6.5: Efectos termoeléctricos

Ahora volvamos a nuestro análisis de los efectos cinéticos utilizando la ecuación de Boltzmann-RTA, y extenderla aún más, a los efectos de un gradiente de temperatura distinto de cero (aunque pequeño). Nuevamente, ya que para cualquiera de las estadísticas (\(6.2.2\)), la ocupación promedio\(\langle N(\varepsilon )\rangle\) es función de una sola combinación de todos sus argumentos,\(\xi \equiv (\varepsilon – \mu )/T\), sus derivadas parciales obedecen no sólo a la Ecuación (\(6.3.2\)), sino a la siguiente relación:

\[\frac{\partial \langle N (\varepsilon ) \rangle}{\partial T} = - \frac{\varepsilon - \mu}{T^2} \frac{\partial \langle N (\varepsilon ) \rangle}{\partial \xi } = \frac{\varepsilon - \mu }{T} \frac{\partial \langle N (\varepsilon ) \rangle}{\partial \mu }. \label{94}\]

Como resultado, la ecuación (\(6.3.3\)) se generaliza como

\[\nabla w_0 = -\frac{\partial w_0}{\partial \varepsilon} \left( \nabla \mu + \frac{\varepsilon - \mu}{T} \nabla T \right),\label{95}\]

dando la siguiente generalización de la ecuación (\(6.3.4\)):

\[\tilde{w} = \tau \frac{\partial w_0}{\partial \varepsilon} \mathbf{v} \cdot \left( \nabla \mu ' + \frac{\varepsilon - \mu}{T} \nabla T \right).\label{96}\]

Ahora, calculando la densidad de corriente como en la Sec. 3, obtenemos el resultado que tradicionalmente se representa como

\[ \mathbf{j} = \sigma \left( - \frac{\nabla \mu ' }{q} \right) + \sigma \mathcal{S} (-\nabla T), \label{97}\]

donde la constante\(\mathcal{S}\), llamada coeficiente Seebeck ⁶¹ (o la “potencia termoeléctrica”, o simplemente “termopotencia”) viene dada por la siguiente relación:

Coeficiente de Seebeck:

\[\boxed{ \sigma \mathcal{S} = \frac{gq\tau}{(2\pi\hbar)^3}\frac{4\pi}{3} \int^{\infty}_0 (8m\varepsilon^3)^{1/2} \frac{(\varepsilon - \mu )}{T} \left[ - \frac{\partial \langle N (\varepsilon ) \rangle }{\partial \varepsilon} \right] d\varepsilon . } \label{98}\]

Elaborando esta integral para el caso más importante de un gas Fermi degenerado\(T << \varepsilon_F\), con, hay que tener cuidado porque el centro del pico agudo del último factor bajo la integral coincide con el punto cero del factor anterior,\((\varepsilon – \mu )/T\). Esta incertidumbre puede resolverse utilizando la fórmula de expansión de Sommerfeld (\(3.3.8\)). De hecho, para una función suave\(f(\varepsilon )\) obedeciendo a Equation (\(3.3.9\)), de modo que\(f(0) = 0\), podemos usar Equation (\(3.3.10\)) para reescribir Equation (\(3.3.8\)) como

\[\int^{\infty}_0 f(\varepsilon ) \left[ - \frac{\partial \langle N (\varepsilon ) \rangle }{\partial \varepsilon} \right] d\varepsilon = f(\mu ) + \frac{\pi^2T^2}{6} \left. \frac{d^2f(\varepsilon )}{d\varepsilon^2} \right|_{\varepsilon = \mu } . \label{99}\]

En particular, para elaborar la integral (\ ref {98}), podemos tomar\(f(\varepsilon ) \equiv (8m\varepsilon^3)^{1/2}(\varepsilon – \mu )/T\). (Para esta función, la condición\(f(0) = 0\) es evidentemente satisfecha.) Entonces\(f(\mu ) = 0\),\(d^2f/d\varepsilon^2|_{\varepsilon =\mu} = 3(8m\mu )^{1/2}/T \approx 3(8m\varepsilon_F)^{1/2}/T\), y Ecuación (\ ref {98}) rinde

\[\sigma \mathcal{S} = \frac{gq\tau}{(2\pi \hbar )^3} \frac{4\pi}{3}\frac{\pi^2T^2}{6}\frac{3(8m\varepsilon_F )^{1/2}}{T}.\label{100}\]

\[\mathcal{S} = \frac{\pi^2}{2q}\frac{T}{\varepsilon_F} = \frac{c_V}{q}, \quad \text{ for } T << \varepsilon_F , \label{101}\]

donde\(c_V \equiv C_V/N\) está la capacidad calorífica del gas por unidad de partícula, en este caso dada por la Ecuación (\(3.3.19\)).

