8.3: Trabajo y Poder

Cuando se ejerce una fuerza sobre un objeto, la energía se transfiere al objeto. La cantidad de energía transferida se llama el trabajo realizado sobre el objeto. Sin embargo, la energía solo se transfiere si el objeto se mueve. El trabajo W hecho es

\[W=F \Delta x\label{8.11}\]

donde la distancia movida por el objeto es Δ x y la fuerza ejercida sobre él es F. Observe que el trabajo puede ser positivo o negativo. El trabajo es positivo si el objeto sobre el que se actúa se mueve en la misma dirección que la fuerza, ocurriendo un trabajo negativo si el objeto se mueve opuesto a la fuerza.

La ecuación (\ ref {8.11}) asume que la fuerza permanece constante durante el desplazamiento completo Δ x. Si no lo es, entonces es necesario dividir el desplazamiento en una serie de desplazamientos menores, sobre cada uno de los cuales se puede suponer que la fuerza es constante. El trabajo total es entonces la suma de las obras asociadas a cada pequeño desplazamiento.

Si más de una fuerza actúa sobre un objeto, las obras debido a las diferentes fuerzas cada una suman o restan energía, dependiendo de si son positivas o negativas. El trabajo total es la suma de estas obras individuales.

Hay dos casos especiales en los que el trabajo realizado sobre un objeto se relaciona con otras cantidades. Si\(F\) es la fuerza total actuando sobre el objeto, entonces\(\mathrm{W}=\mathrm{F} \Delta \mathrm{x}=\mathrm{ma} \Delta \mathrm{x}\) por la segunda ley de Newton. Sin embargo,\(\mathrm{a}=\mathrm{dv} / \mathrm{dt}\) dónde\(v\) está la velocidad del objeto, y\(\Delta \mathrm{x}=(\Delta \mathrm{x} / \Delta \mathrm{t}) \Delta \mathrm{t} \approx \mathrm{v} \Delta \mathrm{t}\), donde Δt es el tiempo requerido por el objeto para moverse a través de la distancia Δx. La aproximación se vuelve exacta cuando Δx y Δt se vuelven muy pequeñas. Armando todo esto da como resultado

\[W_{\text {total }}=m \frac{d v}{d t} v \Delta t=\frac{d}{d t}\left(\frac{m v^{2}}{2}\right) \Delta t=\Delta K \quad \text { (total work) }\label{8.12}\]

donde K es la energía cinética del objeto. Así, cuando F es la única fuerza,\(W=W_{\text {total }}\) es el trabajo total sobre el objeto, y esto equivale al cambio en la energía cinética del objeto. Esto se llama teorema trabajo-energía, y demuestra que el trabajo realmente es una transferencia de energía a un objeto.

El otro caso especial ocurre cuando la fuerza es conservadora, pero no es necesariamente la fuerza total que actúa sobre el objeto. En este caso

\[W_{\text {cons }}=-\frac{d U}{d x} \Delta x=-\Delta U \quad \text { (conservative force) }\label{8.13}\]

donde Δ U es el cambio en la energía potencial del objeto asociado a la fuerza de interés.

La potencia asociada a una fuerza es simplemente la cantidad de trabajo realizado por la fuerza dividida por el intervalo de tiempo Δ t sobre el cual se realiza. Por lo tanto, es la energía por unidad de tiempo transferida al objeto por la fuerza de interés. De la ecuación (\ ref {8.11}) vemos que el poder es

\[P=\frac{F \Delta x}{\Delta t}=F v \quad \text { (power) }\label{8.14}\]

donde v es la velocidad a la que se mueve el objeto. El poder total es sólo la suma de los poderes asociados a cada fuerza. Es igual a la tasa de tiempo de cambio de la energía cinética del objeto:

\[P_{\text {total }}=\frac{W_{\text {total }}}{\Delta t}=\frac{d K}{d t} \quad \text { (total power). }\label{8.15}\]