6.6: Problemas de ejercicio

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Utilice la ecuación de Boltzmann en la aproximación relajación-tiempo para derivar la fórmula Drude para la conductividad ac compleja\(\sigma (\omega )\), y dar una interpretación física de la tendencia del resultado a altas frecuencias.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Aplicar el método de separación variable ⁷⁶ a la Ecuación (\(6.3.15\)) para calcular la evolución temporal de la distribución de densidad de partículas en un medio uniforme ilimitado, en ausencia de fuerzas externas, siempre que en\(t = 0\) las partículas se liberen de su distribución uniforme en un plano capa de espesor\(2a\):

\[n = \begin{cases} n_0, & \text{ for } - a \leq x \leq + a, \\ 0, & \text{ otherwise.} \end{cases} \nonumber\]

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Resolver el problema anterior utilizando una función de Green apropiada para la versión 1D de la ecuación de difusión, y discutir la conveniencia relativa de los resultados.

Ejercicio\(\PageIndex{4}^*\)

Calcular la conductancia eléctrica de un enlace conductor estrecho y uniforme entre dos conductores a granel, en el límite de baja tensión y baja temperatura, descuidando la interacción electrónica y la dispersión dentro del enlace.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Calcular la capacitancia efectiva (por unidad de área) de una lámina plana ancha de un gas de electrones 2D degenerado, separado por\(d\) distancia de un plano de tierra metálico.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Dar una descripción cuantitativa de la ionización del átomo dopante, que sería consistente con las estadísticas de ocupación de la banda de conducción y valencia, utilizando el mismo modelo simple de un semiconductor\(n\) dopado que en la Sec. 4 (ver Figura\(6.4.2a\)), y tomando en cuenta que el estado fundamental del dopante átomo es típicamente doblemente degenerado, debido a dos posibles orientaciones de espín del electrón unido. Utilice los resultados para verificar la Ecuación (\(6.4.13\)), dentro de los límites mostrados de su validez.

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Generalizar la solución del problema anterior al caso cuando el\(n\) dopaje de un semiconductor por átomos\(n_D\) donadores por unidad de volumen se complementa con su\(p\) dopaje simultáneo por átomos\(n_A\) aceptores por unidad de volumen, cuya energía\(\varepsilon_A – \varepsilon_V\) de activación, es decir, de aceptar un electrón adicional y por lo tanto convertirse en un ion negativo, es mucho menor que el intervalo de banda\(\Delta\) — ver la figura de la derecha.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Un gas clásico casi ideal de\(N\) partículas con masa\(m\), estaba en equilibrio térmico a temperatura\(T\), en un recipiente cerrado de volumen\(V\). En algún momento, un orificio de un área muy pequeña\(A\) está abierto en una de las paredes del contenedor, permitiendo que las partículas escapen al vacío circundante. ⁷⁷ En el límite de densidad muy baja\(n \equiv N/V\), utilice argumentos cinéticos simples para calcular la velocidad r.m.s. de las partículas escapadas durante el período de tiempo en que el número total de tales partículas es aún mucho menor que\(N\). Formular los límites de validez de sus resultados en términos de\(V\),\(A\), y el camino libre medio\(l\).

Sugerencia: Aquí y abajo, el término “casi ideal” significa que\(l\) es tan grande que las colisiones de partículas no afectan las propiedades estadísticas básicas del gas.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Para el sistema analizado en el problema anterior, calcule la tasa de flujo de partículas a través del orificio, la llamada tasa de derrame. Discuta los límites de validez de tu resultado.

