4.1: Pensamiento del espacio-tiempo galileo

Para comprender tanto la relatividad galileana como la einsteiniana es importante comenzar a pensar en el espacio y el tiempo como dimensiones diferentes de un espacio cuatridimensional llamado espacio-tiempo. En realidad, como no podemos visualizar muy bien cuatro dimensiones, es más fácil comenzar con una sola dimensión espacial y la dimensión de tiempo. La Figura 4.1 muestra una gráfica con el tiempo trazada en el eje vertical y la dimensión de un espacio trazada en el eje horizontal. Un evento es algo que ocurre en un momento determinado y en un punto particular del espacio. (“Julius X. destroza su automóvil en Lemitar, NM el 21 de junio a las 6:17 PM.”) Una línea de mundo es una gráfica de la posición de algún objeto en función del tiempo en un diagrama de espacio-tiempo, aunque es convencional poner el tiempo en el eje vertical. Así, una línea mundial es realmente una línea en el espacio-tiempo, mientras que un evento es un punto en el espacio-tiempo. Una línea horizontal paralela al eje de posición es una línea de simultaneidad en la relatividad galilea, es decir, todos los eventos en esta línea ocurren simultáneamente.

Figura 4.1: Diagrama de espacio-tiempo que muestra un evento, una línea mundial y una línea de simultaneidad.

En un diagrama de espacio-tiempo la pendiente de una línea mundial tiene un significado especial. Observe que una línea vertical del mundo significa que el objeto que representa no se mueve — la velocidad es cero. Si el objeto se mueve hacia la derecha, entonces la línea mundial se inclina hacia la derecha, y cuanto más rápido se mueve, más se inclina la línea mundial. Cuantitativamente, decimos que

\[\text { velocity }=\frac{1}{\text { slope of world line }}\label{4.1}\]

en la relatividad galilea. Observe que esto funciona para pendientes y velocidades negativas así como positivas. Si el objeto cambia su velocidad con el tiempo, entonces la línea del mundo se curva, y la velocidad instantánea en cualquier momento es la inversa de la pendiente de la tangente a la línea del mundo en ese momento.

Lo más difícil de darse cuenta de los diagramas espacio-tiempo es que representan el pasado, el presente y el futuro, todo en un diagrama. Así, los diagramas de espacio-tiempo no cambian con el tiempo; la evolución de los sistemas físicos se representa observando los sucesivos cortes horizontales en el diagrama en tiempos sucesivos. Los diagramas espacio-tiempo representan la evolución, pero no evolucionan ellos mismos.

El principio de relatividad establece que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales. Un marco de referencia inercial es aquel que no se acelera. Los marcos de referencia unidos a un automóvil en reposo y a un automóvil que se mueve constantemente por la autopista a 30 m s ^-1 son ambos inerciales. Un marco de referencia unido a un automóvil que acelera lejos de un semáforo no es inercial.

El principio de relatividad es una suposición o hipótesis educada basada en una amplia experiencia. Si el principio de relatividad no fuera cierto, tendríamos que hacer todos nuestros cálculos en algún marco de referencia preferido. Esto sería muy molesto. Sin embargo, el problema más fundamental es que no tenemos idea de cuál podría ser la velocidad de este cuadro preferido. ¿Se mueve con la tierra? Eso estaría muy centrado en la tierra. ¿Qué tal la velocidad del centro de nuestra galaxia o la velocidad media de todas las galaxias? En lugar de enfrentar el tema de un marco de referencia preferido, los físicos han optado por atenerse al principio de la relatividad.

Figura 4.2: El panel izquierdo muestra la línea mundial en el marco de referencia no imprimado, mientras que el panel derecho la muestra en el cuadro imprimado, que se mueve hacia la derecha a la velocidad U relativa al fotograma no cebado. (El “prime” es solo una etiqueta que nos permite distinguir los ejes correspondientes a los dos marcos de referencia.)

Si un objeto se mueve hacia la izquierda a una velocidad v relativa a un marco de referencia particular, parece estar moviéndose a una velocidad\(\mathrm{v}^{\prime}=\mathrm{v}-\mathrm{U}\) relativa a otro marco de referencia que a su vez se mueve a la velocidad U. Esta es la ley de transformación de velocidad galilea, y se basa en la experiencia cotidiana. Si estás viajando 30 m s ^-1 por la autopista y otro carro te pasa haciendo 40 m s ^-1, entonces el otro carro se mueve más allá de ti a 10 m s ^-1 relativo a tu auto.

La Figura 4.2 muestra cómo la línea mundial de un objeto se representa de manera diferente en los marcos de referencia no imprimado (x, t) y cebado (x′, t′). La diferencia entre la velocidad del objeto y la velocidad del marco cebado (es decir, la diferencia en las inversas de las pendientes de las líneas mundiales correspondientes) es la misma en ambos marcos de referencia en este caso galileo. Esto ilustra la diferencia entre una ley física independiente del marco de referencia (la diferencia entre las velocidades en la relatividad galilea) y el movimiento diferente del objeto en los dos marcos de referencia diferentes.