6.2: Movimiento Circular

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Imagine un objeto restringido por una cuerda unida para moverse en círculo a velocidad constante, como se muestra en el panel izquierdo de la Figura 6.2. Ahora demostramos que la aceleración del objeto es hacia el centro del círculo. La aceleración en este caso especial se llama aceleración centrípeta.

Figura 6.2: Dos vistas diferentes del movimiento circular de un objeto. El panel izquierdo muestra la vista desde el marco de referencia inercial en reposo con el centro del círculo. La tensión en la cuerda es la única fuerza y provoca una aceleración hacia el centro del círculo. El panel derecho muestra la vista desde un marco acelerado en el que el objeto está en reposo. En este marco la tensión en la cuerda equilibra la fuerza centrífuga, que es la fuerza inercial que surge de estar en un marco de referencia acelerado, dejando cero fuerza neta.

La Figura 6.3 muestra la posición del objeto en dos tiempos espaciados por el intervalo de tiempo\(\Delta \mathrm{t}\). El vector de posición del objeto relativo al centro del círculo gira a través de un ángulo\(\Delta \theta\) durante este intervalo, por lo que la velocidad angular de revolución del objeto alrededor del centro es\(\omega=\Delta \theta / \Delta t\). La magnitud de la velocidad del objeto es\(v\), por lo que el objeto se mueve una distancia\(v \Delta t\) durante el intervalo de tiempo. En la medida en que esta distancia es pequeña en comparación con el radio\(r\) del círculo, el ángulo\(\Delta \theta=v \Delta t / r\). Resolviendo para v y usando\(\omega=\Delta \theta / \Delta t\), vemos que

\[v=\omega r \quad(\text { circular motion }) .\label{6.6}\]

La dirección del vector de velocidad cambia a lo largo de este intervalo, a pesar de que la magnitud v permanece igual. La Figura 6.3 muestra que este cambio de dirección implica una aceleración a la cual se dirige hacia el centro del círculo, como se señaló anteriormente. La magnitud del cambio vectorial en la velocidad en el intervalo de tiempo\(\Delta \text { is } a \Delta t \text { . }\). Dado que el ángulo entre las velocidades inicial y final es el mismo que el ángulo\(\Delta \theta\) entre los vectores de radio inicial y final, vemos a partir de la geometría del triángulo en la figura 6.3 que\(\mathrm{a} \Delta \mathrm{t} / \mathrm{v}=\Delta \theta\). Resolviendo para un resultado en

\[a=\omega v \quad(\text { circular motion }) .\label{6.7}\]

Figura 6.3: Croquis de definición para computación de aceleración centrípeta.

Combinando ecuaciones (\ ref {6.6}) y (\ ref {6.7}) produce la ecuación para la aceleración centrípeta:

\[a=\omega^{2} r=v^{2} / r \quad \text { (centripetal acceleration). }\label{6.8}\]

La segunda forma se obtiene eliminando\(\omega\) de la primera forma usando la ecuación (\ ref {6.6}).