2: Escalas y transformaciones

David DiBiase

2.1. Visión general

El capítulo 1 esbozó varias de las propiedades distintivas de los datos geográficos. Una es que los datos geográficos son necesariamente generalizados, y esa generalización tiende a variar con la escala. Una segunda propiedad distintiva es que la forma compleja y casi esférica de la Tierra complica los esfuerzos para especificar posiciones exactas en la superficie de la Tierra. Este capítulo explora las implicaciones de estas propiedades iluminando conceptos de escala, geometría de la Tierra, sistemas de coordenadas, los “datums horizontales” que definen la relación entre los sistemas de coordenadas y la forma de la Tierra, y los diversos métodos para transformar datos de coordenadas entre cuadrículas 3D y 2D, y de un dato a otro.

Comparado con el Capítulo 1, el Capítulo 2 puede parecer largo, técnico y abstracto, particularmente para aquellos para quienes estos conceptos son nuevos. Los estudiantes registrados notarán que hemos asignado más tiempo para trabajar en el capítulo y los cuestionarios asociados. Siete cuestionarios de práctica están disponibles en ANGEL para ayudar a los estudiantes registrados a controlar estos conceptos. El capítulo 2 también incluye un cuestionario calificado en el mismo formato de libro abierto que los cuestionarios de práctica. Si te va razonablemente bien en los cuestionarios de práctica, también deberías hacerlo lo suficientemente bien en el cuestionario calificado.

Objetivos

Los alumnos que completen exitosamente el Capítulo 2 deberán ser capaces de:

1. Demostrar su capacidad para especificar ubicaciones geoespaciales usando coordenadas geográficas;
2. Convertir coordenadas geográficas entre dos formatos diferentes;
3. Explicar el concepto de un dato horizontal;
4. Calcular el cambio en una ubicación de coordenadas debido a un cambio de un dato horizontal a otro;
5. Estimar la magnitud del “desplazamiento de referencia” asociado con el ajuste de NAD 27 a NAD 83;
6. Reconocer el tipo de transformación que sea apropiado para georegistrar dos o más conjuntos de datos;
7. Describir las características del sistema de coordenadas UTM, incluyendo su base en la proyección cartográfica Transversal de Mercator;
8. Trazar coordenadas UTM en un mapa;
9. Describir las características del sistema SPC, incluyendo la proyección cartográfica en la que se basa;
10. Convertir coordenadas geográficas en coordenadas SPC;
11. Interpretar diagramas de distorsión para identificar las propiedades geométricas de la esfera que son preservadas por una proyección particular; y
12. Clasificar retículas proyectadas por familia de proyección.

2.2. Lista de comprobación

La siguiente lista de verificación es para estudiantes de Penn State que están registrados para clases en las que se les ha asignado este texto, así como cuestionarios y proyectos asociados en el sistema de gestión de cursos ANGEL. Puede resultarle útil imprimir primero esta página para que pueda seguir las instrucciones.

2.3. Escala

Específicamente, en esta parte del Capítulo 2 aprenderás a:

1. Calcular la escala del mapa usando fracciones representativas.
2. Describir la relación general entre la escala del mapa, el detalle y la precisión.

2.4. Escalar como alcance

A menudo, “escala” se usa como sinónimo de “alcance” o “extensión”. Por ejemplo, el título de un proyecto de investigación internacional llamado The Large Scale Biosphere-Atmosphere Experiment in Amazonia (1999) utiliza el término “gran escala” para describir un estudio integral de los sistemas ambientales que operan en una gran región. Este uso es común no solo entre científicos y activistas ambientales, sino también entre economistas, políticos y prensa. Aquellos de nosotros que nos especializamos en información geográfica usualmente usamos la palabra “escala” de manera diferente, sin embargo.

2.5. Escala de Mapa y Foto

Cuando las personas que trabajan con mapas e imágenes aéreas utilizan la palabra “escala”, suelen estar hablando de los tamaños de las cosas que aparecen en un mapa o una foto aérea, en relación con los tamaños reales de esas cosas en el suelo.

La escala del mapa es la proporción entre una distancia en un mapa y una distancia correspondiente en el suelo:
(Dm/Dg).

Por convención, la proporción se expresa como una “fracción representativa” en la que la distancia del mapa (Dm) se reduce a 1. La proporción, o relación, también se expresa típicamente en la forma 1: Dg en lugar de 1/Dg.

La fracción representativa 1:100 ,000, por ejemplo, significa que un tramo de carretera que mide 1 unidad de longitud en un mapa representa un tramo de carretera en el suelo que tiene 100 mil unidades de longitud.

Si cambiáramos la escala del mapa de tal manera que la longitud del tramo de carretera en el mapa se redujera a, digamos, 0.1 unidades de longitud, habríamos creado un mapa de menor escala cuya fracción representativa es 0. 1:100 ,000, o 1:1 ,000,000. Cuando hablamos de mapas a gran y pequeña escala y datos geográficos, entonces, estamos hablando de los tamaños relativos y niveles de detalle de las características representadas en los datos. En general, cuanto mayor sea la escala del mapa, más detalle se muestra. Esta tendencia se ilustra a continuación.

Los datos geográficos se generalizan según la escala. Haga click en los botones debajo del mapa para hacer zoom y acercarse a la localidad de Gorham. (Adaptado de Thompson, 1988)

Una de las características definitorias de los mapas topográficos es que la escala es consistente en cada mapa y dentro de cada serie de mapas. Esto no es cierto para las imágenes aéreas, sin embargo, a excepción de las imágenes que han sido ortorrectificadas. Como se discute en el Capítulo 6, los mapas a gran escala se derivan típicamente de imágenes aéreas. Uno de los desafíos asociados con el uso de fotos aéreas como fuentes de datos de mapas es que la escala de una imagen aérea varía de un lugar a otro en función de la elevación del terreno que se muestra en la escena. Suponiendo que la aeronave que lleva la cámara mantiene una altura de vuelo constante (lo que los pilotos de dicho avión se esfuerzan mucho en hacer), la distancia entre la cámara y el suelo varía a lo largo de cada trayectoria de vuelo. Esto hace que la escala de fotos de aire sea más grande donde el terreno es más alto y más pequeño donde el terreno es más bajo. Una imagen “ortorrectificada” es aquella en la que se han eliminado las variaciones de escala causadas por variaciones en la elevación del terreno (entre otros efectos).

Se puede calcular la escala promedio de una foto de aire no rectificado resolviendo la ecuación Sp = f/(H-havg), donde f es la distancia focal de la cámara, H es la altura de vuelo de la aeronave sobre el nivel medio del mar, y havg es la elevación promedio del terreno. También se puede calcular la escala de fotografía aérea en un punto determinado resolviendo la ecuación Sp = f/(H-h), donde f es la distancia focal de la cámara, H es la altura de vuelo de la aeronave sobre el nivel medio del mar, y h es la elevación del terreno en un punto dado. Tendrás la oportunidad de practicar el cálculo tanto de la escala del mapa como de la escala de fotos aéreas en un próximo cuestionario de práctica.

2.6. Escalas de mapa gráfico

Otra forma de expresar la escala del mapa es con una escala gráfica (o “barra”). A diferencia de las fracciones representativas, las escalas gráficas permanecen verdaderas cuando los mapas se encogen o magnifican.

Escalas gráficas.

Si incluyen una escala en absoluto, la mayoría de los mapas incluyen una escala de barras como la que se muestra arriba a la izquierda. Algunos también expresan la escala del mapa como una fracción representativa. De cualquier manera, la implicación es que la escala es uniforme en todo el mapa. De hecho, a excepción de los mapas que muestran solo áreas muy pequeñas, la escala varía en cada mapa. Como probablemente sabrán, esto se deduce del hecho de que las posiciones en la Tierra casi esférica deben transformarse en posiciones en hojas de papel bidimensionales. Las transformaciones sistemáticas de este tipo se denominan proyecciones cartográficas. Como discutiremos con mayor profundidad más adelante en este capítulo, todas las proyecciones del mapa van acompañadas de la deformación de las entidades en algunas o todas las áreas del mapa. Esta deformación hace que la escala del mapa varíe a lo largo del mapa. Por lo tanto, las fracciones representativas pueden especificar una escala de mapa a lo largo de una línea en la que la deformación es mínima ( Las escalas de barras denotan solo la escala nominal o promedio del mapa. Las escalas variables, como la ilustrada arriba a la derecha, muestran cómo varía la escala, en este caso por latitud, debido a la deformación causada por la proyección del mapa.

2.7. Escala y precisión del mapa

Una de las características especiales de los datos geográficos es que los fenómenos mostrados en los mapas tienden a representarse de manera diferente a diferentes escalas. Por lo general, a medida que disminuye la escala, también lo hace el número de diferentes entidades, y el detalle con el que se representan. No solo los mapas impresos, sino también los conjuntos de datos geográficos digitales que cubren áreas extensas tienden a ser más generalizados que los conjuntos de datos que cubren áreas limitadas.