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Utilice argumentos cinéticos simples para estimar:

1. el coeficiente de difusión\(D\),
2. la conductividad térmica\(\kappa \), y
3. la viscosidad de cizallamiento\(\eta \),

de un gas clásico casi ideal con trayectoria libre media\(l\). Compare el resultado\(D\) con el calculado en la Sec. 3 de la ecuación de Boltzmann-RTA.

\[\frac{d\mathscr{F}_{j'}}{dA_j} = \eta \frac{\partial v_{j'}}{\partial r_j}, \nonumber\]

donde\(d\mathscr{F}_{j'}\) está el componente\(j'^{ th}\) cartesiano de la fuerza tangencial entre dos partes de un fluido, separada por una interfaz imaginaria normal a alguna dirección\(\mathbf{n}_j\) (con\(j \neq j'\), y por lo tanto\(\mathbf{n}_j \perp \mathbf{n}_{j'}\)), ejercida sobre un área elemental\(dA_j\) de esta superficie, y\(\mathbf{v}(\mathbf{r})\) es el velocidad del fluido en la interfaz.

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Utilice argumentos cinéticos simples para relacionar el camino libre medio\(l\) en un gas clásico casi ideal, con la sección transversal completa\(\sigma\) de dispersión mutua de sus partículas. ⁷⁹ Utilizar el resultado para evaluar la conductividad térmica y las estimaciones del coeficiente de viscosidad realizadas en el problema anterior, para el nitrógeno molecular, con la masa molecular\(m \approx 4.7 \times 10^{-26}\) kg y el diámetro efectivo (“van der Waals”)\(d_{ef} \approx 4.5 \times 10^{-10}\) m, en condiciones ambientales, y compararlos con resultados experimentales.

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Utilice la ecuación de Boltzmann-RTA para calcular la conductividad térmica de un gas clásico casi ideal, medida en condiciones en las que el gradiente térmico aplicado no crea un flujo neto de partículas. Comparar el resultado con el resultado de los argumentos cinéticos simples (Problema 6.10), y discutir su relación.

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Utilice la ecuación de conducción de calor (\(6.5.26\)) para calcular la evolución temporal de la temperatura en el centro de una esfera sólida uniforme de radio\(R\), inicialmente calentada a una temperatura uniformemente distribuida\(T_{ini}\), y\(t = 0\) colocada en un baño de calor que mantenga su superficie a temperatura \(T_0\).

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Sugerir una definición razonable de la tasa de producción de entropía (por unidad de volumen), y calcular esta tasa para la conducción térmica estacionaria, asumiendo que obedece a la ley de Fourier, en un material con expansión térmica insignificante. Dar una interpretación física del resultado. ¿La distribución de temperatura estacionaria en una muestra corresponde al mínimo de la producción total de entropía en ella?

Ejercicio\(\PageIndex{15}\)⁸⁰

Utilice la ecuación de Boltzmann-RTA para calcular la viscosidad de cizallamiento de un gas casi ideal. Deletrea el resultado en el límite clásico, y compárelo con la estimación realizada en la solución del Problema 10.