Para entender el significado físico del coeficiente de Seebeck, es suficiente considerar un conductor que no lleva corriente. Para este caso, la ecuación (\ ref {97}) rinde

Efecto Seebeck:

\[\boxed{ \nabla (\mu ' / q +\mathcal{S}T ) = 0 .} \label{102}\]

Entonces, en estas condiciones, un gradiente de temperatura crea un gradiente proporcional del potencial electroquímico\(\mu '\), y de ahí el campo eléctrico efectivo\(\mathcal{E}\) definido por la ecuación (\(6.3.7\)). Este es el efecto Seebeck. La figura\(\PageIndex{1}\) muestra la forma estándar de su medición, utilizando un voltímetro ordinario (electrodinámico) que mide la diferencia de\(\mu '/e\) en sus terminales, y un par de uniones (en este contexto, llamadas termopar) de dos materiales con coeficientes diferentes\(\mathcal{S}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): El efecto Seebeck en un termopar.

Integrando la ecuación (\ ref {102}) alrededor del bucle de punto\(A\) a punto\(B\), y descuidando la caída de temperatura a través del voltímetro, obtenemos la siguiente expresión simple para la diferencia inducida térmicamente del potencial electroquímico, generalmente llamada termoeléctrica poder o el “termo e.m.f.”:

\[\begin{align} \mathscr{V} & \equiv \frac{\mu_B '}{q} - \frac{\mu_A'}{q} = \frac{1}{q} \int^B_A \nabla \mu ' \cdot d \mathbf{r} = - \int^B_A \mathcal{S} \nabla T \cdot d\mathbf{r} = -\mathcal{S}_1 \int^{A''}_{A'} \nabla T \cdot d \mathbf{r} - \mathcal{S}_2 \left(\int^{A'}_A \nabla T \cdot d \mathbf{r} + \int^B_{A''} \nabla T \cdot d\mathbf{r} \right) \nonumber \\ & = -\mathcal{S}_1 (T''-T' ) - \mathcal{S}_2 (T' - T'' ) \equiv (\mathcal{S}_1 - \mathcal{S}_2) (T'-T''). \label{103} \end{align}\]

(Tenga en cuenta que de acuerdo con la Ecuación (\ ref {103}), cualquier intento de medir dicho voltaje a través de dos puntos cualesquiera de un conductor uniforme daría resultados dependiendo de los materiales del cable del voltímetro, debido a un gradiente involuntario de temperatura en ellos.)

El uso de termopares es un método muy popular y económico de medición de temperatura, especialmente en el rango de pocos cientos de\(^{\circ}\) C donde los termómetros basados en gas y fluidos no son demasiado practicables, si una precisión de\(^{\circ}\) escala 1 C es suficiente. La respuesta a la temperatura (\(\mathcal{S}_1 – \mathcal{S}_2\)) de un termopar popular típico, cromel-constantan, ⁶³ es aproximadamente\(70 \mu V/\)\(^{\circ}\) C. Para entender por qué los valores típicos de\(\mathcal{S}\) son tan pequeños, discutamos la física del efecto Seebeck. Superficialmente, es muy sencillo: las partículas, calentadas por una fuente externa, se difunden desde ella hacia las partes más frías del conductor, transportando corriente eléctrica con ellas si están cargadas eléctricamente. Sin embargo, este argumento ingenuo descuida el hecho de que en\(\mathbf{j} = 0\), no hay flujo total de partículas. Para una interpretación más precisa, señalar que dentro de la integral (\ ref {98}), el efecto Seebeck es descrito por el factor\((\varepsilon – \mu )/T\), el cual cambia su signo en la superficie Fermi, es decir, a la misma energía donde el término\([-\partial \langle N(\varepsilon )\rangle /\partial \varepsilon ]\), describiendo la disponibilidad de estados cuánticos para el transporte (debido a su ocupación intermedia\(0 < \langle N(\varepsilon )\rangle < 1)\), alcanza su pico. La única razón por la que esa integral no desaparece por completo, y por lo tanto\(\mathcal{S} \neq 0\), es el crecimiento del primer factor bajo la integral (que describe la densidad de estados cuánticos disponibles en la escala energética) con\(\varepsilon \), por lo que las partículas más calientes (con\(\varepsilon > \mu \)) son más numerosas y por lo tanto llevan más calor que los más fríos.