La precisión también tiende a variar en proporción con la escala del mapa. El Servicio Geológico de Estados Unidos, por ejemplo, garantiza que las posiciones mapeadas del 90 por ciento de los puntos bien definidos que se muestran en su serie de mapas topográficos a escalas menores a 1:20 ,000 estarán dentro de 0.02 pulgadas de sus posiciones reales en el mapa (ver los Estándares del Programa Geoespacial Nacional y Especificaciones). Observe que este “Estándar Nacional de Precisión de Mapa” depende de la escala. El error permisible de puntos bien definidos (como puntos de control, intersecciones viales y similares) en mapas topográficos a escala 1:250 ,000 es así 1/250,000 = 0.02 pulgadas/Dg o Dg = 0.02 pulgadas x 250,000 = 5,000 pulgadas o 416.67 pies. Ni los mapas a pequeña escala ni los datos digitales derivados de ellos son fuentes confiables de información geográfica detallada.

Las áreas (en gris) descalificadas como sitios potenciales para una instalación de almacenamiento de desechos radiactivos de bajo nivel representadas en un mapa a pequeña escala (original 1:1 ,500,000) enmascaran áreas pequeñas adecuadas lo suficientemente grandes como para contener la instalación de 500 acres (Chem-Nucar Systems, Inc., 1994).

En ocasiones el detalle perdido en los mapas a pequeña escala causa serios problemas. Por ejemplo, un contratista contratado para usar SIG para encontrar un sitio adecuado para una instalación de almacenamiento de desechos radiactivos de bajo nivel en Pensilvania presentó una serie de mapas a escala 1:1 ,500,000 en audiencias públicas en todo el estado a principios de la década de 1990. Se eligió la escala para que las áreas descalificadas de todo el estado pudieran imprimirse en una sola página de 11 x 17 pulgadas. Un reporte que acompañaba al mapa incluía el descargo de responsabilidad de que “es posible que dentro de las regiones que aparecen descalificadas en el [mapa] existan pequeñas áreas de tamaño suficiente para el sitio de la instalación de disposición de LLRW. La información detallada de estas pequeñas áreas se conserva dentro del SIG a pesar de que no se ilustran visualmente...” (Chem-Nucar Systems, Inc. 1993, p. 20). Desafortunadamente para el contratista, los ciudadanos de alerta reconocieron las deficiencias del mapa a pequeña escala, y los periódicos publicaron informes que acusan a la compañía fuera del estado de proporcionar documentos inexactos. Los mapas posteriores se produjeron a una escala lo suficientemente grande como para discernir áreas adecuadas de 500 acres.

2.8. Escala como verbo

El término “escala” se utiliza a veces como verbo. Escalar un mapa es reproducirlo a un tamaño diferente. Por ejemplo, si reduce fotográficamente un mapa a escala 1:100 ,000 al 50 por ciento de su ancho y altura originales, el resultado sería una cuarta parte del área del original. Obviamente la escala del mapa de la reducción también sería menor: 1/2 x 1/100,000 = 1/200,000.

Debido a las inexactitudes inherentes a todos los datos geográficos, particularmente en los mapas de pequeña escala, los especialistas escrupulosos en información geográfica evitan ampliar los mapas de origen. Hacerlo es exagerar generalizaciones y errores. El mapa original utilizado para ilustrar áreas en Pensilvania descalificadas de consideración para el almacenamiento de desechos radiactivos de bajo nivel que se muestra en una página anterior, por ejemplo, se imprimió con la declaración “Debido a la escala del mapa y las consideraciones de impresión, no es apropiado ampliar o mejorar de otra manera la características en este mapa.”

2.9. Escalas de Medición Geoespacial

La palabra “escala” también se puede utilizar como sinónimo de regla, una escala de medición. Debido a que los datos consisten en símbolos que representan mediciones de fenómenos, es importante comprender los sistemas de referencia utilizados para tomar las mediciones en primer lugar. En esta sección consideraremos una escala de medición conocida como el sistema de coordenadas geográficas que se utiliza para especificar posiciones en la superficie aproximadamente esférica de la Tierra. En otras secciones encontraremos sistemas de coordenadas bidimensionales (planos), así como las escalas de medición utilizadas para especificar datos de atributos.

En esta sección del Capítulo 2 usted:

1. Demuestre su capacidad para especificar ubicaciones geoespaciales usando coordenadas geográficas.
2. Convertir coordenadas geográficas entre dos formatos diferentes.

2.10. Sistemas de coordenadas

Un sistema de coordenadas cartesianas.

Como probablemente sabrás, las ubicaciones en la superficie de la Tierra se miden y representan en términos de coordenadas. Una coordenada es un conjunto de dos o más números que especifica la posición de un punto, línea u otra figura geométrica en relación con algún sistema de referencia. El sistema más simple de este tipo es un sistema de coordenadas cartesianas (llamado así por el matemático y filósofo del siglo XVII René Descartes). Un sistema de coordenadas cartesianas es simplemente una cuadrícula formada por yuxtaponer dos escalas de medición, una horizontal (x) y una vertical (y). El punto en el que tanto x como y son iguales a cero se denomina origen del sistema de coordenadas. En la ilustración anterior, el origen (0,0) se ubica en el centro de la cuadrícula. Todas las demás posiciones se especifican en relación con el origen. La coordenada de la esquina superior derecha de la cuadrícula es (6,3). El ángulo inferior izquierdo es (-6, -3). Si esto no está claro, ¡por favor pida una aclaración!

Los sistemas de coordenadas cartesianas y otros bidimensionales (planos) son útiles debido a su simplicidad. Por razones obvias no son perfectamente adecuadas para especificar posiciones geoespaciales, sin embargo. El sistema de coordenadas geográficas está diseñado específicamente para definir posiciones en la superficie áspera y esférica de la Tierra. En lugar de las dos escalas de medición lineal x e y, los sistemas de coordenadas geográficas yuxtaponen dos escalas de medición curvas. La escala este-oeste, llamada longitud (convencionalmente designada por el símbolo griego lambda), oscila entre +180° y -180°. Debido a que la Tierra es redonda, +180° (o 180° E) y -180° (o 180° W) son la misma línea de rejilla. Esa línea de cuadrícula es aproximadamente la Línea Internacional de Fecha, que tiene desvíos que pasan alrededor de algunos territorios y grupos de islas. Frente a la Línea Internacional de Fecha se encuentra el meridiano principal, la línea de longitud definida por el tratado internacional como 0°. La escala norte-sur, llamada latitud (designada por el símbolo griego phi), va desde +90° (o 90° N) en el polo Norte hasta -90° (o 90° S) en el polo Sur. A continuación veremos más de cerca el sistema de coordenadas geográficas.

El sistema de coordenadas geográficas (o “geodésicas”).

2.11. Sistema de coordenadas geográficas

El sistema de coordenadas geográficas.

La longitud especifica las posiciones este y oeste como el ángulo entre el meridiano principal y un segundo meridiano que cruza el punto de interés. La longitud varía de +180 (o 180° E) a -180° (o 180° W). La longitud de 180° este y oeste juntas forman la Línea Internacional de Fecha.

Latitud especifica las posiciones norte y sur en términos del ángulo subtendido en el centro de la Tierra entre dos líneas imaginarias, una que cruza el ecuador y otra que cruza el punto de interés. La latitud varía de +90° (o 90° N) en el polo norte a -90° (o 90° S) en el polo sur. Una línea de latitud también se conoce como paralelo.

En latitudes más altas, la longitud de los paralelos disminuye a cero a 90° Norte y Sur. Las líneas de longitud no son paralelas, sino que convergen hacia los polos. Así, mientras que un grado de longitud en el ecuador es igual a una distancia de unos 111 kilómetros, esa distancia disminuye a cero en los polos.

2.12. Formatos de coordenadas geográficas

Las coordenadas geográficas pueden expresarse en grados decimales, o en grados, minutos y segundos. En ocasiones es necesario convertir de una forma a otra. Steve Kiouttis (comunicación personal, primavera de 2002), gerente del Programa de Búsqueda y Rescate Urbano de Pensilvania, describió una de esas situaciones en el tablón de anuncios del curso: “Me encontraba en el Centro de Operaciones de Emergencia del estado en Harrisburg la noche del miércoles cuando llegó una llamada del Rescate de la Fuerza Aérea Centro de Coordinación en Dover, DE. Tenían activación de transmisor localizador de emergencia (ELT) y solicitaron a la Patrulla Aérea Civil de la PA investigar. Las coordenadas dadas al oficial de vigilancia fueron 39 52.5 n y -75 15.5 w Esto se trazó incorrectamente (tratado como si las coordenadas estuvieran en grados decimales 39.525n y -75.155 w) y la ubicación parecía estar cerca de Vineland, Nueva Jersey. Me di cuenta que debería haber sido interpretado como 39 grados 52 minutos y 5 segundos n y -75 grados y 15 minutos y 5 segundos w) e hice la conversión (como nos enseñaron en el Capítulo 2) y se me ocurrió una ubicación en los terrenos del Aeropuerto Internacional de Filadelfia, que es donde se encontró el localizador, en un avión estacionado”.

Así es como funciona:

Para convertir -89.40062 de grados decimales a grados, minutos, segundos:

1. Restar el número de grados enteros (89°) del total (89.40062°). (El signo menos se utiliza en el formato de grados decimales sólo para indicar que el valor es una longitud oeste o una latitud sur).
2. Multiplique el resto por 60 minutos (.40062 x 60 = 24.0372).
3. Restar el número de minutos enteros (24′) del producto.
4. Multiplica el resto por 60 segundos (.0372 x 60 = 2.232).
5. El resultado es 89° 24′ 2.232″ W o S.

