4.4: Dilatación del Tiempo

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Los relojes estacionarios y móviles funcionan a diferentes velocidades en relatividad. Esto se ilustra en la figura 4.7. El triángulo ABC en el panel izquierdo de la figura 4.7 puede ser utilizado para ilustrar este punto. Supongamos que la línea que pasa por los eventos A y C en esta figura es la línea mundial de un observador estacionario. En tiempo cero otro observador que se mueve con velocidad V pasa al observador estacionario. La línea mundial del observador en movimiento pasa por los eventos A y B.

Figura 4.7: Dos vistas de la relación entre tres eventos, A, B y C. El panel izquierdo muestra la vista desde el marco de referencia no cebado, en el que A y C están ubicados, mientras que el panel derecho muestra la vista desde el marco imprimado, en el que A y B están coubicados.

Suponemos que los eventos B y C son simultáneos en el resto del marco, por lo que ABC es un triángulo rectángulo. La aplicación del teorema de Pitágoras espacio-tiempo rinde así

\[c^{2} T^{\prime 2}=c^{2} T^{2}-X^{2}\label{4.7}\]

Como el segundo observador se mueve a velocidad V, la pendiente de su línea mundial es

\[\frac{c}{V}=\frac{c T}{X}\label{4.8}\]

donde el lado derecho de la ecuación anterior es la pendiente calculada como la subida de la línea mundial cT sobre la carrera X entre los eventos A y B. La eliminación de X entre las dos ecuaciones anteriores da como resultado una relación entre T y T′:

\[T^{\prime}=T\left(1-V^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2} \equiv T / \gamma\label{4.9}\]

donde

\[\gamma=\frac{1}{\left(1-V^{2} / c^{2}\right)^{1 / 2}}\label{4.10}\]

La cantidad\(\gamma\) ocurre tan a menudo en los cálculos relativistas que le damos este símbolo especial. Obsérvese por su definición que\(\gamma \geq 1\).

La ecuación (\ ref {4.9}) nos dice que el tiempo transcurrido para el observador en movimiento es menor que el del observador estacionario, lo que significa que el reloj del observador en movimiento corre más lentamente. Esto se llama el efecto de dilatación del tiempo.

Veamos esta situación desde el marco de referencia del observador en movimiento. En este marco el observador en movimiento se vuelve estacionario y el observador estacionario se mueve en la dirección opuesta, como se ilustra en el panel derecho de la figura 4.7. Por argumentos simétricos, se infiere que el reloj del observador inicialmente estacionario que ahora se mueve hacia la izquierda corre más lentamente en este marco de referencia que el reloj del observador inicialmente en movimiento. Se podría concluir que esto contradice los resultados anteriores. No obstante, el examen del panel derecho de la figura 4.7 muestra que esto no es así. El intervalo cT es aún mayor que el intervalo cT′, debido a que tales intervalos son cantidades relativisticamente invariantes. Sin embargo, los eventos B y C ya no son simultáneos, por lo que no se pueden usar estos resultados para inferir nada sobre la velocidad a la que funcionan los dos relojes en este cuadro. Así, la naturaleza relativa del concepto de simultaneidad nos salva de una paradoja incipiente, y vemos que las velocidades relativas a las que corren los relojes dependen del marco de referencia en el que se observan estas velocidades.