11.8: Problema

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Mostrar usando la forma componente del producto cruzado dado por la ecuación (11.4) que A × B = - B × A.
Una masa M se desliza sobre una mesa sin fricción, pero está unida a una cuerda que pasa a través de un orificio en el centro de la mesa como se muestra en la figura 11.8. La cuerda se dibuja gradualmente para que la masa trazar un patrón en espiral como se muestra en la figura 11.8. La distancia inicial de la masa desde el agujero en la tabla es R y su velocidad tangencial inicial es v. Después de dibujar la cuerda, la masa es una distancia R′ del agujero y su velocidad tangencial es v′.
1. Dado R, v, y R′, encontrar v′.
2. Calcular el cambio en la energía cinética de la masa al pasar del radio R al radio R′.
3. Si el cambio anterior es distinto de cero, determine de dónde vino la energía extra. Figura 11.8: Trayectoria de una masa sobre una mesa sin fricción unida a una cuerda que pasa a través de un agujero en la mesa. La cadena está dibujando la masa en.
Un automóvil de masa 1000 kg se dirige hacia el norte por una carretera a 30 m s ^-1 que pasa 2 km al este del centro de la ciudad.
1. Calcular el momento angular del automóvil sobre el centro de la ciudad cuando el automóvil está directamente al este de la ciudad.
2. Calcular el momento angular del automóvil sobre el centro de la ciudad cuando se encuentra a 3 km al norte del punto anterior.
El aparato ilustrado en la figura 11.9 se utiliza para elevar un cubo de masa M fuera de un pozo.
1. ¿Qué fuerza F debe ejercerse para evitar que el cucharón vuelva a caer al pozo?
2. Si el cubo se eleva lentamente una distancia d, ¿qué trabajo se realiza en el cubo por la cuerda unida a él?
3. ¿Qué trabajo realiza la fuerza F sobre el mango en el caso anterior? Figura 11.9: Una manivela sobre un eje fijo gira un tambor, enrollando así la cuerda alrededor del tambor y elevando la masa.
Derive ecuaciones a continuación.
1. \(K_{\text {total }}=K_{\text {trans }}+K_{\text {intern }}=\left[M_{\text {total }} V_{c m}^{2} / 2\right]+\left[M_{1} v_{1}^{\prime 2} / 2+M_{2} v_{2}^{\prime 2} / 2\right] \text { . }\)
2. \(\mathbf{L}_{\text {total }}=\mathbf{L}_{\text {orb }}+\mathbf{L}_{\text {spin }}=\left[M_{\text {total }} \mathbf{R}_{c m} \times \mathbf{V}_{c m}\right]+\left[M_{1} \mathbf{r}_{1}^{\prime} \times \mathbf{v}_{1}^{\prime}+M_{2} \mathbf{r}_{2}^{\prime} \times \mathbf{v}_{2}^{\prime}\right]\)
Una masa M es sostenida por la estructura que se muestra en la figura 11.10. La viga de soporte tiene una masa insignificante. Encuentra la tensión T en el cable diagonal. Pista: Calcular el par neto sobre la viga de soporte alrededor del punto A debido a la tensión T y al peso de la masa M. Figura 11.10: Una masa es soportada por la tensión en el cable diagonal. La viga de soporte es libre de pivotar en el punto A.
Un sistema consta de dos estrellas, una de masa M moviéndose con velocidad v ₁ = (0, v, 0) en la posición r ₁ = (d, 0, 0), la otra de masa 2M con velocidad cero en el origen.
1. Encuentra el centro de la posición de masa y la velocidad del sistema de dos estrellas.
2. Encuentra el momento angular de giro del sistema.
3. Encuentra la energía cinética interna del sistema. Figura 11.11: Una masa es soportada por dos cadenas. Figura 11.12: Una escalera apoyada contra una pared se mantiene en su lugar la fuerza F que actúa sobre la base de la escalera.
Un disco sólido está rodando por una rampa inclinada un ángulo θ desde la horizontal. Calcular la aceleración del disco por la rampa y compararla con la aceleración de un bloque que se desliza por la rampa sin fricción.
Una masa M está suspendida del techo por dos cuerdas como se muestra en la figura 11.11. Encuentra las tensiones en las cuerdas.
Un hombre de masa M es una distancia D por una escalera de longitud L que forma un ángulo\(\theta\) con respecto a la pared vertical como se muestra en la figura 11.12. Tomar la masa de la escalera para que sea insignificante. Encuentre la fuerza F necesaria para evitar que la escalera se deslice si la pared y el piso no tienen fricción y, por lo tanto, solo pueden ejercer fuerzas normales A y B en la escalera.