Para convertir 43° 4′ 31″ de grados, minutos, segundos a grados decimales:
DD = Grados + (Minutos/60) + (Segundos/3600)

1. Divide el número de segundos entre 60 (31 ÷ 60 = 0.5166).
2. Agregar el cociente del paso (1) al número total de minutos (4 + 0.5166).
3. Divide el resultado del paso (2) por 60 (4.5166 ÷ 60 = 0.0753).
4. Agregar el cociente del paso (3) al número de grados de número entero (43 + 0.0753).
5. El resultado es 43.0753°

2.13. Datos de referencia horizontales

Los datos geográficos representan las ubicaciones y atributos de las cosas en la superficie de la Tierra. Las ubicaciones se miden y codifican en términos de coordenadas geográficas (es decir, latitud y longitud) o coordenadas de plano (por ejemplo, UTM). Para medir y especificar coordenadas con precisión, primero se debe definir la geometría de la propia superficie. Para ver a lo que me refiero, imagina un balón de fútbol. Si tú o tus hijos juegan al fútbol probablemente puedas evocar una visión de un mosaico redondo de 20 paneles hexagonales (seis lados) y 12 pentagonales (cinco lados) (los balones de fútbol vienen en muchos diseños diferentes, pero el balón de 32 paneles se usa en la mayoría de los partidos profesionales. Visita soccerballworld.com para más de lo que nunca quisiste saber sobre balones de fútbol). Ahora concéntrese en un punto en una intersección de tres paneles. Podría usar coordenadas esféricas (por ejemplo, geográficas) para especificar la posición de ese punto. Pero si desinfla la pelota, la posición del punto en el espacio cambia, y así deben sus coordenadas. La posición absoluta (aunque no relativa) de un punto en una superficie, entonces, depende de la forma de la superficie.

Cada posición se determina en relación con al menos otra posición. Las coordenadas, por ejemplo, se definen en relación con el origen de la rejilla del sistema de coordenadas. Un topógrafo mide las “esquinas” de un límite de propiedad en relación con un punto de control previamente estudiado. Los topógrafos e ingenieros miden elevaciones en sitios de construcción y en otros lugares. Las elevaciones se expresan en relación a un dato vertical, una superficie de referencia como el nivel medio del mar. Como probablemente sabrás también existe tal cosa como un dato horizontal, aunque esto es más difícil de explicar y de visualizar que el caso vertical. Los datos de referencia horizontales definen la relación geométrica entre una rejilla de sistema de coordenadas y la superficie de la Tierra. Debido a que la forma de la Tierra es compleja, la relación también lo es. El objetivo de esta sección es explicar la relación.

Específicamente, en esta sección del Capítulo 2 aprenderás a:

1. Explicar el concepto de un dato horizontal
2. Calcular el cambio en una ubicación de coordenadas debido a un cambio de un dato horizontal a otro
3. Estimar la magnitud del “desplazamiento de referencia” asociado con el ajuste de NAD 27 a NAD 83

2.14. Geoides

La forma de la Tierra se define como una superficie que se aproxima estrechamente al nivel medio global del mar, pero a través de la cual la gravedad es igual en todas partes. La caricatura del geoide que se muestra arriba no está dibujada a escala. Las irregularidades son muy exageradas
(Adaptado de Smith, 1988).

La precisión de las coordenadas que especifican ubicaciones geográficas depende de cómo se alinee la cuadrícula del sistema de coordenadas con la superficie de la Tierra. Desafortunadamente para quienes necesitan datos geográficos precisos, definir la forma de la superficie de la Tierra es un problema no trivial. Tan complejo es el problema que ha surgido toda una profesión, llamada geodesia, para tratarla.

Los geodesistas definen la superficie de la Tierra como una superficie que se aproxima estrechamente al nivel medio global del mar, pero a través de la cual la gravedad es igual en todas partes. Se refieren a esta forma como el geoide. Los geoides son grumosos porque la gravedad varía de un lugar a otro en respuesta a las diferencias locales en el terreno y a las variaciones en la densidad de materiales en el interior de la Tierra. Los geoides también están un poco en cuclillas. La gravedad del nivel del mar en los polos es mayor que la gravedad del nivel del mar en el ecuador, consecuencia de la forma “oblata” de la Tierra así como de la fuerza centrífuga asociada a su rotación.

Los geodesistas del Estudio Geodésico Nacional de Estados Unidos describen al geoide como una “superficie equipotencial” porque la energía potencial asociada con la atracción gravitacional de la Tierra es equivalente en todas partes de la superficie. Al igual que ajustar una línea de tendencia a través de un grupo de puntos de datos, el geoide es una superficie estadística tridimensional que se ajusta lo más posible a las mediciones de gravedad tomadas en millones de ubicaciones en todo el mundo. A medida que se dispone de mediciones de gravedad adicionales y más precisas, los geodesistas revisan periódicamente el geoide. Algunos modelos geoides se resuelven solo para áreas limitadas; GEOID03, por ejemplo, se calcula solo para el territorio continental de EE. UU.

Recordemos que los datums horizontales definen cómo se alinean las cuadrículas del sistema de coordenadas con la superficie de la Tierra. Mucho antes de que los geodesistas calcularan geoides, los topógrafos usaban sustitutos mucho más simples llamados elipsoides para modelar la forma de la Tierra.

2.15. Elipsoides

Los elipsoides se aproximan al geoide (Adaptado de Smith, 1988).

Un elipsoide es una figura geométrica tridimensional que se asemeja a una esfera, pero cuyo eje ecuatorial (a es la ilustración anterior) es ligeramente más largo que su eje polar (b). El eje ecuatorial del Sistema Geodésico Mundial de 1984, por ejemplo, es aproximadamente 22 kilómetros más largo que el eje polar, proporción que se asemeja mucho al esferoide oblato que es el planeta Tierra. Los elipsoides se utilizan comúnmente como sustitutos de geoides para simplificar las matemáticas involucradas en la relación de una cuadrícula de sistema de coordenadas con un modelo de la forma de la Tierra. Los elipsoides son buenas, pero no perfectas, aproximaciones de geoides. El siguiente mapa muestra las diferencias de elevación entre un modelo geoide llamado GEOID96 y el elipsoide WGS84. La superficie del GEOID96 se eleva hasta 75 metros por encima del elipsoide WGS84 sobre Nueva Guinea (donde el mapa es de color rojo). En el Océano Índico (donde el mapa es de color púrpura), la superficie de GEOID96 cae unos 104 metros por debajo de la superficie elipsoide.

Desviaciones entre elipsoide y geoide (National Geodésico Survey, 1997).

Muchos elipsoides están en uso en todo el mundo. (Peter Dana ha publicado una lista en colorado.edu) Los elipsoides locales minimizan las diferencias entre el geoide y el elipsoide para países o continentes individuales. El elipsoide Clarke 1866, por ejemplo, minimiza las desviaciones en Norteamérica. El Datum norteamericano de 1927 (NAD 27) asocia la cuadrícula de coordenadas geográficas con el elipsoide Clarke 1866. El NAD 27 implicó un ajuste de las coordenadas de latitud y longitud de unas 25,000 ubicaciones de puntos de control geodésicos en Estados Unidos. El ajuste nacional comenzó desde un punto de control inicial en Meades Ranch, Kansas, y estaba destinado a conciliar las discrepancias entre los muchos controles locales y regionales encuestas que le precedieron.

El Datum Norteamericano de 1983 (NAD 83) implicó otro ajuste a nivel nacional, requerido en parte por la adopción de un nuevo elipsoide, llamado GRS 80. A diferencia de Clarke 1866, GRS 80 es un elipsoide global centrado en el centro de masa de la Tierra. GRS 80 es esencialmente equivalente a WGS 84, el elipsoide global en el que se basa el Sistema de Posicionamiento Global. NAD 27 y NAD 83 alinean las rejillas del sistema de coordenadas con elipsoides. Se diferencian simplemente en que se refieren a diferentes elipsoides. Debido a que Clarke 1866 y GRS 80 difieren ligeramente en forma, así como en las posiciones de sus puntos centrales, el ajuste de NAD 27 a NAD 83 implicó un cambio en la cuadrícula de coordenadas geográficas. Debido a que una variedad de datums permanecen en uso, los profesionales geoespaciales necesitan comprender este cambio, así como cómo transformar datos entre datums horizontales.

2.16. Puntos de Control y Cambios de Referencia

En Estados Unidos, las ubicaciones de los puntos de control horizontal de alto orden están marcadas con “monumentos” de metal permanente como el que se muestra arriba. La manifestación física del datum es una red de mediciones de puntos de control (National Geodésico Survey, 2004).

Geoides, elipsoides e incluso sistemas de coordenadas son abstracciones. El hecho de que “datum horizontal” se refiera a una relación entre un elipsoide y un sistema de coordenadas, dos abstracciones, puede explicar por qué el concepto es tan frecuentemente malinterpretado. Sin embargo, los datums tienen manifestaciones físicas.

Se muestra arriba uno de los aproximadamente dos millones de puntos de control horizontales y verticales que se han establecido en EE.UU. Aunque los marcadores de puntos de control son fijos, las coordenadas que especifican sus ubicaciones pueden cambiar. El Servicio Nacional Geodésico de Estados Unidos mantiene una base de datos de las especificaciones de coordenadas de estos puntos de control, incluyendo ubicaciones históricas así como ajustes más recientes. Una ocasión para ajustar las coordenadas del punto de control es cuando se adoptan nuevos datums horizontales. Dado que cada cuadrícula del sistema de coordenadas está alineada con un elipsoide que se aproxima a la forma de la Tierra, las cuadrículas de coordenadas necesariamente cambian cuando un elipsoide es reemplazado por otro. Cuando las cuadrículas del sistema de coordenadas cambian, es necesario ajustar las coordenadas asociadas con los puntos de control fijos. La forma en que damos cuenta de la forma de la Tierra marca la diferencia en la forma en que especificamos ubicaciones.