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1. Este tema fue abordado brevemente en EM Capítulo 4, evitando cuidadosamente los aspectos relacionados con los efectos térmicos.
2. Véase, por ejemplo, CM Sec. 10.1.
3. En realidad, este es solo uno de varios teoremas que llevan el nombre de Joseph Liouville (1809-1882).
4. Véase, por ejemplo, la Ecuación MA (4.2).
5. Véase, por ejemplo, CM Sec. 9.3.
6. De hecho, la coherencia del estado cuántico es descrita por elementos fuera de diagonal de la matriz de densidad, mientras que la probabilidad clásica\(w\) representa solo los elementos diagonales de esa matriz. Sin embargo, al menos para los conjuntos cercanos al equilibrio térmico, esta es una aproximación razonable — ver la discusión en la Sec. 2.1.
7. Uno puede preguntarse si esta aproximación puede funcionar para partículas de Fermi, como los electrones, para quienes el principio Pauli prohíbe dispersarse en el estado ya ocupado, de modo que para la dispersión\(\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{p}'\), el término\(w(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t)\) en la Ecuación (\(6.1.12\)) tiene que ser multiplicado por la probabilidad\([1 – w(\mathbf{r}, \mathbf{p}', t)]\) que el estado final está disponible. Este es un argumento válido, pero hay que notar que si esta modificación se ha hecho con ambos términos de Equation (\(6.1.12\)), se convierte en\[ \left| \frac{\partial w}{\partial t} \right|_{scattering} = \int d^3 p' \Gamma_{\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{p}'} \{ w (\mathbf{r},\mathbf{p}',t) [ \mathbf{1} - w(\mathbf{r},\mathbf{p},t)]-w(\mathbf{r},\mathbf{p},t)[\mathbf{1}-w(\mathbf{r},\mathbf{p}',t)]\}.\nonumber\] Abriendo ambos corchetes, vemos que los productos de densidad de probabilidad se cancelan, llevándonos de vuelta a la Ecuación (\(6.1.12\)).
8. Esta fue la aproximación utilizada por L. Boltzmann para probar el famoso\(H\) teorema, afirmando que la entropía del gas descrito por la Ecuación (\(6.1.13\)) sólo puede crecer (o permanecer constante) en el tiempo,\(dS/dt \geq 0\). Dado que el modelo es muy aproximado, ese resultado no parece demasiado fundamental hoy en día, a pesar de toda su significación histórica.
9. A veces esta aproximación se llama el “modelo BGK”, después de P. Bhatnager, E. Gross y M. Krook que lo sugirieron en 1954. (Ese mismo año, P. Welander consideró un modelo similar.)
10. Véase, por ejemplo, CM Sec. 3.7.
11. Dado que la escala del cambio más rápido\(w_0\) en el espacio de impulso es del orden de\(\partial w_0/\partial p = (\partial w_0/\partial \varepsilon )(d\varepsilon /dp) \sim (1/T)v\), donde\(v\) está la escala de velocidad de la partícula, la condición necesaria de la aproximación lineal (\(6.2.4\)) es\(e\mathscr{E}\tau << T/v\), es decir, si\(e\mathscr{E}l << T\), donde\(l \equiv v\tau\) tiene el significado de lo efectivo camino libre de medias. Dado que el lado izquierdo de la última desigualdad es solo la energía promedio dada a la partícula por el campo eléctrico entre dos eventos de dispersión, la condición puede interpretarse como la pequeñez del “sobrecalentamiento” del gas por el campo aplicado. No obstante, también es necesaria otra condición —véase el último párrafo de esta sección.
12. Véase, por ejemplo, QM Sec. 2.1.
13. Fue obtenido por Arnold Sommerfeld en 1927.
14. Véase, por ejemplo, QM Secs. 2.7, 2.8 y 3.4. (En este caso,\(\mathbf{p}\) debe entenderse como el cuasimomentum más que el impulso genuino).
15. Como muestra la Ecuación (\(6.2.9\)), si la ley de dispersión\(\varepsilon (\mathbf{p})\) es anisotrópica, la dirección de la densidad de corriente puede ser diferente a la del campo eléctrico. En este caso, la conductividad debe ser descrita por un tensor\(\sigma_{jj'}\), en lugar de un escalar. Sin embargo, en la mayoría de los materiales conductores importantes, la anisotropía es bastante pequeña; véase, por ejemplo, EM Tabla 4.1.
