12.2: Análisis usando las leyes de Newton

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La aceleración de la masa en cualquier momento viene dada por la segunda ley de Newton:

\[a=\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{F}{M}=-\frac{k x}{M}\label{12.6}\]

Una ecuación de este tipo se conoce como ecuación diferencial ya que implica una derivada de la variable dependiente x Las ecuaciones de este tipo son generalmente más difíciles de resolver que las ecuaciones algebraicas, ya que no existen técnicas universales para resolver todas las formas de tales ecuaciones. De hecho, es justo decir que las soluciones de la mayoría de las ecuaciones diferenciales se obtuvieron originalmente ¡adivinando!

Ya tenemos la base sobre la que hacer una suposición inteligente para la solución a la ecuación (\ ref {12.6}) ya que sabemos que la masa oscila de un lado a otro con un periodo que es independiente de la amplitud de la oscilación. Una función que podría llenar la factura es la función coseno. Intentemos sustituir\(x=\cos (\omega t)\), donde\(\omega\) hay una constante, en esta ecuación. La segunda derivada de x con respecto a\(t\) es\(-\omega^{2} \cos (\omega t)\), por lo que realizar esta sustitución da como resultado

\[-\omega^{2} \cos (\omega t)=-\frac{k}{M} \cos (\omega t)\label{12.7}\]

Observe que la función coseno se cancela, dejándonos con\(-\omega^{2}=-k / M\). La conjetura funciona así si establecemos

\[\omega=\left(\frac{k}{M}\right)^{1 / 2}\label{12.8}\]

La constante\(\omega\) es la frecuencia de oscilación angular para el oscilador, de la cual inferimos que el período de oscilación será\(\mathrm{T}=2 \Pi(\mathrm{Mk})^{1 / 2}\). Esto concuerda con el resultado aproximado anterior de la ecuación 12.5, excepto que la aproximación tiene un factor numérico de 8 en lugar de\(2 \Pi \approx 6\). Así, ¡la suposición anterior solo está apagada por aproximadamente\(30 \%\)!

Es fácil demostrar que también\(x=B \cos (\omega t)\) es una solución de ecuación (\ ref {12.6}), donde B es cualquier constante y\(\omega=(\mathrm{k} / \mathrm{M})^{1 / 2}\). Esto confirma que la frecuencia de oscilación y el período son independientes de la amplitud. Además, la función seno es igualmente válida como solución:\(x=A \sin (\omega t)\), donde A es otra constante. De hecho, la solución más general posible es sólo una combinación de estos dos, es decir,

\[x=A \sin (\omega t)+B \cos (\omega t)=C \cos (\omega t-\phi)\label{12.9}\]

Los valores de A y B dependen de la posición y velocidad de la masa en el tiempo t = 0. El lado derecho de la ecuación (\ ref {12.9}) muestra una forma alternativa de escribir la solución general del oscilador armónico que utiliza una función coseno con un factor de fase\(\phi\).