2.17. Transformaciones de coordenadas

Los especialistas en SIG a menudo necesitan transformar los datos de un sistema de coordenadas y/o datum a otro. Por ejemplo, los datos digitales producidos por mapas de papel de calco sobre una tableta digitalizadora deben transformarse del sistema de coordenadas de plano no georreferenciado de la tableta en un plano georreferenciado o sistema de coordenadas esféricas que pueda georegistrarse con otras “capas” de datos digitales. Los datos de imágenes sin procesar producidos al escanear la superficie de la Tierra desde el espacio tienden a estar sesgados geométricamente como resultado de órbitas satelitales y otros factores; para ser útiles estos también necesitan ser transformados en sistemas de coordenadas georreferenciadas. Incluso los datos de puntos producidos por los receptores GPS, que se miden como coordenadas de latitud y longitud basadas en el dato WGS84, a menudo necesitan transformarse en otros sistemas de coordenadas o datums para que coincidan con las especificaciones del proyecto. En esta sección se describen tres categorías de transformaciones de coordenadas: (1) transformaciones de coordenadas planas; (2) transformaciones de referencia; y (3) proyecciones cartográficas.

Los alumnos que completen con éxito esta sección del Capítulo 2 deberán ser capaces de:

1. Reconocer el tipo de transformación que es apropiado para georegistrar dos o más conjuntos de datos.

2.18. Transformaciones de coordenadas de plano

Algunas transformaciones de coordenadas son simples. Por ejemplo, la transformación de coordenadas de plano no georreferenciadas a coordenadas polares no georreferenciadas que se muestran a continuación implica nada más que la sustitución de un tipo de coordenadas por otra.

La misma posición especificada dentro de dos sistemas de coordenadas de plano no georreferenciados: Cartesiano (izquierda) y polar (derecha) (Adaptado de Iliffe, 2000).

Desafortunadamente, la mayoría de los problemas de transformación de coordenadas planas no son tan simples. Las geometrías de los sistemas de coordenadas planas no georreferenciadas y los sistemas de coordenadas planas georreferenciadas tienden a ser bastante diferentes, principalmente porque los sistemas de coordenadas de plano georreferenciados a menudo se proyectan Como saben, el acto de proyectar una superficie casi esférica sobre un plano bidimensional distorsiona necesariamente la geometría de la superficie esférica original. Específicamente, la escala de un mapa proyectado (o una fotografía aérea no rectificada, para el caso) varía de un lugar a otro. Sin embargo, siempre y cuando el área geográfica de interés no sea demasiado grande, fórmulas como las descritas aquí pueden ser efectivas para transformar una cuadrícula de sistema de coordenadas de plano no georreferenciado para que coincida con una cuadrícula de sistema de coordenadas de plano georreferenciado con una precisión razonable y medible. Aquí no entraremos en la matemática de las transformaciones, ya que las fórmulas se implementan dentro del software GIS. En cambio, esta sección tiene como objetivo familiarizarte con cómo funcionan algunas transformaciones comunes y cómo pueden ser utilizadas.

2.19. Transformaciones de Datum

Las ubicaciones de los puntos se especifican en términos de (a) sus posiciones relativas a alguna rejilla del sistema de coordenadas y (b) sus alturas por encima o por debajo de alguna superficie de referencia. Obviamente, la elevación de un punto estacionario depende del tamaño y la forma de la superficie de referencia (por ejemplo, el nivel medio del mar) en la que se basa la medición de elevación. De la misma manera, la posición de un punto en una rejilla de sistema de coordenadas depende del tamaño y la forma de la superficie sobre la que se cubre la rejilla. La relación entre una cuadrícula y un modelo de la superficie de la Tierra se llama un dato horizontal. Los especialistas en SIG que están llamados a fusionar conjuntos de datos producidos en diferentes momentos y en diferentes partes del mundo necesitan conocer las transformaciones de datum.

NAD 27 a NAD 83

En Estados Unidos los dos datums horizontales más frecuentemente encontrados son el Datum Norteamericano de 1927 (NAD 27) y el Datum Norteamericano de 1983 (NAD 83). El advenimiento del Sistema de Posicionamiento Global requirió una actualización del NAD 27 que incluyó (a) la adopción de un elipsoide geocéntrico, GRS 80, en lugar del elipsoide Clarke 1866; y (b) la corrección de muchas distorsiones que se habían acumulado en el datum más antiguo. Teniendo en cuenta que la realización de un datum es una red de ubicaciones fijas de puntos de control que se han especificado en relación con una misma superficie de referencia, el ajuste de 1983 del Datum de América del Norte provocó los valores de coordenadas de cada punto de control manejado por el Servicio Geodésico Nacional ( NGS) para cambiar. Obviamente los puntos en sí no cambiaron a causa de la transformación del datum (aunque sí se movieron un centímetro o más al año debido a la tectónica de placas). Más bien, las cuadrículas del sistema de coordenadas basadas en el dato desplazado en relación con el nuevo elipsoide. Y debido a que las distorsiones locales se ajustaron al mismo tiempo, la magnitud del desplazamiento de la cuadrícula varía de un lugar a otro. Las siguientes ilustraciones comparan la magnitud de los cambios de cuadrícula asociados con el ajuste NAD 83 en una ubicación y a nivel nacional.

Una esquina del mapa cuadrilátero topográfico a escala 1:24 ,000 para State College PA que muestra la magnitud del desplazamiento de cuadrícula asociado con el ajuste NAD 83. El mapa se basa en NAD 27, pero fue reimpreso con revisiones en 1987, incluyendo la afirmación de que las líneas de la cuadrícula del sistema de coordenadas se desplazan 24 metros oeste y 5 metros sur si se utilizan las coordenadas NAD 83 en lugar de NAD 27.

Magnitud del desplazamiento de cuadrícula asociado con el ajuste NAD 83 para los 48 estados continentales de Estados Unidos. Los cambios varían de 10 a 100 metros en los 48 inferiores (menos en los estados del medio oeste superior) a más de 200 metros en Alaska, y más de 400 metros en Hawái (Dewhurst 1990).

Dada la irregularidad del cambio, NGS no pudo sugerir un algoritmo de transformación simple que los topógrafos y mapeadores pudieran usar para ajustar los datos locales basados en el datum más antiguo. En cambio, NGS creó un programa de software llamado NADCON (Dewhurst 1990, Mulcare 2004) que calcula coordenadas ajustadas a partir de coordenadas de entrada especificadas por el usuario mediante interpolación a partir de un par de cuadrículas de corrección de 15° generadas por NGS a partir de cientos de miles de puntos de control previamente ajustados.

2.20. Proyecciones de mapas

Las coordenadas de latitud y longitud especifican posiciones en una cuadrícula más o menos esférica llamada retícula. Las coordenadas de plano como el oriente y norte en los sistemas Universal Transversal Mercator (UTM) y State Plane Coordinates (SPC) denotan posiciones en cuadrículas aplanadas. Es por ello que las coordenadas de plano georreferenciadas se denominan proyectadas y las coordenadas geográficas se denominan no proyectadas. Las ecuaciones matemáticas utilizadas para transformar las coordenadas de latitud y longitud en coordenadas planas se denominan proyecciones de mapa. Las fórmulas de proyección inversa transforman las coordenadas del plano en geográficas. El tipo de proyección más simple, ilustrado a continuación, transforma la retícula en una cuadrícula rectangular en la que todas las líneas de la cuadrícula son rectas, se cruzan en ángulo recto y están igualmente espaciadas. Las proyecciones más complejas producen rejillas en las que varían las longitudes, formas y espaciado de las líneas de rejilla.

Las proyecciones de mapa son transformaciones matemáticas entre coordenadas geográficas y coordenadas planas.