El efecto Seebeck no es el único resultado de un gradiente de temperatura; la misma difusión de partículas también provoca el efecto menos sutil del flujo de calor de la región de mayor\(T\) a la de menor\(T\), es decir, el efecto de la conductividad térmica, bien conocido de nuestra práctica cotidiana. La densidad de este flujo (es decir, la de la energía térmica) puede calcularse de manera similar a la de la corriente eléctrica — ver Ecuación (\(6.2.8\)), con el reemplazo natural de la carga eléctrica\(q\) de cada partícula con su energía térmica\((\varepsilon – \mu )\):

\[\mathbf{j}_h = \int (\varepsilon - \mu ) \mathbf{v} w d^3 p. \label{104}\]

(De hecho, podemos ver esta expresión es como en la diferencia entre la densidad de flujo de energía total,\(\mathbf{j}_{\varepsilon} = \int \varepsilon \mathbf{v}wd^3p\), y el producto de la energía promedio necesaria para agregar una partícula al sistema\((\mu )\) por la densidad de flujo de partículas,\(\mathbf{j}_n = \int \mathbf{v}wd^3p \equiv \mathbf{j}/q\).) ⁶⁴ Nuevamente, en equilibrio\((w = w_0)\) el flujo de calor se desvanece, de manera que\(w\) en la Ecuación (\ ref {104}) puede sustituirse por su perturbación\(\tilde{w}\), que ya se ha calculado — ver Ecuación (\ ref {96}). La sustitución de esa expresión en Ecuación (\ ref {104}), y su transformación exactamente similar a la realizada anteriormente para la corriente eléctrica\(\mathbf{j}\), rinde

\[\mathbf{j}_h = \sigma \Pi \left( - \frac{\nabla \mu '}{q} \right) + \kappa (- \nabla T ), \label{105}\]

con los coeficientes\(\Pi\) y\(\kappa\) dado, en nuestra aproximación, por las siguientes fórmulas:

Coeficiente Peltier:

\[\boxed{\sigma \Pi = \frac{gq\tau}{(2\pi \hbar )^3} \frac{4\pi}{3} \int^{\infty}_0 (8m\varepsilon^3)^{1/2} (\varepsilon - \mu) \left[ - \frac{\partial \langle N(\varepsilon ) \rangle}{\partial \varepsilon } \right] d\varepsilon , } \label{106}\]

Conductividad térmica:

\[\boxed{\kappa = \frac{g\tau}{(2\pi \hbar )^3} \frac{4\pi}{3} \int^{\infty}_0 (8m\varepsilon^3)^{1/2} \frac{(\varepsilon - \mu)^2}{T} \left[ - \frac{\partial \langle N(\varepsilon ) \rangle}{\partial \varepsilon } \right] d\varepsilon . } \label{107}\]

Además del factor que falta\(T\) en el denominador, la integral en la Ecuación (\ ref {106}) es la misma que la de la Ecuación (\ ref {98}), de manera que la constante\(\Pi\) (llamada coeficiente Peltier ⁶⁵), está simple y fundamentalmente relacionada con el Seebeck coeficiente:

\(\Pi\)vs.\(\mathcal{S}\):

\[\boxed{\Pi = \mathcal{S}T . }\label{108}\]

Por otro lado, la integral en la Ecuación (\ ref {107}) es diferente, pero puede calcularse fácilmente, para el caso más importante de un gas Fermi degenerado, utilizando la expansión de Sommerfeld en la forma (\ ref {99}), con\(f(\varepsilon ) \equiv (8m\varepsilon^3)^{1/2}(\varepsilon – \mu )^2/T\), para lo cual\(f(\mu ) = 0\) y\(d^2f/d\varepsilon^2|_{\varepsilon =\mu} = 2(8m\mu^3)^{1/2}/T \approx 2(8m\varepsilon F^3)^{1/2}/T\), para que

\[\kappa = \frac{g\tau}{(2\pi \hbar )^3} \frac{4\pi}{3} \frac{\pi^2}{6} T^2 \frac{2(8m\varepsilon^3_F)^{1/2}}{T} \equiv \frac{\pi^2}{3} \frac{n\tau T}{m} . \label{109}\]

