12.1: Análisis Energético

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Figura 12.2: Energía potencial, cinética y total de un oscilador armónico representado en función del desplazamiento del resorte x.

La energía potencial del sistema masa-resorte es

\[U(x)=k x^{2} / 2\label{12.1}\]

que podrá verificarse señalando que la fuerza jurídica del Hooke se deriva de esta energía potencial:\(F=-d\left(k x^{2} / 2\right) d x=-k x\). Esto se muestra en la figura 12.2. Dado que existe una energía potencial, la energía total\(\mathrm{E}=\mathrm{K}+\mathrm{U}\) se conserva, es decir, es constante en el tiempo. Si se conoce la energía total, esto proporciona una herramienta útil para determinar cómo varía la energía cinética con la posición x de la masa\(M: K(x)=E-U(x)\). Dado que la energía cinética se expresa (no relativisticamente) en términos de la velocidad u as\(\mathrm{K}=\mathrm{Mu}^{2} / 2\), la velocidad en cualquier punto de la gráfica de la figura 12.2 es

\[u=\pm\left(\frac{2(E-U)}{M}\right)^{1 / 2}\label{12.2}\]

Ante todo esto, es bastante evidente cómo se mueve la masa. De la ley de Hooke, la masa siempre se acelera hacia la posición de equilibrio, x = 0. Sin embargo, en cualquier punto la velocidad puede ser ya sea a la izquierda o a la derecha. En los puntos donde\(U(x)=E\), la energía cinética es cero. Esto ocurre en los puntos de inflexión

\[x_{T P}=\pm\left(\frac{2 E}{k}\right)^{1 / 2}\label{12.3}\]

Si la masa se mueve hacia la izquierda, se ralentiza a medida que se acerca al punto de inflexión izquierdo. Se detiene cuando llega a este punto y comienza a moverse hacia la derecha. Acelera hasta que pasa la posición de equilibrio y luego comienza a desacelerar, deteniéndose en el punto de inflexión derecho, acelerando hacia la izquierda, etc. La masa oscila así entre los puntos de inflexión izquierdo y derecho. (Tenga en cuenta que las ecuaciones (\ ref {12.2}) y (\ ref {12.3}) solo son ciertas para el oscilador armónico.)

¿Cómo depende el periodo de la oscilación de la energía total del sistema? Observe que a partir de la ecuación (\ ref {12.2}) la velocidad máxima de la masa (i. e., la velocidad a x = 0) es igual a\(\mathrm{u}_{\max }=(2 \mathrm{E} M)^{1 / 2}\). La velocidad promedio debe ser alguna fracción de este valor máximo. Adivina aquí que es la mitad de la velocidad máxima:

\[u_{\text {average }} \approx \frac{u_{\max }}{2}=\left(\frac{E}{2 M}\right)^{1 / 2} \quad(\text { approximate }) .\label{12.4}\]

Sin embargo, la distancia d que la masa tiene que recorrer para una oscilación completa es el doble de la distancia entre los puntos de inflexión, o\(\mathrm{d}=4(2 \mathrm{E} / \mathrm{k})^{1 / 2}\). Por lo tanto, el periodo de oscilación debe ser aproximadamente

\[T=\frac{d}{u_{\text {average }}} \approx 4\left(\frac{2 E}{k}\right)^{1 / 2}\left(\frac{2 M}{E}\right)^{1 / 2}=8\left(\frac{M}{k}\right)^{1 / 2} \quad \text { (approximate) }\label{12.5}\]