Si eres un practicante de SIG probablemente te hayas enfrentado a la necesidad de superponer datos de latitud y longitud no proyectados a los datos proyectados, y viceversa. Por ejemplo, es posible que haya necesitado fusionar coordenadas geográficas medidas con un receptor GPS con datos digitales publicados por el USGS que están codificados como coordenadas UTM. El software SIG moderno proporciona herramientas sofisticadas para proyectar y desproyectar datos. Para utilizar dichas herramientas de manera más efectiva es necesario comprender las características de proyección de los conjuntos de datos que pretende fusionar. Examinaremos las proyecciones de mapas con cierto detalle en otra parte de esta lección. Aquí simplemente revisemos las características que se incluyen en la sección “Información de referencia espacial” de los documentos de metadatos que (¡idealmente!) acompañe los conjuntos de datos que desee incorporar en su SIG. Estos incluyen:

• Nombre de Proyección El más común en el ámbito de los SIG es el Mercator Transversal, que sirve como base del sistema global de coordenadas de planos UTM, las cuadrículas nacionales del Reino Unido y las propuestas de Estados Unidos, y muchas zonas en el sistema de coordenadas de plano estatal (SPC) de Estados Unidos. Otras zonas SPC se basan en la proyección Lambert Cónica Conformal, que como muchas proyecciones recibe el nombre de su inventor así como su categoría de proyección (cónica) y las propiedades geométricas que conserva (conformales). Gran parte de los datos cartográficos, particularmente en forma de mapas impresos en papel, se basan en proyecciones “heredadas” (como la Polyconic en Estados Unidos) que ya no se utilizan ampliamente. Una variedad mucho mayor de tipos de proyección tienden a ser utilizados en el mapeo temático a pequeña escala que en el mapeo de referencia a gran escala.
• Meridiano Central Aunque no se muestran masas terrestres, supongamos que la retícula y la cuadrícula proyectada que se muestran arriba están centradas en la intersección del ecuador (0 latitud) y el meridiano primo (0° de longitud). La mayoría de las fórmulas de proyección de mapa incluyen un parámetro que le permite centrar el mapa proyectado en cualquier longitud.
• Latitud del Origen de Proyección Bajo ciertas condiciones, la mayoría de las fórmulas de proyección de mapa permiten especificar diferentes aspectos de la cuadrícula. En lugar del aspecto ecuatorial ilustrado anteriormente, puede especificar un aspecto polar u oblicuo variando la latitud de origen de proyección de tal manera que uno de los polos, o cualquier latitud entre el polo y el ecuador, esté centrado en el mapa proyectado. Como puedes imaginar, la apariencia de la cuadrícula cambia mucho cuando se ve en diferentes aspectos.
• Factor de escala en el meridiano central Esta es la relación entre la escala del mapa a lo largo del meridiano central y la escala en un meridiano estándar, donde la distorsión de escala es cero. El factor de escala en el meridiano central es .9996 en cada una de las 60 zonas del sistema de coordenadas UTM ya que cada una contiene dos líneas estándar 180 kilómetros oeste y este del meridiano central. La distorsión de escala aumenta con la distancia desde líneas estándar en todos los sistemas de coordenadas proyectadas.
• Líneas estándar Algunas proyecciones, incluida la Lambert Cónica Conformal, incluyen parámetros mediante los cuales se pueden especificar una o dos líneas estándar a lo largo de las cuales no hay distorsión de escala causada por el acto de transformar la rejilla esférica en una rejilla plana. Por el mismo razonamiento de que se colocan dos líneas estándar en cada zona UTM para minimizar la distorsión en toda la zona hasta un máximo de una parte en 1000, se colocan dos paralelos estándar en cada zona SPC que se basa en una proyección Lambert de tal manera que la distorsión de escala no es peor que una parte en 10,000 en cualquier lugar en la zona.

2.21. Sistema de coordenadas UTM

A continuación se muestra la esquina suroeste de un mapa topográfico a escala 1:24 .000 publicado por el Servicio Geológico de los Estados Unidos (USGS). Tenga en cuenta que se especifican las coordenadas geográficas (40 45′ N de latitud, 77° 52′ 30″ W de longitud) de la esquina. También se muestran, sin embargo, ticks y etiquetas que representan dos sistemas de coordenadas planas, el sistema Universal Transversal Mercator (UTM) y el sistema State Plane Coordinates (SPC). La marca etiquetada “4515″ representa una línea de cuadrícula UTM (llamada “norte”) que corre paralela a, y 4,515,000 metros al norte de, el ecuador. Las garrapatas etiquetadas como “258″ y “259″ representan líneas de cuadrícula que corren perpendiculares al ecuador y 258,000 metros y 259,000 metros al este, respectivamente, del origen de la cuadrícula UTM Zona 18 Norte. A diferencia de las líneas de longitud, los “oriente” UTM son rectos y no convergen sobre los polos de la Tierra. Todo esto plantea la pregunta, ¿Por qué se muestran múltiples cuadrículas del sistema de coordenadas en el mapa? ¿Por qué no son suficientes las coordenadas geográficas?

Esquina suroeste de un mapa topográfico del USGS que muestra marcas de cuadrícula y etiquetas para tres sistemas de coordenadas diferentes, incluido el sistema de coordenadas UTM. (USGS. “Cuadrángulo de State College, Pensilvania”)

Se puede pensar en un sistema de coordenadas de plano como la yuxtaposición de dos escalas de medición. En otras palabras, si tuvieras que colocar dos reglas en ángulo recto, de tal manera que las marcas “0″ de las reglas se alinearan, definirías un sistema de coordenadas de plano. A los gobernantes se les llama “ejes”. La ubicación absoluta de cualquier punto en el espacio en el sistema de coordenadas de plano se define en términos de mediciones de distancia a lo largo de los ejes x (este-oeste) e y (norte-sur). Una posición definida por las coordenadas (1,1) se ubica una unidad a la derecha, y una unidad hacia arriba del origen (0,0). La cuadrícula UTM es un tipo ampliamente utilizado de sistema de coordenadas de plano geoespacial en el que las posiciones se especifican como oriente (distancias, en metros, este de un origen) y norte (distancias al norte del origen).

Por el contrario, la cuadrícula del sistema de coordenadas geográficas de latitudes y longitudes consiste en dos escalas de medición curvas para adaptarse a la forma casi esférica de la Tierra. Como usted sabe, las coordenadas geográficas se especifican en grados, minutos y segundos de arco. Las cuadrículas curvas son inconvenientes de usar para trazar posiciones en mapas planos. Además, calcular distancias, direcciones y áreas con coordenadas esféricas es engorroso en comparación con las coordenadas planas. Por estas razones, cartógrafos y oficiales militares en Europa y Estados Unidos desarrollaron el sistema de coordenadas UTM. Las cuadrículas UTM son ahora estándar no solo en mapas topográficos impresos sino también para la referenciación geoespacial de los datos digitales que componen el emergente “Mapa Nacional” de Estados Unidos.

En esta sección del Capítulo 2 aprenderás a:

1. Describir las características del sistema de coordenadas UTM, incluyendo su base en la proyección cartográfica Transversal Mercator; y
2. Trazar coordenadas UTM en un mapa

2.22. La Rejilla UTM y la Proyección Transversal de Mercator

Una proyección Mercator del mundo que muestra las 60 zonas del sistema de coordenadas UTM, cada una dividida en mitades norte y sur en el ecuador. También se muestran dos sistemas de coordenadas polares utilizados para especificar posiciones más allá de los límites norte y sur del sistema UTM.

El sistema Universal Transversal Mercator no es realmente universal, pero sí cubre casi toda la superficie de la Tierra. Solo se excluyen las áreas polares, latitudes superiores a 84° Norte y 80° Sur. (Los sistemas de coordenadas polares se utilizan para especificar posiciones más allá de estas latitudes). El sistema UTM divide el resto de la superficie de la Tierra en 60 zonas, cada una de las cuales abarca 6° de longitud. Estos se numeran de oeste a este del 1 al 60, comenzando en 180° de longitud Oeste (aproximadamente coincidente con la Línea Internacional de Fecha).

La ilustración anterior muestra las zonas UTM como si fueran uniformemente “anchas” desde el Ecuador hasta sus límites norte y sur. De hecho, dado que los meridianos convergen hacia los polos del globo, cada zona UTM se estrecha desde 666,000 metros de “ancho” en el Ecuador (donde 1° de longitud es de aproximadamente 111 kilómetros de longitud) a solo unos 70,000 metros a 84° Norte y unos 116,000 metros a 80° Sur.

“Transversal Mercator” se refiere a la manera en que las coordenadas geográficas se transforman en coordenadas planas. Tales transformaciones se denominan proyecciones cartográficas. La siguiente ilustración muestra las 60 zonas UTM tal como aparecen cuando se proyectan usando una fórmula de proyección de mapa Transversal Mercator que está optimizada para la zona UTM resaltada en amarillo, Zona 30, que abarca 6° Oeste a 0° de longitud Este (el meridiano primo).

Como puedes imaginar, no puedes aplanar un globo sin romperlo o desgarrarlo de alguna manera. Del mismo modo, el acto de transformar matemáticamente las coordenadas geográficas en coordenadas planas desplaza necesariamente la mayoría (pero no todas) de las coordenadas transformadas hasta cierto punto. Debido a esto, la escala del mapa varía dentro de las rejillas del sistema de coordenadas UTM proyectadas (plano).

Las elipses de distorsión trazadas en rojo nos ayudan a visualizar el patrón de distorsión de escala asociado a una proyección particular. Si no hubiera habido distorsión en el proceso de proyectar el mapa que se muestra a continuación, todas las elipses serían del mismo tamaño, y de forma circular. Como puede ver, las elipses centradas dentro de la zona UTM resaltada son todas del mismo tamaño y forma. Alejadas de la zona resaltada, las elipses aumentan de tamaño de manera constante, aunque sus formas permanecen uniformemente circulares. Este patrón indica que la distorsión de escala es mínima dentro de la Zona 30, y que la escala del mapa aumenta lejos de esa zona. Además, las elipses revelan que el carácter de distorsión asociada a esta proyección es que las formas de las entidades tal como aparecen en un globo se conservan mientras que sus tamaños relativos se distorsionan. Las proyecciones cartográficas que preservan la forma al sacrificar la fidelidad de los tamaños se denominan proyecciones conformales. Los sistemas de coordenadas de plano más utilizados en Estados Unidos, UTM y SPC (el sistema State Plane Coordinates) se basan en proyecciones conformes.

El resultado de una proyección Transversal Mercator del mundo centrada en la Zona 30 UTM. Los círculos rojos revelan la distorsión de escala introducida durante la transformación de coordenadas geográficas a coordenadas de plano proyectadas. En el globo, todos los círculos serían del mismo tamaño.