Comparando el resultado con la ecuación (\(6.2.14\)), obtenemos la llamada ley Wiedemann-Franz ⁶⁷

Ley Wiedemann-Franz:

\[\boxed{ \frac{\kappa}{\sigma} = \frac{\pi^2}{3}\frac{T}{q^2}.}\label{110}\]

Esta relación entre la conductividad eléctrica\(\sigma\) y la conductividad térmica\(\kappa\) es más general de lo que nuestra derivación formal podría implicar. En efecto, se puede demostrar que la ley Wiedemann-Franz también es válida para una anisotropía arbitraria (es decir, una forma arbitraria de la superficie Fermi) y, además, mucho más allá de la aproximación relajación-tiempo. (Por ejemplo, también es válido para la integral de dispersión (\(6.1.12\)) con una dependencia angular arbitraria de la tasa\(\Gamma \), siempre que la dispersión sea elástica). Los experimentos muestran que la ley es bien obedecida por la mayoría de los metales, pero sólo a temperaturas relativamente bajas, cuando la conductancia térmica debida a los electrones está muy por encima de la debida a las vibraciones de la red, es decir, los fonones — ver Sec. 2.6. Además, para un gas no degenerado, la Ecuación (\ ref {107}) debe tratarse con el máximo cuidado, en el contexto de la definición (\ ref {105}) de este coeficiente\(\kappa \). (Permítanme dejar este número para el análisis del lector.)

Ahora vamos a discutir los efectos descritos por la Ecuación (\ ref {105}), partiendo del menos obvio, primer término en su lado derecho. Describe el llamado efecto Peltier, que puede medirse en la geometría de bucle similar a la que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\), pero ahora accionado por una fuente de voltaje externa — ver Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): El efecto Peltier a la\(T =\) const.

El voltaje impulsa una cierta corriente continua\(I = jA\) (donde\(A\) está el área de la sección transversal del conductor), necesariamente la misma en todo el bucle. Sin embargo, según la Ecuación (\ ref {105}), si los materiales 1 y 2 son diferentes, la potencia\(\mathscr{P} = j_hA\) del flujo de calor asociado es diferente en dos partes del bucle. ⁶⁸ En efecto, si todo el sistema se mantiene a la misma temperatura\((\nabla T = 0)\), la integración de esa relación sobre las secciones transversales de cada parte produce

\[\mathscr{P}_{1,2} = \Pi_{1,2} A_{1,2} \sigma_{1,2} \left(-\frac{\nabla \mu '}{q}\right)_{1,2} = \Pi_{1,2} A_{1,2}j_{1,2} = \Pi_{1,2}I_{1,2} = \Pi_{1,2}I, \label{111}\]

donde, en el segundo paso, se ha utilizado la Ecuación (\(6.3.6\)) para la densidad de corriente eléctrica. Esta igualdad significa que para mantener una temperatura constante, la siguiente diferencia de potencia,

Efecto Peltier:

\[\boxed{\Delta \mathscr{P} = (\Pi_1 - \Pi_2 )I, } \label{112}\]

tiene que extraerse de una unión de los dos materiales (en la Figura\(\PageIndex{2}\), que se muestra en la parte superior), e insertarse en la unión homóloga.

Si no se mantiene una temperatura constante, se calienta la primera unión (en exceso del bulto, calentamiento Joule), mientras que esta última se enfría, implementando así una bomba de calor/refrigerador termoeléctrica. Tales refrigeradores Peltier, que no requieren partes móviles ni fluidos, son muy convenientes para un enfriamiento modesto (por unas pocas decenas\(^{\circ}\) C) de componentes relativamente pequeños de varios sistemas, desde detectores de radiación sensibles en plataformas móviles (incluyendo naves espaciales), hasta bebidas frías en máquinas expendedoras. Es sencillo utilizar las fórmulas anteriores para demostrar que la eficiencia práctica de los materiales activos utilizados en tales refrigeradores termoeléctricos puede caracterizarse por la siguiente figura de mérito adimensional,

\[\text{ZT} \equiv \frac{\sigma \mathcal{S}^2}{\kappa}T. \label{113}\]

