4.3: Postulados de la Relatividad Especial

Como aprendimos anteriormente, el principio de relatividad establece que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos de referencia inerciales. El principio de relatividad se aplica a la relatividad einsteiniana tal como se aplica a la relatividad galilea.

Observe que la constancia de la velocidad de la luz en todos los marcos de referencia es consistente con el principio de relatividad. Sin embargo, como se señaló anteriormente, es inconsistente con nuestras nociones de cómo se suman las velocidades, o alternativamente, cómo pensamos que debería verse el mundo a partir de los marcos de referencia que se mueven a diferentes velocidades. Hemos llamado a la forma clásica de entender la visión desde diferentes marcos de referencia relatividad galilea. La nueva forma que reconcilia el comportamiento de los objetos que se mueven a velocidades muy altas se llama relatividad einsteiniana. La gran contribución de Einstein fue descubrir las leyes que nos dicen cómo se ve el mundo a partir de marcos de referencia que se mueven a altas velocidades entre sí. Estas leyes constituyen una geometría del espacio-tiempo, y de ellas se pueden derivar todas las de relatividad especial.

Todos los hechos observados sobre el espacio-tiempo pueden derivarse de dos postulados:

Figura 4.4: Triángulo para el teorema de Pitágoras en el espacio-tiempo.

• El hecho de que dos eventos sean simultáneos depende del marco de referencia desde el que se visualicen.
• El espacio-tiempo obedece a un teorema de Pitágoras modificado, que da la distancia, I, en espacio-tiempo o intervalo espacio-tiempo como

\[I^{2}=X^{2}-c^{2} T^{2}\label{4.3}\]

donde\(X\),\(T\), y\(I\) se definen en la figura 4.4.

Discutamos estos postulados a su vez.

Simultaneidad

La forma clásica de pensar sobre la simultaneidad está tan arraigada en nuestros hábitos cotidianos que tenemos muchas dificultades para ajustarnos a lo que la relatividad especial tiene que decir sobre este tema. En efecto, entender cómo la relatividad cambia este concepto es la parte más difícil de la teoría; una vez que entiendes esto, ¡estás en camino de dominar la relatividad!

Antes de abordar la simultaneidad, pensemos primero en la colocación. Dos eventos (como A y E en la figura 4.5) se colocan si tienen el mismo valor x. Sin embargo, la colocación es un concepto que depende del marco de referencia. Por ejemplo, George está conduciendo de Boston a Washington, siendo la línea que pasa por los eventos A y D su línea mundial. Justo cuando pasa por Nueva York estornuda (evento A en la figura 4.5). Mientras conduce por Baltimore, vuelve a estornudar (evento D). En el marco de referencia de la tierra, estos dos estornudos no están colocados, ya que están separados por muchos kilómetros. No obstante, en el marco de referencia del auto de George, ocurren en el mismo lugar — ¡asumiendo que George no ha dejado el asiento del conductor!

Observe que dos eventos cualesquiera separados por un intervalo similar al tiempo se colocan en algún marco de referencia. La velocidad del marco de referencia viene dada por la ecuación (4.2.1), donde la pendiente es simplemente la pendiente de la línea mundial que conecta los dos eventos.

En la relatividad galilea, si dos eventos son simultáneos, los consideramos simultáneos en todos los marcos de referencia. Por ejemplo, si dos relojes, uno en Nueva York y otro en Los Ángeles, golpean la hora al mismo tiempo en el marco de referencia terrestre, entonces en la relatividad galilea estos eventos también parecen ser simultáneos a los instrumentos del transbordador espacial mientras vuela sobre Estados Unidos. Sin embargo, si el transbordador espacial se mueve de oeste a este, es decir, de Los Ángeles hacia Nueva York, ¡mediciones cuidadosas demostrarán que el reloj en Nueva York marca la hora antes del reloj en Los Ángeles! Por lo tanto, el punto de vista galileo no es exacto.

Así como la colocación depende del marco de referencia de uno, este resultado muestra que la simultaneidad también depende del marco de referencia. La Figura 4.5 muestra cómo funciona esto. En la figura 4.5 los eventos A y B son simultáneos en el resto o marco de referencia no cebado. Sin embargo, en el marco de referencia cebado, los eventos A y C son simultáneos, y el evento B ocurre en un momento anterior. Si A y B corresponden a los relojes que golpean en Los Ángeles y Nueva York respectivamente, entonces es claro que B debe ocurrir en un momento anterior en el cuadro cebado si efectivamente A y C son simultáneos en ese cuadro.

Figura 4.5: Croquis de ejes de coordenadas para un marco de referencia móvil, x′, ct′. Los significados de los eventos A-E se discuten en el texto. Las líneas inclinadas a ±45 ^o son las líneas mundiales de luz que pasan por el origen.

La línea inclinada que pasa por los eventos A y C en la figura 4.5 se llama la línea de simultaneidad para el marco de referencia cebado. Su pendiente está relacionada con la velocidad, U, del marco de referencia por

\[\text { slope }=U / c \quad \text { (line of simultaneity). }\label{4.4}\]

Observe que esta es la inversa de la pendiente de la línea mundial unida al marco de referencia cebado. Existe así una simetría entre la línea del mundo y la línea de simultaneidad de un marco de referencia móvil —a medida que el marco de referencia se mueve más rápido hacia la derecha, estas dos líneas se cierran como las cuchillas de un par de tijeras en la línea de ^45°.