La proyección Transversal Mercator ilustrada anteriormente minimiza la distorsión dentro de la zona UTM 30. Se utilizan cincuenta y nueve variaciones en esta proyección para minimizar la distorsión en las otras 59 zonas UTM. En todos los casos, la distorsión no es mayor que 1 parte en 1,000. Esto significa que una distancia de 1,000 metros medida en cualquier lugar dentro de una zona UTM no será peor que + o — 1 metro de distancia.

La animación vinculada a la siguiente ilustración muestra una serie de 60 proyecciones Transverse Mercator que forman las 60 zonas del sistema UTM. Cada zona se basa en una proyección de mapa Transversal Mercator única que minimiza la distorsión dentro de esa zona. Las zonas están numeradas del 1 al 60 hacia el este desde la línea de fecha internacional. La animación comienza con la Zona 1.

Un fotograma de una animación que muestra una secuencia de las 60 proyecciones Transverse Mercator utilizadas como base del sistema de coordenadas UTM. Destaca en rojo la Zona UTM 01, que abarca 180° W a 174° W. Se utiliza una proyección única para cada zona UTM, de manera que se minimiza la deformación dentro de cada zona.

2.23. Características de la zona UTM

La siguiente ilustración muestra el área cubierta por una sola zona de rejilla del sistema de coordenadas UTM. Cada zona UTM abarca 6° de longitud, desde 84° Norte y 80° Sur. Las zonas se reducen de 666,000 metros de “ancho” en el Ecuador (donde 1° de longitud es de aproximadamente 111 kilómetros de longitud) a solo unos 70,000 metros a 84° Norte y unos 116,000 metros a 80° Sur. Las áreas polares están cubiertas por sistemas de coordenadas polares. Cada zona UTM se subdivide a lo largo del ecuador en dos mitades, norte y sur.

Extensión de una zona de rejilla del sistema de coordenadas UTM. Tenga en cuenta que aunque las latitudes se utilizan para especificar la extensión precisamente en relación con el globo, son coordenadas geográficas, no UTM.

La siguiente ilustración muestra cómo las cuadrículas de coordenadas UTM se relacionan con el área de cobertura ilustrada anteriormente. Las mitades norte y sur se muestran lado a lado para comparación. A cada mitad se le asigna su propio origen. Los orígenes de la zona norte sur se sitúan al sur y oeste de la zona. Los orígenes de la zona norte se sitúan en el Ecuador, a 500.000 metros al oeste del meridiano central. Los orígenes se posicionan de manera que cada valor de coordenadas dentro de cada zona sea un número positivo. Esto minimiza la posibilidad de errores en los cálculos de distancia y área. Por definición, ambos orígenes se encuentran a 500,000 metros al oeste del meridiano central de la zona (es decir, el absciente del meridiano central es siempre de 500,000 metros E). Estos son considerados orígenes “falsos” ya que se encuentran fuera de las zonas a las que se refieren. Los oriente UTM van desde 167,000 metros hasta 833,000 metros en el ecuador. Estos rangos se estrechan hacia los polos. Northings van desde 0 metros hasta casi 9,400,000 en zonas Norte y desde poco más de 1,000,000 metros hasta 10,000,000 metros en zonas Sur. Tenga en cuenta que las posiciones en latitudes superiores a 84° Norte y 80° Sur se definen en los sistemas de coordenadas estereográficas polares que complementan el sistema UTM.

Características de zona del sistema de coordenadas UTM. El amarillo representa áreas en las que las coordenadas UTM son válidas para una zona determinada. Las líneas rojas paralelas al meridiano central representan las dos líneas estándar empleadas en cada proyección Transversal de Mercator. Cada celda de cuadrícula cuadrada en la ilustración abarca 500,000 metros a cada lado.

2.24. Rejillas Nacionales

La proyección Transversal Mercator proporciona una base para los sistemas de red nacionales existentes y propuestos en el Reino Unido y Estados Unidos.

En el Reino Unido, los mapas topográficos publicados por el Ordnance Survey se refieren a una cuadrícula nacional de 100 km cuadrados, cada uno de los cuales se identifica con un código de dos letras. Las posiciones dentro de cada cuadrado de la cuadrícula se especifican en términos de oriente y norte entre 0 y 100,000 metros. La cuadrícula nacional del Reino Unido es un sistema de coordenadas planas que se basa en una proyección Transversal de Mercator cuyo meridiano central es 2 de longitud Oeste, con meridianos estándar 180 km al oeste y este del meridiano central. La cuadrícula se relaciona típicamente con el elipsoide Airy 1830, una relación conocida como el datum National Grid (OSGB36®). Las zonas UTM correspondientes son 29 (meridiano central 9° Oeste) y 30 (meridiano central 3° Oeste). Una de las ventajas de la red nacional del Reino Unido sobre el sistema de coordenadas UTM global es que elimina el límite entre las dos zonas UTM.

Un sistema similar ha sido propuesto para Estados Unidos por el Comité Federal de Datos Geográficos. La “Red Nacional de Estados Unidos” propuesta es la misma que la del Sistema de Referencia de Grid Militar (MGRS), una grilla mundial que es muy similar al sistema UTM. Como escriben Phil y Julianna Muehrcke (1998, p.p. 229-230) en la 4ta edición de Map Use, “los militares [específicamente, el Departamento de Defensa de Estados Unidos] tenían como objetivo minimizar la confusión al usar coordenadas numéricas largas [UTM]” especificando zonas UTM y subzonas con letras en lugar de números. Al igual que el sistema UTM, el MGRS consta de 60 zonas, cada una de las cuales abarca 6° de longitud. Cada zona UTM se subdivide en 19 cuadrangulares MGRS de 8° de latitud y uno (cuadrilátero de 72° a 84° Norte) de 12° de latitud. Las letras C a X se utilizan para designar las filas de celdas de la cuadrícula de sur a norte. Se omiten I y O para evitar confusiones con los números. Wikipedia ofrece una buena entrada sobre el MGRS aquí.

2.25. Sistema de coordenadas de plano de estado

A continuación se muestra la esquina suroeste de un mapa topográfico a escala 1:24 .000 publicado por el Servicio Geológico de los Estados Unidos (USGS). Tenga en cuenta que se especifican las coordenadas geográficas (40 45′ N de latitud, 77° 52′ 30″ W de longitud) de la esquina. También se muestran, sin embargo, ticks y etiquetas que representan dos sistemas de coordenadas planas, el sistema Universal Transversal Mercator (UTM) y el sistema State Plane Coordinate (SPC). El tick etiquetado como “1 970 000 FEET” representa una línea de cuadrícula SPC que corre perpendicular al ecuador y 1,970,000 pies al este del origen de la zona norte de Pensilvania. El origen se encuentra muy al oeste de esta hoja de mapa. Otras líneas de cuadrícula de SPC, llamadas “northings” (no mostradas en la ilustración), corren paralelas al ecuador y perpendiculares a los oriente del SPC en incrementos de 10,000 pies. A diferencia de las líneas de longitud, las zonas de oriente y norte del SPC son rectas y no convergen sobre los polos de la Tierra.

Esquina suroeste de un mapa topográfico del USGS que muestra marcas de cuadrícula y etiquetas para tres sistemas de coordenadas diferentes, incluido el sistema de coordenadas SPC. (USGS. “Cuadrángulo de State College, Pensilvania”)

La cuadrícula SPC es un tipo ampliamente utilizado de sistema de coordenadas de plano geoespacial en el que las posiciones se especifican como oriente (distancias al este de un origen) y norte (distancias al norte de un origen). Se puede decir que la cuadrícula SPC a la que se hace referencia en el mapa ilustrado anteriormente es la versión más antigua 1927 del sistema de cuadrícula SPC porque (a) los oriente y los norte se especifican en pies y (b) las cuadrículas se basan en el Datum norteamericano de 1927 (NAD27). Las 124 zonas que conforman el sistema de Coordenadas del Plano Estatal de 1983 se basan en NAD 83, y generalmente utilizan el sistema métrico para especificar los oriente y los norte.

Las coordenadas de plano de estado se utilizan con frecuencia para georeferenciar proyectos de topografía y mapeo a gran escala (área pequeña) porque las coordenadas de plano son más fáciles de usar que las latitudes y longitudes para calcular distancias y áreas. Y debido a que las zonas SPC se extienden sobre áreas relativamente más pequeñas, se acumulan menos errores en las posiciones, distancias y áreas calculadas con coordenadas de plano estatal que con coordenadas UTM.

En esta sección aprenderás a:

1. Describir las características del sistema SPC, incluyendo la proyección cartográfica en la que se basa; y
2. Convertir coordenadas geográficas en coordenadas SPC

2.26. Las proyecciones de cuadrícula y mapas de SPC

Los sistemas de coordenadas planas pretenden que el mundo es plano. Obviamente, si aplana todo el globo terráqueo a una superficie plana, los tamaños y formas de las masas terrestres se distorsionarán, al igual que las distancias y direcciones entre la mayoría de los puntos. Si tu área de interés es lo suficientemente pequeña, sin embargo, y si la aplana inteligentemente, puedes salirte con la tuya con un mínimo de distorsión. El problema básico de diseño que enfrentó a los geodesistas que diseñaron el Sistema de Coordenadas del Plano Estatal, entonces, fue establecer zonas del sistema de coordenadas que fueran lo suficientemente pequeñas como para minimizar la distorsión a un nivel aceptable, pero lo suficientemente grandes como para ser útiles.