Finalmente, discutamos el segundo término de la Ecuación (\ ref {105}), en ausencia de\(\nabla \mu '\) (y por lo tanto de la corriente eléctrica) dando

Ley de Fourier:

\[ \boxed{ \mathbf{j}_h = −\kappa \nabla T ,} \label{114}\]

Esta igualdad debería ser familiar para el lector porque describe el efecto muy común de la conductividad térmica. En efecto, esta relación lineal es mucho más general que la expresión particular (\ ref {107}) porque\(\kappa \): para gradientes de temperatura suficientemente pequeños es válida para prácticamente cualquier medio —por ejemplo, para aislantes. (La columna de la izquierda en la Tabla\(\PageIndex{1}\) da valores típicos de\(\kappa\) para los materiales más comunes y/o representativos.) Por su universalidad e importancia, la Ecuación (\ ref {114}) ha merecido su propio nombre — la ley de Fourier. ⁷⁰

Actuando de manera absolutamente similar a la derivación de otras ecuaciones de continuidad, como las Eqs. (\(5.6.12-5.6.13\)) para la probabilidad clásica, y Ecuación (\(6.3.14\)) para la carga eléctrica, ⁷¹ consideremos la conservación de la variable agregada correspondiente a\(\mathbf{j}_h\) — la energía interna\(E\) dentro de un volumen independiente del tiempo\(V\). De acuerdo con la Ecuación básica (\(1.3.5\)), en ausencia de expansión del medio (\(dV = 0\)y por lo tanto\(d\mathscr{W} = 0\)), el cambio de energía ⁷² tiene solo el componente térmico, por lo que su única causa puede ser el flujo de calor a través de su superficie límite\(S\):

\[\frac{dE}{dt} = - \oint_S \mathbf{j}_h \cdot d^2 \mathbf{r}. \label{115}\]

\[E = C_V T = \int_V c_V T d^3 r, \label{116}\]

donde\(c_V\) está el calor específico volumico, es decir, la capacidad calorífica por unidad de volumen (ver la columna derecha en la Tabla\(\PageIndex{1}\)).

Tabla\(\PageIndex{1}\): Valores aproximados de dos coeficientes térmicos principales de algunos materiales a 20\(^{\circ}\) C.

Material	\(\kappa (W\cdot m^{-1}\cdot K^{-1})\)	\(c_V (J\cdot K^{-1}\cdot m^{-3})\)
Aire ^(a), (b)	\ (\ kappa (W\ cdot m^ {-1}\ cdot K^ {-1})\) "class="lt-phys-34734"> 0.026	\ (C_v (J\ cdot K^ {-1}\ cdot m^ {-3})\)” class="lt-phys-34734"> \(1.2 \times 10^3\)
Teflón (\([\ce{C2F4}]_n\))	\ (\ kappa (W\ cdot m^ {-1}\ cdot K^ {-1})\) "class="lt-phys-34734"> 0.25	\ (C_v (J\ cdot K^ {-1}\ cdot m^ {-3})\)” class="lt-phys-34734"> \(0.6 \times 10^6\)
Agua ^(b)	\ (\ kappa (W\ cdot m^ {-1}\ cdot K^ {-1})\) "class="lt-phys-34734"> 0.60	\ (C_v (J\ cdot K^ {-1}\ cdot m^ {-3})\)” class="lt-phys-34734"> \(4.2 \times 10^6\)
Dióxido de silicio amorfo	\ (\ kappa (W\ cdot m^ {-1}\ cdot K^ {-1})\) "class="lt-phys-34734"> 1.1-1.4	\ (C_v (J\ cdot K^ {-1}\ cdot m^ {-3})\)” class="lt-phys-34734"> \(1.5 \times 10^6\)
Silicio no dopado	\ (\ kappa (W\ cdot m^ {-1}\ cdot K^ {-1})\) "class="lt-phys-34734"> 150	\ (C_v (J\ cdot K^ {-1}\ cdot m^ {-3})\)” class="lt-phys-34734"> \(1.6 \times 10^6\)
Aluminio ^(c)	\ (\ kappa (W\ cdot m^ {-1}\ cdot K^ {-1})\) "class="lt-phys-34734"> 235	\ (C_v (J\ cdot K^ {-1}\ cdot m^ {-3})\)” class="lt-phys-34734"> \(2.4 \times 10^6\)
Cobre\(^{(c)}\)	\ (\ kappa (W\ cdot m^ {-1}\ cdot K^ {-1})\) "class="lt-phys-34734"> 400	\ (C_v (J\ cdot K^ {-1}\ cdot m^ {-3})\)” class="lt-phys-34734"> \(3.4 \times 10^6\)
Diamante	\ (\ kappa (W\ cdot m^ {-1}\ cdot K^ {-1})\) "class="lt-phys-34734"> 2,200	\ (C_v (J\ cdot K^ {-1}\ cdot m^ {-3})\)” class="lt-phys-34734"> \(1.8 \times 10^6\)