16. Es por ello que para determinar el tipo dominante de portadores de carga en semiconductores (electrones o agujeros, ver Sec. 4 a continuación), se utiliza frecuentemente el efecto Hall, que carece de tal ambivalencia (ver, por ejemplo, QM 3.2).
17. Fue derivado en 1900 por Paul Drude. Tenga en cuenta que Drude también usó los mismos argumentos para derivar una aproximación muy simple (y muy razonable) para la conductividad eléctrica compleja en el campo ac de frecuencia\(\omega : \sigma (\omega ) = \sigma (0)/(1 – i\omega \tau )\), con lo\(\sigma (0)\) dado por Equation (\(6.2.14\)); a veces se usa el nombre “fórmula Drude” para esta expresión en lugar de para Ecuación (\(6.2.14\)). Permítanme dejar su derivación, de la ecuación Boltzmann-RTA, para el ejercicio del lector.
18. Véase también EM Sec. 4.2.
19. Entonces aquí, como sucede frecuentemente en la física, las fórmulas (o bocetos gráficos, como Figura\(6.2.1b\)) dan una descripción más clara e inequívoca de la realidad que las palabras —el privilegio que carecían muchas disciplinas “científicas”, ricas en interminables debates verbales superficiales. Obsérvese también que, como sucede frecuentemente en la física, la interpretación dual de\(\sigma\) se expresa por dos integrales diferentes pero iguales (\(6.2.12\)) y (\(6.2.13\)), relacionadas por la regla de integración por partes.
20. Esta fórmula es probablemente evidente por sí misma, pero si necesitas puedes volver a EM Sec. 4.4.
21. Ya que no nos encontraremos\(\nabla_p\) en el balance de este capítulo, a partir de este momento,\(\nabla_r\) se baja el subíndice\(r\) del operador por la brevedad de notación.
22. Ya que consideramos\(w_0\) como una función de dos argumentos independientes\(\mathbf{r}\) y\(\mathbf{p}\), tomando su gradiente, es decir, la diferenciación de esta función sobre\(\mathbf{r}\), no implica su diferenciación sobre la energía cinética\(\varepsilon\) —que es una función de\(\mathbf{p}\) solamente.
23. Obsérvese que la Ecuación (\(6.3.7\)) no incluye el parámetro fenomenológico\(\tau\) de la aproximación relajación-tiempo, señalando que es mucho más general que el RTA. En efecto, esta igualdad se basa enteramente en la relación entre el segundo y el tercer término en el lado izquierdo de la ecuación general de Boltzmann (\(6.1.10\)), más que en cualquier detalle de la integral de dispersión en su lado derecho.
24. A veces también se le llama la “afinidad electrónica”, aunque este término se usa principalmente para átomos y moléculas.
25. En la física e ingeniería de semiconductores, la situación mostrada en la Figura\(6.3.1b\) se denomina condición de banda plana, ya que cualquier campo eléctrico aplicado normalmente a una superficie de un semiconductor conduce a la llamada flexión de banda de energía — ver la siguiente sección.
26. Como se mide a partir de un valor de referencia común, por ejemplo desde el nivel de vacío, en lugar de desde el fondo de un potencial individual, así como en la Figura\(6.3.1a\).
27. En la literatura física, suele llamarse la diferencia de potencial de contacto, mientras que en la electroquímica (para la que es una de las nociones clave), el término potencial Volta es más común.
28. Los dispositivos para dicha medición pueden basarse en la interacción entre la corriente medida y un imán permanente, como fue pionero por A.-M. Ampère en la década de 1820 — véase, por ejemplo, EM Capítulo 5. Tales dispositivos a veces se llaman galvanómetros, honrando a otro pionero de la electricidad, Luigi Galvani.
