias finalmente se cancelan entre sí, y la esfera Fermi se acerca a un estacionario (¡aunque no a un equilibrio térmico!) , con el desplazamiento (\ ref {35}) relativo a su posición de equilibrio térmico.

Ahora Figura\(\PageIndex{1b}\) puede ser utilizada para responder a la pregunta de cuál de las dos interpretaciones diferentes de la fórmula Drude es correcta, y la respuesta es: cualquiera. Por un lado, podemos observar la corriente eléctrica como resultado del desplazamiento (\ ref {35}) de todos los electrones en el espacio de impulso. Por otro lado, cada estado cuántico lleno en lo profundo de la esfera da exactamente la misma contribución a la densidad de corriente neta que lo hizo sin el campo. Todas estas contribuciones internas a la corriente neta se cancelan entre sí para que el campo aplicado cambie la situación sólo en la superficie Fermi. Por lo tanto, es igualmente legítimo decir que solo los estados de superficie son responsables de la corriente neta distinta de cero. ¹⁹

Permítanme mencionar también otra paradoja relacionada con la fórmula Drude, que muchas veces es incomprendida (no sólo por los estudiantes: -). Como se enfatizó anteriormente,\(\tau\) es finito incluso en dispersión elástica —eso por sí mismo no cambia la energía total del gas. La pregunta es ¿cómo puede esa dispersión ser responsable de la resistividad óhmica\(\rho \equiv 1/\sigma \), y por lo tanto de la producción de calor Joule, con la densidad de potencia\(\mathscr{p} = \mathbf{j}\cdot \pmb{\mathscr{E}} = \rho j^2\)? ²⁰ La respuesta es que las fórmulas Drude/Sommerfeld describen solo el “cuello de botella” de la formación de calor Joule. En la imagen de dispersión (Figura\(\PageIndex{1b}\)) los estados llenos de electrones dispersos elásticamente se ubican por encima de la superficie (desplazada) de Fermi, y estos electrones eventualmente necesitan relajarse sobre ella a través de algún proceso inelástico, que libera su energía excesiva en forma de calor (en estado sólido, descrito por fonones — véase Sec. 2.6). La tasa y otras características de estos fenómenos inelásticos no participan directamente en la fórmula Drude, sino que para mantener válida la teoría (en particular, mantener la distribución de probabilidad w cerca de su valor de equilibrio\(w_0\)), su intensidad tiene que ser suficiente para evitar el sobrecalentamiento del gas por el campo aplicado. En algunos materiales poco conductores, los efectos de sobrecalentamiento del portador de carga, que resultan en desviaciones de la ley Ohm, es decir, de la relación lineal (\ ref {28}) entre\(\mathbf{j}\) y\(\pmb{\mathscr{E}}\), pueden observarse ya en campos eléctricos bastante practicables.

Un comentario final es que la teoría de Sommerfeld de la conductividad óhmica funciona muy bien para el gas de electrones en la mayoría de los conductores. El esquema mostrado en la Figura\(\PageIndex{1}\) ayuda a entender por qué: para los gases Fermi degenerados las energías de todas las partículas cuya dispersión contribuye a las propiedades de transporte, están cercanas\((\varepsilon \approx \varepsilon_F)\) y prescribirlas todas el mismo tiempo de relajación\(\tau\) es muy razonable. En contraste, en los gases clásicos, con su distribución relativamente amplia de\(\varepsilon \), algunos resultados dados por la ecuación de Boltzmann-RTA (\(6.1.18\)) son válidos solo por el orden de magnitud.