El Sistema de Coordenadas de Plano Estatal de 1983 (SPC) está conformado por 124 zonas que cubren los 50 estados de Estados Unidos. Como se muestra a continuación, algunos estados están cubiertos con una sola zona mientras que otros se dividen en múltiples zonas. Cada zona se basa en una proyección de mapa única que minimiza la distorsión en esa zona a 1 parte en 10,000 o mejor. Es decir, una medición de distancia de 10,000 metros estará en el peor de un metro de distancia (sin incluir error de instrumento, error humano, etc.). La tasa de error varía en cada zona, desde cero a lo largo de las líneas estándar de la proyección hasta el máximo en los puntos más alejados de las líneas estándar. Los errores se acumularán a una tasa muy inferior al máximo en la mayoría de las ubicaciones dentro de una zona de SPC determinada. Las zonas SPC logran una mejor precisión que las zonas UTM porque cubren áreas más pequeñas y, por lo tanto, son menos susceptibles a la distorsión relacionada con la proyección.

El sistema de coordenadas de plano estatal de Estados Unidos de 1983 consta de 124 zonas (Doyle 2004). Cada zona es un sistema de coordenadas de plano distinto. (Alaska y Hawaii no se muestran).

La mayoría de las zonas SPC se basan en una proyección cartográfica Transversal Mercator o Lambert Cónica Conformal cuyos parámetros (como líneas estándar y meridianos centrales) están optimizados para cada zona en particular. Las zonas “altas” como las del estado de Nueva York, Illinois e Idaho se basan en proyecciones únicas de Transverse Mercator que minimizan la distorsión al ejecutar dos líneas estándar norte-sur a cada lado del meridiano central de cada zona. Las zonas “anchas” como las de Pensilvania, Kansas y California se basan en proyecciones cónicas conformadas de Lambert únicas que recorren dos paralelos estándar oeste-este a través de cada zona. (Una de las zonas de Alaska se basa en una variante “oblicua” de la proyección de Mercator. Eso significa que en lugar de líneas estándar paralelas a un meridiano central, como en el caso transversal, el Mercator Oblique recorre dos líneas estándar que están inclinadas para minimizar la distorsión a lo largo del panhandle de Alaska).

Los dos tipos de proyecciones cartográficas comparten la propiedad de conformalidad, lo que significa que los ángulos trazados en el sistema de coordenadas son iguales a los ángulos medidos en la superficie de la Tierra. Como se puede imaginar, la conformalidad es una propiedad útil para los agrimensores, que hacen sus habitaciones midiendo ángulos. (Los topógrafos también miden distancias, pero desafortunadamente no hay proyección de mapa que pueda preservar distancias verdaderas en todas partes dentro de un sistema de coordenadas de plano). Consideremos brevemente estos dos tipos de proyecciones de mapas.

Como la mayoría de las proyecciones cartográficas, la proyección Transversal Mercator es en realidad una transformación matemática. La siguiente ilustración puede ayudarte a entender cómo funcionan las matemáticas. Conceptualmente, la proyección Transversal Mercator transfiere posiciones en el globo a posiciones correspondientes sobre una superficie cilíndrica, que posteriormente se corta de extremo a extremo y se aplana. En la ilustración, el cilindro es tangente a (toca) el globo a lo largo de una línea, la línea estándar (específicamente, el meridiano estándar). Como se muestra en el pequeño mapa del mundo al lado del globo y el cilindro, la distorsión de escala es mínima a lo largo de la línea estándar y aumenta con la distancia desde ella.

Las elipses de distorsión trazadas en rojo nos ayudan a visualizar el patrón de distorsión de escala asociado a una proyección genérica de Transverse Mercator. Si no hubiera habido distorsión en el proceso de proyectar el mapa que se muestra a continuación, todas las elipses serían del mismo tamaño, y de forma circular. Como puede ver, las elipses trazadas a lo largo del meridiano central son todas del mismo tamaño y forma circular. Alejadas del meridiano central, las elipses aumentan de tamaño de manera constante, aunque sus formas permanecen uniformemente circulares. Este patrón refleja el hecho de que la distorsión de escala aumenta con la distancia desde la línea estándar. Además, las elipses revelan que el carácter de distorsión asociada a esta proyección es que las formas de las entidades tal como aparecen en un globo se conservan mientras que sus tamaños relativos se distorsionan. Al preservar los ángulos verdaderos, las proyecciones conformadas como el Mercator (incluyendo sus variantes transversales y oblicuas) también conservan las formas.

Modelo conceptual de una proyección cartográfica Transversal de Mercator (izquierda) y el mapa resultante (derecha). Las líneas rojas gruesas representan la línea de tangencia entre el globo y la superficie de proyección (el cilindro), y el meridiano estándar correspondiente en el mapa. Los círculos rojos en el mapa revelan que la distorsión introducida como resultado de la proyección del mapa aumenta con la distancia desde la línea estándar. En el globo, todos los círculos serían del mismo tamaño.

Las zonas de SPC que tienden de oeste a este (incluyendo las de Pensilvania) se basan en proyecciones cónicas conformadas de Lambert únicas. En lugar de la superficie de proyección cilíndrica utilizada por proyecciones como el Mercator, las proyecciones cónicas conformadas de Lambert y mapas como ésta emplean superficies cónicas de proyección como la que se muestra a continuación. Observe las dos líneas en las que se cruzan el globo y el cono. Ambas son líneas estándar; específicamente, paralelismos estándar. Las latitudes de los paralelos estándar seleccionados para cada zona SPC minimizan la distorsión de escala en toda esa zona.

Modelo conceptual de una proyección de mapa Cónico Conformal Lambert (izquierda) y el mapa resultante (derecha). Las dos líneas rojas gruesas que marcan las intersecciones del globo y la superficie de proyección (el cono) corresponden con dos paralelos estándar en el mapa. Los círculos rojos en el mapa confirman que la escala del mapa es igual a lo largo de ambos paralelos estándar. La distorsión aumenta con la distancia desde los paralelos estándar en cualquier otro lugar en el mapa proyectado y en el sistema de coordenadas en el que se basa.

2.27. Características de la zona SPC

En consulta con diversas dependencias estatales, la Encuesta Geodésica Nacional (NGS) ideó el Sistema Estatal de Coordenadas Planas con varios objetivos de diseño en mente. Entre ellos, los principales fueron:

1. Coordenadas de plano para facilitar su uso en cálculos de distancias y áreas;
2. Todos los valores positivos para minimizar los errores de cálculo; y
3. Una tasa de error máxima de 1 parte en 10,000.

Las coordenadas de plano especifican posiciones en rejillas planas. Las proyecciones del mapa son necesarias para transformar las coordenadas de latitud y longitud en coordenadas de plano. Los diseñadores hicieron dos cosas para minimizar la inevitable distorsión asociada con las proyecciones de mapas. Primero, dividieron a Estados Unidos en 124 zonas relativamente pequeñas. En segundo lugar, utilizaron fórmulas de proyección de mapas ligeramente diferentes para cada zona. Las líneas rojas curvas y discontinuas en la siguiente ilustración representan los dos paralelos estándar que pasan por cada zona. Las latitudes de las líneas estándar son uno de los parámetros de la proyección Lambert Cónica Conformal que se puede personalizar para minimizar la distorsión dentro de la zona.

Las posiciones en cualquier sistema de coordenadas se especifican en relación con un origen. Los orígenes de la zona SPC se definen para asegurar que cada absciente y ordenada en cada zona sean números positivos. Como se muestra en la siguiente ilustración, los orígenes de SPC se sitúan al sur de los condados incluidos en cada zona. Los orígenes coinciden con el meridiano central de la proyección del mapa sobre la que se basa cada zona. Los valores de abscisa y ordenada en los orígenes no son 0, 0. En cambio, los oriente se definen como valores positivos suficientemente grandes para asegurar que cada absciente de la zona sea también un número positivo. El falso origen de la zona Pensilvania Norte, por ejemplo, se define como 600,000 metros Este, 0 metros Norte. Orientaciones de origen varían de zona a zona de 200,000 a 8,000,000 metros Este.

Vista esquemática de dos zonas del Sistema de Coordenadas de Plano Estatal, mostrando los condados que componen cada zona (en amarillo), los orígenes de cada zona y los paralelismos estándar de las proyecciones del mapa en las que se basan las zonas, a lo largo de las cuales la distorsión de escala es cero.

2.28. Proyecciones de mapas

Las coordenadas de latitud y longitud especifican ubicaciones de puntos dentro de una cuadrícula del sistema de coordenadas que se ajusta a la esfera o elipsoide que se aproxima a la forma y tamaño de la Tierra. Para mostrar extensas áreas geográficas en una página o pantalla de computadora, así como para calcular distancias, áreas y otras cantidades de manera más eficiente, es necesario aplanar la Tierra.

Las proyecciones cartográficas son ecuaciones matemáticas que transforman las coordenadas geográficas (designadas convencionalmente por los símbolos griegos lambda para longitud y phi para latitud) en coordenadas planas (x e y). Si se conocen todos los parámetros necesarios, las ecuaciones de proyección inversa se pueden utilizar para transformar las coordenadas proyectadas de nuevo en coordenadas geográficas no proyectadas.