29. Si esta relación no es evidente, por favor vuelva a visitar EM Sec. 4.1.
30. En ocasiones este término se asocia con la ecuación (\(6.3.19\)). También se puede encontrar con el término “ecuación de convección-difusión” para la Ecuación (\(6.3.15\)) con el reemplazo (\(6.3.16\)).
31. Y de ahí, a despreciable\(\nabla U\), idéntica a la ecuación de difusión (\(5.6.11\)).
32. Véase, por ejemplo, QM Sec. 2.7 y 3.4, pero el conocimiento profundo de este material no es necesario para seguir las discusiones de esta sección. Si el lector no está familiarizado con la noción de cuasimomentum (alternativamente llamado el “impulso cristalino”), su siguiente interpretación semicuantitativa puede ser útil:\(\mathbf{q}\) es el resultado del promedio cuántico del impulso electrónico genuino a\(\mathbf{p}\) lo largo del período de la red cristalina. En contraste con\(\mathbf{p}\), que no se conserva debido a la interacción del electrón con la red atómica,\(\mathbf{q}\) es una integral del movimiento — en ausencia de otras fuerzas.
33. En aisladores, la banda prohibida\(\Delta\) es tan grande (e.g.,\(\sim 9\) eV in\(\ce{SiO2}\)) que la banda de conducción permanece despoblada en todas las situaciones prácticas, por lo que la siguiente discusión solo es relevante para los semiconductores, con sus bandgaps moderados —como 1.14 eV en el caso más importante de silicio a temperatura ambiente.
34. Es fácil (y por lo tanto se deja para el ejercicio del lector) verificar que todas las propiedades de equilibrio de los portadores de carga siguen siendo las mismas (con algunos valores efectivos de\(m_C\) y\(m_V\)) si\(\varepsilon_c(\mathbf{q})\) y\(\varepsilon_v(\mathbf{q})\) son formas cuadráticas arbitrarias de los componentes cartesianos del cuasimomentum. Un desplazamiento mutuo de las ramas\( \varepsilon_c(\mathbf{q})\) y\(\varepsilon_v(\mathbf{q}\)) en el espacio cuasimomentum tampoco es importante para las propiedades estadísticas y la mayoría de las propiedades de transporte de los semiconductores, aunque es muy importante por sus propiedades ópticas —que no voy a tener tiempo de discutir en detalle.
35. El nombre colectivo para ellos en la física de semiconductores es portadores de carga —o simplemente “portadores”.
36. Nótese que en el caso de la degeneración simple de espín electrónico (\(g_V = g_C = 2\)), el primer logaritmo desaparece por completo. Sin embargo, en muchos semiconductores, la degeneración se factoriza por el número de bandas de energía similares (por ejemplo, seis bandas de conducción similares en silicio), y el factor\(\ln (g_V/g_C)\) puede afectar ligeramente los resultados cuantitativos.
37. Obsérvese que en comparación con la Figura\(6.4.1\), aquí se colapsa la información (para la mayoría de los propósitos, redundante) sobre la\(q\) dependencia de las energías, dejando libre el eje horizontal de dicho diagrama de borde de banda para mostrar sus posibles dependencias espaciales — ver Figs. \(6.4.3\),\(6.4.5\), y\(6.4.6\) abajo.
38. Relaciones muy similares pueden encontrarse en la teoría de las reacciones químicas (donde se llama la ley de la acción de masas), y otras disciplinas —incluyendo ejemplos tan exóticos como la ecología teórica.
39. Permítanme dejarlo para que el ejercicio del lector demuestre que esta suposición siempre es válida a menos que la densidad de dopaje\(n_D\) se vuelva comparable a\(n_C\), y como resultado, la energía Fermi\(\mu\) se mueve hacia una\(\sim T\) -amplia vecindad de\(\varepsilon_D\).
40. Para los donantes típicos (P) y aceptores (B) en silicio, ambas energías de ionización, (\(\varepsilon_C – \varepsilon_D)\)y\((\varepsilon_A – \varepsilon_V\)), son cercanas a 45 MeV, es decir, son de hecho mucho más pequeñas que\(\Delta \approx 1.14\) eV.