^a) A presión ambiente.

^(b) En los fluidos (gases y líquidos), el flujo de calor puede mejorarse mucho por la circulación turbulenta inducida por gradiente de temperatura — convección, que depende en gran medida de la geometría del sistema. Los valores dados corresponden a condiciones que impiden la convección.

^c) En el contexto de la ley Wiedemann-Franz (¡válida sólo para metales!) , los valores de\(\kappa\) para Al y Cu corresponden a los números de Lorenz, respectivamente,\(2.22 \times 10^{-8} W\cdot \Omega \cdot K^{-2}\) y\(2.39 \times 10^{-8} W\cdot \Omega \cdot K^{-2}\), en una comparación bastante impresionante con el valor teórico universal de\(2.45 \times 10^{-8}W\cdot \Omega \cdot K^{-2}\) dado por Ecuación (\ ref {110}).

Ahora aplicando al lado derecho de la Ecuación (\ ref {115}) el teorema de divergencia, ⁷⁴ y teniendo en cuenta que para un volumen independiente del tiempo las derivadas totales y parciales a lo largo del tiempo son equivalentes, obtenemos

\[\int_V \left( c_V \frac{\partial T}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j}_h \right) d^3 r = 0, \label{117}\]

Esta igualdad debe mantenerse para cualquier volumen independiente del tiempo\(V\), lo cual solo es posible si la función bajo la integral es igual a cero en cualquier punto. Usando la ecuación (\ ref {114}), obtenemos la siguiente ecuación diferencial parcial, llamada ecuación de conducción de calor (o, más bien inapropiadamente, la “ecuación de calor”):

Ecuación de conducción de calor:

\[\boxed{ c_V (\mathbf{r}) \frac{\partial T}{\partial t} - \nabla \cdot [\kappa(\mathbf{r}) \nabla T ] = 0, } \label{118}\]

donde los argumentos espaciales de los coeficientes\(c_V\) y\(\kappa\) se detallan para enfatizar que esta ecuación es válida incluso para medios no uniformes. (Obsérvese, sin embargo, que la Ecuación (\ ref {114}) y por lo tanto la Ecuación (\ ref {118}) son válidas solo si el medio es isotrópico.)

En un medio uniforme, la conductividad térmica\(\kappa\) puede extraerse de la diferenciación espacial externa, y la ecuación de conducción de calor se vuelve matemáticamente similar a la ecuación de difusión (\(5.6.11\)), y también a la ecuación de derivación-difusión (\(6.3.15\)) en ausencia de deriva (\(\nabla U = 0\) ):

\[\frac{\partial T}{\partial t} = D_T \nabla^2 T, \quad \text{ with } D_T \equiv \frac{\kappa}{c_V}. \label{119}\]

Esto significa, en particular, que las soluciones de estas ecuaciones, discutidas anteriormente en este curso (como las Eqs. (\(5.6.7\)) - (\(5.6.8\)) para la evolución de la perturbación inicial delta-funcional) también son válidos para la Ecuación (\ ref {119}), con el único reemplazo\(D \rightarrow D_T\). Es por ello que dejaré algunos otros ejemplos de la solución de esta ecuación para el ejercicio del lector.

Permítanme terminar este capítulo (y este curso en su conjunto) enfatizando nuevamente que debido a las restricciones de tiempo/espacio apenas pude rayar la superficie de la cinética física. ⁷⁵