Los sistemas de coordenadas de plano georreferenciado como los sistemas Universal Transversal Mercator y State Plane Coordinates (examinados en otra parte de esta lección) se crean aplanando primero la retícula y luego superponiendo una rejilla rectangular sobre la retícula aplanada. El primer paso, transformar la cuadrícula del sistema de coordenadas geográficas de una forma más o menos esférica a una superficie plana, involucra sistemas de ecuaciones llamados proyecciones cartográficas.

Existen muchos métodos diferentes de proyección de mapas. Aunque solo unos pocos son ampliamente utilizados en el mapeo a gran escala, los parámetros de proyección utilizados varían mucho. Se espera que los profesionales de sistemas de información geográfica tengan el conocimiento suficiente para seleccionar una proyección de mapa que sea adecuada para un objetivo particular de mapeo. Se espera que dichos profesionales sean capaces de reconocer el tipo, cantidad y distribución de la distorsión geométrica asociada a diferentes proyecciones cartográficas. Quizás lo más importante es que necesiten conocer los parámetros de las proyecciones de mapas que deben ser emparejados para fusionar datos geográficos de diferentes fuentes. Las páginas que siguen introducen los conceptos clave. Sin embargo, el tema está demasiado involucrado para dominarlo en una sola sección de un solo capítulo. En efecto, Penn State ofrece un curso en línea completo de un crédito en “Proyecciones de mapas para profesionales geoespaciales” (GEOG 861). Si eres, o planeas convertirte, en un profesional de SIG, debes tener al menos un buen libro sobre proyecciones de mapas. Varias recomendaciones siguen en la bibliografía al final de esta lección. Si desea ofrecer una recomendación propia, por favor agréguela como comentario a la página de bibliografía.

Los alumnos que completen con éxito esta sección deberán ser capaces de:

1. Interpreta diagramas de distorsión para identificar las propiedades geométricas de la esfera que son preservadas por una proyección particular.
2. Clasificar retículas proyectadas por familia de proyección.

2.29. Propiedades geométricas conservadas y distorsionadas

Se han ideado muchos tipos de proyecciones de mapas para adaptarse a propósitos particulares. Sin embargo, ninguna proyección nos permite aplanar el globo sin distorsionarlo. Las elipses de distorsión nos ayudan a visualizar qué tipo de distorsión ha causado una proyección de mapa, cuánta distorsión ocurrió y dónde ocurrió. Las elipses muestran cómo los círculos imaginarios en el globo se deforman como resultado de una proyección particular. Si no hubiera ocurrido distorsión en el proceso de proyectar el mapa que se muestra a continuación, todas las elipses serían del mismo tamaño, y de forma circular.

Cuando las posiciones en la retícula se transforman en posiciones en una cuadrícula proyectada, pueden ocurrir cuatro tipos de distorsión: distorsión de tamaños, ángulos, distancias y direcciones. Se dice que las proyecciones cartográficas que evitan uno o más de estos tipos de distorsión preservan ciertas propiedades del globo.

2.30. Clasificación de métodos de proyección

El término “proyección” implica que la red esférica de paralelos y meridianos se transforma proyectando su sombra sobre alguna superficie plana o aplanable. De hecho, casi todos los métodos de proyección de mapas son ecuaciones matemáticas. La analogía de una proyección óptica sobre una superficie aplanable es útil, sin embargo, como un medio para clasificar la desconcertante variedad de ecuaciones de proyección ideadas en los últimos dos mil años o más.

Tres tipos de superficies “aplanables” a las que se puede proyectar la retícula: un plano, un cono y un cilindro.

Imagina un globo modelo que es translúcido, y contiene una bombilla brillante. Imagínese la luz literalmente proyectando sombras de la retícula, y de las formas de los continentes, sobre otra superficie que toca el globo. La National Geographic Society ha preparado un conjunto de animaciones que pueden ayudarte a visualizar la analogía.

Como se podría imaginar, la apariencia de la rejilla proyectada cambiará bastante dependiendo del tipo de superficie sobre la que se proyecte y de cómo esa superficie esté alineada con el globo. Las tres superficies que se muestran arriba (el plano en forma de disco, el cono y el cilindro) representan categorías que representan la mayoría de las ecuaciones de proyección codificadas en el software SIG. Los tres se muestran en sus aspectos normales. El plano a menudo se centra sobre un poste. El cono suele estar alineado con el globo de tal manera que su línea de contacto (tangencia) coincide con un paralelo en las latitudes medias. Y el cilindro se posiciona frecuentemente tangente al ecuador (a menos que se rote 90°, como lo es en la proyección Transversal Mercator). Las siguientes ilustraciones muestran algunas de las retículas proyectadas producidas por ecuaciones de proyección en cada categoría.

Cuatro categorías de proyecciones de mapas

Las ecuaciones de proyección cilíndricas producen retículas proyectadas con meridianos rectos y paralelos que se cruzan en ángulo recto. El ejemplo mostrado anteriormente es un Equidistante Cilíndrico (también llamado Placa Carrée o geográfica) en su aspecto ecuatorial normal.

Las proyecciones pseudocilíndricas son variantes en cilíndricas en las que los meridianos son curvos. El resultado de una proyección sinusoidal se muestra arriba.

Las proyecciones cónicas producen meridianos rectos que convergen hacia un solo punto en los polos, paralelos que forman arcos concéntricos. El ejemplo mostrado anteriormente es el resultado de un Área Igual Cónica de Albers, que se utiliza frecuentemente para el mapeo temático de regiones de latitud media.

Las proyecciones planas también producen meridianos que son rectos y convergentes, pero los paralelos forman círculos concéntricos en lugar de arcos. Las proyecciones planas también se denominan azimutales porque cada proyección plana conserva la propiedad de azimutalidad. La retícula proyectada que se muestra arriba es el resultado de una proyección equidistante azimutal en su aspecto polar normal.

Las apariencias pueden ser engañosas. Es importante recordar que el aspecto de una retícula proyectada depende de varios parámetros de proyección, incluyendo latitud de origen de proyección, meridiano central, línea (s) estándar (s) y otros. Las proyecciones de mapas personalizadas pueden verse completamente diferentes de los arquetipos descritos anteriormente.

2.31. Resumen

En esta lección hemos explorado varias connotaciones del término escala. Escala es sinónimo de alcance cuando se utiliza para describir la extensión de un fenómeno. En este sentido, “gran escala” significa “gran área”. Sin embargo, los especialistas en información geográfica suelen utilizar el término de manera diferente. La escala del mapa se refiere a los tamaños relativos de las entidades en un mapa y de los objetos correspondientes en el suelo. En este contexto, “gran escala” implica “área pequeña”. La gran escala también implica mayor detalle y mayor precisión, un punto importante a tener en cuenta al usar mapas como fuentes para bases de datos SIG. La escala del mapa se define matemáticamente como la proporción entre la distancia del mapa y la distancia al suelo. Espero que ahora esté preparado para usar ecuaciones de escala para calcular la escala del mapa.

La escala también se puede considerar como un sistema de referencia para la medición. Las ubicaciones en el globo se especifican con referencia al sistema de coordenadas geográficas de latitudes y longitudes. Las coordenadas de plano a menudo se prefieren sobre las coordenadas geográficas porque facilitan los cálculos de distancia, área y otras cantidades. Los sistemas de coordenadas de plano georreferenciado como UTM y SPC se establecen aplanando primero la retícula y luego superponiendo una cuadrícula de coordenadas planas. Las ecuaciones matemáticas utilizadas para transformar coordenadas geográficas en coordenadas planas se denominan proyecciones de mapa. Tanto las cuadrículas planas como las del sistema de coordenadas geográficas están relacionadas con aproximaciones del tamaño y la forma de la Tierra llamadas elipsoides. Las relaciones entre cuadrículas y elipsoides se denominan datos de referencia horizontales.

El datum horizontal es un concepto esquivo para muchos practicantes de SIG. Es relativamente fácil visualizar un dato horizontal en el contexto de coordenadas geográficas no proyectadas. Simplemente cubra la cuadrícula de latitud y longitud sobre un elipsoide y ahí está su referencia horizontal. Sin embargo, es más difícil pensar en el datum en el contexto de una cuadrícula de coordenadas proyectadas como UTM y SPC. Piénsalo de esta manera: Primero cubra la cuadrícula de latitud y longitud sobre un elipsoide. Luego proyecte esa rejilla a una superficie plana 2-D. Luego, superponga una rejilla rectangular de oriente y norte sobre la proyección, utilizando puntos de control para georegistrar las rejillas. Ahí la tiene: una rejilla de coordenadas proyectada basada en una referencia horizontal.

Numerosos sistemas de coordenadas, datums y proyecciones de mapas están en uso en todo el mundo. Debido a que a menudo necesitamos combinar datos georreferenciados de diversas fuentes, los profesionales de SIG necesitan poder georegistrar dos o más conjuntos de datos basados en diferentes sistemas de coordenadas, datums y/o proyecciones. Las transformaciones, incluidas las transformaciones de coordenadas, las transformaciones de datos y las proyecciones de mapas, son los procedimientos matemáticos utilizados para alinear diversos datos. Las características de los sistemas de coordenadas, datums y proyecciones considerados en este curso se describen en las siguientes tablas.

Sistemas de coordenadas a los que se hace referencia en este curso (muchos otros sistemas nacionales y locales están en uso)

Datums referenciados en este curso (muchos otros sistemas nacionales y locales están en uso)

Proyecciones cartográficas referenciadas en este curso (muchos otros sistemas nacionales y locales están en uso)

Compilado a partir de Snyder, 1997

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