41. Una versión simplificada de este análisis se discutió en EM Sec. 2.1.
42. Véase, por ejemplo, EM Sec. 3.4.
43. Lamento usar, para la constante eléctrica SI\(\varepsilon_0\), la misma letra griega que para las energías de una sola partícula, pero ambas notaciones son tradicionales, y la diferencia entre estos usos quedará clara a partir del contexto.
44. Es común (aunque no necesario) seleccionar la referencia de energía para que en lo profundo del semiconductor,\(\phi = 0\); en lo que sigue voy a utilizar esta convención.
45. Aquí\(\mathscr{E}\) está el campo justo dentro del semiconductor. El campo de espacio libre necesario para crearlo es\(\kappa\) veces mayor — véase, por ejemplo, el mismo EM Sec. 3.4, en particular la Ecuación (\(3.3.5\)).
46. En la literatura de física de semiconductores, el valor de\(\mu '\) suele llamarse nivel Fermi, incluso en ausencia del mar degenerado de Fermi típico para los metales — cf. Sec. 3.3. En esta sección, seguiré esta terminología común.
47. Incluso algunos aislantes amorfos de película delgada, como los óxidos de silicio y aluminio cultivados adecuadamente, pueden soportar campos de hasta\(\sim 10\) MV/cm.
48. Como recordatorio, la derivación de esta fórmula fue tarea del Problema 3.14.
49. La monografía clásica en este campo es S. Sze, Physics of Semiconductor Devices,\(2^{nd}\) ed., Wiley 1981. (La\(3^{rd}\) edición, circa 2006, coautora con K. Ng, está más inclinada hacia los detalles técnicos.) También puedo recomendar un libro de texto detallado de R. Pierret, Semiconductor Device Fundamentals,\(2^{nd}\) ed., Addison Wesley, 1996.
50. Frecuentemente, la ecuación (\(6.4.30\)) también se reescribe en la forma\(e\Delta \varphi = T \ln (n_Dn_A/n_i^2)\). A la vista de la segunda de Eqs. (\(6.4.8\)), esta igualdad es formalmente correcta pero puede ser engañosa porque la densidad intrínseca del portador\(n_i\) es una función exponencial de la temperatura y es físicamente irrelevante para este problema en particular.
51. Tenga en cuenta que tal\(w\) es de nuevo mucho más grande que\(\lambda_D\) — el hecho de que justifica las dos primeras condiciones de límite (\(6.4.32\)).
52. Otro límite importante es el túnel cuántico-mecánico a través del aislador de puerta, cuyo espesor tiene que ser reducido en paralelo con las dimensiones laterales de un FET, incluyendo su longitud de canal.
53. En la jerga de la física de semiconductores, el evento de “generación de portadoras” es la excitación térmica de un electrón desde la banda de valencia a la banda de conducción, dejando un agujero atrás, mientras que el evento recíproco de llenar dicho agujero por un electrón de banda de conducción se llama la “recombinación portadora”.
54. Tenga en cuenta que si un fotón externo con energía\(\hbar \omega > \Delta\) genera un par electrón-agujero en algún lugar dentro de la capa de agotamiento, este campo eléctrico impulsa inmediatamente su componente electrónico hacia la derecha, y el componente de agujero hacia la izquierda, generando así un pulso de corriente eléctrica a través de la unión. Esta es la base física de todo el vasto campo tecnológico de la fotovoltaica, actualmente fuertemente impulsado por la demanda de energía eléctrica renovable. Debido al avance de esta tecnología, el costo de los sistemas de energía solar ha bajado de ~$300 por vatio a mediados de la década de 1950 a la corriente de ~$1 por vatio, y su generación global ha aumentado a casi 1015 vatios-hora por año, aunque esto todavía está por debajo del 2% de toda la energía eléctrica generada.
