8.4: Mecánica y Óptica Geométrica

Louis de Broglie hizo una analogía entre las ondas de materia y las ondas de luz, señalando que los paquetes de ondas de luz cambian su velocidad como resultado de variaciones espaciales en el índice de refracción del medio en el que están viajando. Este comportamiento se produce debido a que la relación de dispersión para la luz que viaja a través de un medio con índice de refracción n es\(\omega=\operatorname{kc} / n\), de manera que la velocidad del grupo,\(u_{g}=d \omega / d k=c / n\). Así, cuando n aumenta,\(\mathrm{u}_{\mathrm{g}}\) disminuye, y viceversa.

En esta sección perseguimos la analogía de Broglie para ver si podemos llegar a una teoría de las ondas de la materia que dé los mismos resultados que la mecánica clásica en el límite de óptica geométrica de estas ondas. La relación de dispersión para las ondas de materia libre es\(\omega=\left(k^{2} c^{2}+\mu^{2}\right)^{1 / 2}\). En el límite no relativista\(k^{2} c^{2} \ll \mu^{2}\). Como se hizo anteriormente, usamos\((1+\epsilon)^{n} \approx 1+n \epsilon\) para pequeños\(\epsilon\). En el límite no relativista, la relación de dispersión para las ondas libres se convierte así

\[\omega=\mu\left(1+k^{2} c^{2} / \mu^{2}\right)^{1 / 2} \approx \mu+k^{2} c^{2} /(2 \mu)\label{8.16}\]

La ecuación anterior se puede transformar en la ecuación de energía total para una partícula libre, no relativista\(\mathrm{E}=\mathrm{mc}^{2}+\mathrm{K}\), donde\(\mathrm{mc}^{2}\) está la energía de reposo y\(K\) es la energía cinética, multiplicando por\(\hbar\). Convertimos la ecuación de energía de partícula libre en la ecuación para una partícula sujeta a una fuerza conservadora agregando la energía potencial U en el lado derecho. El cambio análogo a la ecuación (\ ref {8.16}) es sumar\(\mathrm{S}=\mathrm{U} / \hbar\) al lado derecho, dando como resultado una relación de dispersión modificada:

\[\omega=S(x)+k^{2} c^{2} /(2 \mu)\label{8.17}\]

(Dado que la energía de descanso es solo una constante, la hemos absorbido en S.) Esto nos da la relación de dispersión para ondas de materia unidimensionales sujetas a una energía potencial espacialmente variable. La cantidad S, que vemos es solo una energía potencial escalada, juega un papel para las ondas de materia que es análogo al papel desempeñado por un índice de refracción espacialmente variable para las ondas de luz.

Imaginemos ahora que todas las partes de la onda gobernadas por esta relación de dispersión oscilan en fase. La única forma en que esto puede suceder\(\omega\) es si es constante, es decir, adquiere el mismo valor en todas las partes de la ola.

Si\(\omega\) es constante, la única forma en que S puede variar con x en la ecuación (\ ref {8.17}) es si el número de onda varía de manera compensatoria. Así, la frecuencia constante y el S espacialmente variable juntos implican eso\(\mathrm{k}=\mathrm{k}(\mathrm{x})\). Resolviendo la ecuación (\ ref {8.17}) para k rendimientos

\[k(x)=\pm\left[\frac{2 \mu[\omega-S(x)]}{c^{2}}\right]^{1 / 2}\label{8.18}\]

Dado que\(\omega\) es constante, el número de onda se vuelve más pequeño y la longitud de onda más grande a medida que la onda se mueve hacia una región de S aumentado.

En el límite de la óptica geométrica, asumimos que S no cambia mucho a lo largo de una longitud de onda, de modo que la onda permanece razonablemente sinusoidal en forma con un número de onda aproximadamente constante en unas pocas longitudes de onda. Sin embargo, en distancias de muchas longitudes de onda se permite que el número de onda y la amplitud de la onda varíen considerablemente.

La velocidad de grupo calculada a partir de la relación de dispersión dada por la ecuación (\ ref {8.17}) es

\[u_{g}=\frac{d \omega}{d k}=\frac{k c^{2}}{\mu}=\pm\left(\frac{2 c^{2}(\omega-S)}{\mu}\right)^{1 / 2}\label{8.19}\]

donde k se elimina en el último paso con la ayuda de la ecuación (\ ref {8.18}). La ecuación resultante nos dice cómo varía la velocidad del grupo a medida que una onda de materia atraviesa una región de S. que varía lentamente. Así, a medida que S aumenta,\(\mathrm{u}_{\mathrm{g}}\) disminuye y viceversa.

Ahora podemos calcular la aceleración de un paquete de ondas resultante de la variación espacial en S. Suponemos que x (t) representa la posición del paquete de ondas, así que eso\(\mathrm{u}_{\mathrm{g}}=\mathrm{d} \mathrm{x} / \mathrm{dt}\). Usando la regla de la cadena\(\mathrm{du}_{\mathrm{g}} / \mathrm{dt}=\left(\mathrm{du}_{\mathrm{g}} / \mathrm{dx}\right)(\mathrm{d} \mathrm{x} / \mathrm{dt})=\left(\mathrm{du}_{\mathrm{g}} / \mathrm{dx}\right) \mathrm{u}_{\mathrm{g}}\), encontramos

\[a=\frac{d u_{g}}{d t}=\frac{d u_{g}}{d x} u_{g}=\frac{d u_{g}^{2} / 2}{d x}=-\frac{c^{2}}{\mu} \frac{d S}{d x}=-\frac{\hbar}{m} \frac{d S}{d x}\label{8.20}\]

La velocidad del grupo se elimina a favor de S al cuadrar la ecuación (\ ref {8.19}) y sustituyendo el resultado por la ecuación (\ ref {8.20}).

Recordando eso\(\mathrm{U}=\hbar \mathrm{S}\), la ecuación (\ ref {8.20}) se convierte en

\[a=-\frac{1}{m} \frac{d U}{d x}=\frac{F}{m}\label{8.21}\]

¡que es solo la segunda ley de Newton! Así, el enfoque de óptica geométrica para el movimiento de partículas es completamente equivalente a la mecánica clásica de una partícula que se mueve bajo la influencia de una fuerza conservadora, al menos en una dimensión. Por lo tanto, tenemos dos formas de resolver el movimiento de una partícula sujeta a una energía potencial U (x). Podemos aplicar los principios de la mecánica clásica para obtener la fuerza y la aceleración de la partícula, de la cual podemos derivar el movimiento. Alternativamente, podemos aplicar los principios de la óptica geométrica para calcular la velocidad espacialmente variable del paquete de ondas usando la ecuación (\ ref {8.19}). Los resultados son completamente equivalentes, aunque los métodos son conceptualmente muy diferentes.