En la relatividad galilea es bastante obvio lo que queremos decir con dos eventos que son simultáneos: todo se reduce a coordinar relojes portátiles que están sentados uno al lado del otro, y luego moverlos a los lugares deseados. Dos eventos separados en el espacio son simultáneos si ocurren al mismo tiempo en relojes ubicados cerca de cada evento, asumiendo que los relojes han sido coordinados de la manera anterior.

En la relatividad einsteiniana esto no funciona, porque el acto mismo de mover los relojes cambia la velocidad a la que funcionan los relojes. Por lo tanto, es más difícil determinar si dos eventos distantes son simultáneos.

Figura 4.6: Líneas mundiales de dos observadores (O1, O2) y una fuente de luz pulsada (S) equidistante entre ellos. En el marco izquierdo los observadores y la fuente están todos estacionarios. En el marco derecho todos se mueven hacia la derecha a la mitad de la velocidad de la luz. Las líneas discontinuas muestran pulsos de luz emitidos simultáneamente a la izquierda y a la derecha.

En la figura 4.6 se muestra una forma alternativa de determinar experimentalmente la simultaneidad. Dado que sabemos por observación que la luz viaja a la misma velocidad en todos los fotogramas de referencia, los pulsos de luz emitidos por las fuentes de luz en la figura 4.6 llegarán simultáneamente a los dos observadores equidistantes en ambos casos. La línea que pasa por estos dos eventos, A y B, define una línea de simultaneidad tanto para observadores estacionarios como móviles. Para los observadores estacionarios esta línea es horizontal, como en la relatividad galilea. Para los observadores en movimiento la luz tiene que viajar más lejos en el marco de reposo para llegar al observador retrocediendo de la fuente de luz y, por lo tanto, lleva más tiempo en este marco. Así, el evento B en el panel derecho de la figura 4.6 ocurre más tarde que el evento A en el marco de referencia estacionario y la línea de simultaneidad se inclina. Vemos que el postulado de que la luz se mueve a la misma velocidad en todos los marcos de referencia conduce inevitablemente a la dependencia de la simultaneidad en el marco de referencia.

Teorema de Pitágoras del espacio-tiempo

El teorema de Pitágoras del espacio-tiempo difiere del teorema habitual de Pitágoras en dos formas. Primero, el lado vertical del triángulo se multiplica por c. Este es un factor de escala trivial que da al tiempo las mismas unidades que el espacio. Segundo, el lado derecho de la ecuación (\ ref {4.3}) tiene un signo menos en lugar de un signo más. Esto resalta una diferencia fundamental entre el espacio-tiempo y el espacio xyz ordinario en el que vivimos. Se dice que el espacio-tiempo tiene una geometría no euclidiana (pero no curvada); en otras palabras, ¡las reglas normales de geometría que aprendemos en la secundaria no siempre funcionan para el espacio-tiempo!

La principal consecuencia del signo menos en la ecuación (\ ref {4.3}) es que\(\mathrm{I}^{2}\) puede ser negativo y por lo tanto puedo ser imaginario. Además, en el caso especial donde\(\mathrm{X}=\pm \mathrm{cT}\), en realidad tenemos I = 0 aunque X,\(\mathrm{T} \neq 0-\mathrm{i}\). e., la “distancia” entre dos eventos bien separados puede ser cero. Claramente, ¡el espacio-tiempo tiene algunas propiedades raras!

A la cantidad I se le suele llamar intervalo en espacio-tiempo. En términos generales, si\(\mathrm{I}^{2}\) es positivo, el intervalo se llama espacial, mientras que para un negativo\(\mathrm{I}^{2}\), el intervalo se llama timelike.

Un concepto relacionado con el intervalo espacio-tiempo es el tiempo apropiado τ. El tiempo adecuado entre los dos eventos A y C en la figura 4.4 se define por la ecuación

\[\tau^{2}=T^{2}-X^{2} / c^{2}\label{4.5}\]

Observe que I y τ están relacionados por

\[\tau^{2}=-I^{2} / c^{2}\label{4.6}\]

por lo que el intervalo espacio-tiempo y el tiempo adecuado no son conceptos independientes. Sin embargo, tengo las dimensiones de longitud y es real cuando los eventos que definen el intervalo son espaciosos entre sí, mientras que τ tiene las dimensiones del tiempo y es real cuando los eventos son similares al tiempo entre sí. Tanto la ecuación (\ ref {4.3}) como la ecuación (\ ref {4.5}) expresan el teorema de Pitágoras del espacio-tiempo.

Si dos eventos que definen los puntos finales de un intervalo tienen el mismo valor t, entonces el intervalo es la distancia espacial ordinaria entre los dos eventos. Por otro lado, si tienen el mismo valor x, entonces el tiempo adecuado es solo el intervalo de tiempo entre los eventos. Si el intervalo entre dos eventos es espacial, pero los eventos no son simultáneos en el marco de referencia inicial, siempre se pueden hacer simultáneos eligiendo un marco de referencia en el que los eventos se encuentren en la misma línea de simultaneidad. Así, el significado del intervalo en ese caso es solo la distancia entre los eventos en el nuevo marco de referencia. De manera similar, para eventos separados por un intervalo similar al tiempo, el tiempo adecuado es solo el tiempo entre dos eventos en un marco de referencia en el que se colocan los dos eventos.