55. No voy a tratar de reproducir este cálculo (que se puede encontrar en cualquiera de los libros de física de semiconductores mencionados anteriormente), porque acertar a todos sus factores de escalado requiere usar algún modelo del proceso de recombinación, y en este curso, simplemente no hay tiempo para su discusión cuantitativa. Sin embargo, véase la Ecuación (\(6.4.42\)) a continuación.
56. En nuestro modelo, el signo positivo de\(V \equiv \Delta \mu '/q \equiv –\Delta \mu '/e\) corresponde al campo eléctrico adicional,\(–\nabla \mu '/q \equiv \nabla \mu '/e\), dirigido en la dirección positiva del\(x\) eje -( en la Figura\(6.4.6\), de izquierda a derecha), es decir, al terminal positivo de la fuente de voltaje conectada al semiconductor dopado p — que es la convención común.
57. Este cambio, mostrado esquemáticamente en la Figura\(6.4.6b\), puede calcularse fácilmente haciendo el reemplazo (\(6.4.37\)) en la primera de las Eqs. (\(6.4.34\)).
58. Esta invarianza de signo puede parecer extraña, debido a la carga eléctrica opuesta (positiva) de los agujeros. Sin embargo, esta diferencia en el signo de carga es compensada por la dirección opuesta de la difusión del agujero — ver Figura\(6.4.5\). (Obsérvese también que los portadores de carga reales en la banda de valencia siguen siendo electrones, y la carga positiva de los agujeros es solo una representación conveniente de la ley de dispersión específica en esta banda de energía, con una masa efectiva negativa — ver Figura\(6.4.1\), la segunda línea de la Ecuación (\(6.4.1\)), y a discusión más detallada de este tema en QM Sec. 2.8.)
59. Algunas uniones metal-semiconductor, llamadas diodos Schottky, tienen propiedades rectificadoras similares (y pueden estar mejor adaptadas para aplicaciones de alta potencia que\(p-n\) las uniones de silicio), pero sus propiedades son más complejas debido a la química y física bastante involucradas de las interfaces entre diferentes materiales.
60. Véase, por ejemplo, la monografía de R. Stratonovich citada en la Sec. 4.2.
61. El nombre de Thomas Johann Seebeck quien descubrió experimentalmente, en 1822, el efecto descrito por el segundo término en la Ecuación (\(6.5.4\)) — y por lo tanto por la Ecuación (\(6.5.10\)).
62. De nuevo, tal independencia insinúa que la ecuación (\(6.5.8\)) tiene una validez más amplia que en nuestro modelo simple de un gas isotrópico. Este es efectivamente el caso: este resultado resulta válido para cualquier forma de la superficie Fermi, y para cualquier ley de dispersión\(\varepsilon (\mathbf{p})\). Tenga en cuenta, sin embargo, que todos los cálculos de esta sección son válidos para el modelo RTA más simple, ya que\(\tau\) es un parámetro independiente de la energía; para los metales reales, se puede obtener una descripción más precisa de los resultados experimentales ajustando este modelo para tener en cuenta esta dependencia — véase, por ejemplo, el Capítulo 13 en la monografía de N. Ashcroft y N. D. Mermin, citada en la Sec. 3.5.
63. Ambos materiales son aleaciones, es decir, soluciones sólidas: el cromel es 10% de cromo en 90% níquel, mientras que el constantano es 45% níquel y 55% cobre.
64. Una explicación alternativa del factor\((\varepsilon – \mu )\) en la Ecuación (\(6.5.11\)) es la de acuerdo con las Eqs. (\(1.4.14\)) y (\(1.5.7\)), para un sistema uniforme de\(N\) partículas este factor es justo\((E – G)/N \equiv (TS – PV)/N\). El diferencial completo del numerador es\(TdS + SdT –PdV – VdP\), de manera que ante la ausencia del trabajo mecánico\(d\mathscr{W} = –PdV\), y los cambios de temperatura y presión, es justo\(TdS \equiv dQ\) — ver Ecuación (\(1.3.6\)).
65. Nombrado así en honor a Jean Charles Atanase Peltier quien descubrió experimentalmente, en 1834, el efecto expresado por el primer término en la Ecuación (\(6.5.12\)) — y por lo tanto por la Ecuación (\(6.5.19\)).
66. Véase, por ejemplo, Sec. 15.7 en R. Pathria y P. Beale, Statistical Mechanics,\(3^{rd}\) ed., Elsevier, 2011. Obsérvese, sin embargo, que el rango de validez de las relaciones Onsager aún se debate —véase, por ejemplo, K.-T. Chen y P. Lee, Phys. Rev. B 79, 18 (2009).
67. Fue nombrado en honor a Gustav Wiedemann y Rudolph Franz quienes notaron la constancia de la relación\(\kappa /\sigma\) para diversos materiales, a la misma temperatura, ya en 1853. La proporcionalidad directa de la relación a la temperatura absoluta fue notada por Ludwig Lorenz en 1872. Debido a su contribución, la ley Wiedemann-Franz se representa frecuentemente, en las unidades de temperatura SI, ya que\(\kappa /\sigma = LT_K\), donde la constante\(L \equiv (\pi^2/3)k_B/e^2\), llamada número Lorenz, se encuentra cercana\(2.45 \times 10^{-8}W\cdot \Omega \cdot K^{-2}\). Teóricamente, la ecuación (\(6.5.17\)) fue derivada en 1928 por A. Sommerfeld.
68. Permítanme enfatizar que aquí estamos discutiendo el calor transferido a través de un conductor, no el calor Joule generado en él por la corriente. (Este último efecto es cuadrático, en lugar de lineal, en corriente, y por lo tanto es mucho menor en\(I \rightarrow 0\).)
69. Véase, por ejemplo, D. Rowe (ed.), Manual Termoeléctrico: Macro a Nano, CRC Press, 2005.
70. Fue sugerido (en 1822) por el mismo genio científico universal J.-B. J. Fourier que no solo ha desarrollado una herramienta matemática tan clave como la serie de Fourier sino que también descubrió lo que ahora se llama el efecto invernadero!
71. Todas son similares a las ecuaciones de continuidad para otras cantidades —por ejemplo, la masa (ver CM Sec. 8.3) y la probabilidad cuántico-mecánica (ver QM Secs. 1.4 y 9.6).
72. Según la Ecuación (\(1.4.2\)), en el caso de una expansión térmica despreciable, no importa si hablamos de la energía interna\(E\) o de la entalpía\(H\).
73. Si la\(c_V\) dependencia de la temperatura puede ignorarse solo dentro de un intervalo de temperatura limitado, Eqs. (\(6.5.23\)) y (\(6.5.25\)) se pueden seguir utilizando dentro de ese intervalo, para desviaciones de temperatura de algún valor de referencia.
74. Espero que el lector ya lo sepa de memoria, pero si no, vea, por ejemplo, la Ecuación MA (12.2).
75. Una cobertura mucho más detallada de esta importante parte de la física se puede encontrar, por ejemplo, en el libro de texto de L. Pitaevskii y E. Lifshitz, Physical Kinetics, Butterworth-Heinemann, 1981. Se da una discusión más profunda de la ecuación de Boltzmann, por ejemplo, en la monografía de S. Harris, An Introduction to the Theory of the Boltzmann Equation, Dover 2011. Para una discusión de los aspectos aplicados de la cinética véase, por ejemplo, T. Bergman et al., Fundamentals of Heat and Mass Transfer,\(7^{th}\) ed., Wiley, 2011.
76. Una introducción detallada a este método (utilizado repetidamente en esta serie) se puede encontrar, por ejemplo, en EM Sec. 2.5.
77. En campos relacionados con la química, este proceso se denomina frecuentemente derrame.
78. Véase, por ejemplo, Ecuación CM (8.56). Tenga en cuenta la diferencia entre el coeficiente de viscosidad de cizallamiento\(\eta\) considerado en este problema y el coeficiente de arrastre\(\eta\) cuyo cálculo fue la tarea del Problema 3.2. A pesar de la notación similar (tradicional), y pertenecientes al mismo reino (fricción cinemática), estos coeficientes tienen diferentes definiciones e incluso diferentes dimensionalidades.
79. Lamento usar la misma letra para la sección transversal que para la conductividad eléctrica óhmica. (Ambas notaciones son muy tradicionales.) Permítanme esperar que esto no conduzca a confusión, porque la conductividad no se discute en este problema.
80. Este problema no sigue al Problema 12 sólo por razones históricas.