2.1: Leyes de gas

Comprender la termodinámica atmosférica comienza con las leyes de gas que aprendiste en química. Debido a que estas leyes son tan importantes, las revisaremos nuevamente aquí y las pondremos en formas que son particularmente útiles para la ciencia atmosférica. Querrás memorizar estas leyes porque serán utilizadas una y otra vez en muchas otras áreas de la ciencia atmosférica, incluyendo la física de nubes, la estructura atmosférica, la dinámica, la radiación, la capa límite e incluso la predicción.

Un globo de presión constante permanece en alto durante semanas a una altitud de 100,000 pies para que los instrumentos en la góndola adjunta puedan realizar mediciones a largo plazo. Crédito: National Scientific Balloon Facility, Palestina TX

Mirando hacia el futuro

Antes de comenzar la lectura de esta lección, me gustaría recordarles la actividad de discusión para esta lección. La actividad de discusión de esta semana te pedirá que tomes lo que aprendes a lo largo de la lección para responder a un problema atmosférico. No necesitará publicar su respuesta a la discusión hasta que haya leído toda la lección, pero tenga en cuenta la pregunta al leer:

El tema de esta semana es una cuestión hipotética que involucra la estabilidad. La troposfera siempre tiene una inversión de temperatura máxima, se llama estratosfera. La tropopausa tiene unos 16 km de altura en los trópicos y baja a unos 10 km en latitudes altas. La estratosfera existe porque la luz ultravioleta solar produce ozono y luego un poco por ciento de la radiación solar es absorbida por el ozono estratosférico, calentando el aire y provocando la inversión. Supongamos que no había capa de ozono y por lo tanto ninguna estratosfera causada por el calentamiento solar UV del ozono.

¿Serían diferentes las tormentas en la troposfera si no hubiera estratosfera que actuara como una inversión taponadora? Y si es así, ¿cómo?

Usarás lo que has aprendido en esta lección sobre la estructura de presión y estabilidad de la atmósfera para ayudarte a pensar en este problema y a formular tu respuesta y discusiones. Entonces, piensa en esta pregunta mientras lee la lección. ¡Tendrás la oportunidad de enviar tu respuesta en 2.6!

Ley de Gas Ideal

La atmósfera es una mezcla de gases que pueden comprimirse o expandirse de manera que obedezca a la Ley de Gas Ideal:

\[p V=N R^{*} T\]

donde p es presión\(\left(P a=k g m^{-1} s^{-2}\right), V\) es el volumen\(\left(m^{3}\right)\), N es el número de moles,\(R^{*}\) es la constante del gas\((8.314) \mathrm{K}^{-1} \mathrm{mole}^{-1} )\), y T es la temperatura (K). Obsérvese también que ambos lados de la ecuación de la Ley de Gas Ideal tienen la dimensión de la energía (\(J=k g m^{2} s^{-2}\)).

Recordemos que un mol es\(6.02 \times 10^{23}\) moléculas (Número de Avagodro). La ecuación 2.1 es una forma de la ley de gas ideal que es independiente del tipo de molécula o mezcla de moléculas. Un mole es un lunar sin importar su tipo. El siguiente video (6:17) brinda una breve revisión de la Ley de Gas Ideal. Tenga en cuenta que la notación en el video difiere ligeramente de nuestra notación al usar n para N, P para p y R para R *.

Introducción a la Ley de Gas Ideal

Haga clic aquí para ver la transcripción del video de introducción a la Ley de gas Ideal.

Entonces aquí tengo un tanque lleno de gas. Y estos puntitos representan algunas de las partículas de gas que estarían en este tanque. Las flechas las puse aquí porque todas estas partículas están en constante movimiento aleatorio. Son como un montón de niños hiperactivos, que se topan entre sí todo el tiempo, golpeando en los lados del contenedor, y así sucesivamente. Entonces tenemos este tanque de gasolina. Pensemos en las características que podríamos usar para describirlo. Entonces una de las cosas que podríamos hacer es que podríamos decir cuál es su temperatura. Cuanto mayor sea la temperatura, recuerden, más rápido se mueven estas partículas de gas, por lo que la temperatura es muy importante cuando hablamos de gas. La temperatura para los gases siempre debe reportarse en Kelvin. Entonces podríamos decir, por ejemplo, que la temperatura de este tipo de aquí es de 313 Kelvin. Así de calientes están estas partículas de gas en la muestra. Cuando se habla de gas, otra característica importante es la presión. ¿Qué tan duras son estas partículas de gas que rebotan contra los costados del tanque? ¿Cuánta presión están ejerciendo sobre ellos? Y podríamos medirlos con un manómetro o algo así en la parte superior de este tanque. Podríamos decir, la presión para esto es de 3.18 atm. Eso podría ser una presión. Y otra cosa de la que pasamos mucho tiempo hablando cuando se trata de gas es el volumen. Y nuevamente, tengo aquí estas letras que son como se abrevia cada una de estas cosas. Volumen, V, volumen de este tanque podría ser algo así como 95.2 litros. Y por último, mira estas partículas que he dibujado. Hay cierta cantidad de gas que está aquí. Y la cantidad de gas, que se abrevia con la minúscula n, suele reportarse en moles, lo cual es una medida conveniente de cuánto de algo tenemos. Entonces podríamos decir que la cantidad de gas en este tanque es de 7.5 moles. Ahora, siempre que tengamos una muestra de gas como esta, si es un tanque o está en un globo o donde quiera que esté, podemos describirle— podemos darle estas diversas características. Y resulta que también, para cualquier muestra de gas, si conocemos tres de estas características, podemos averiguar cuál es la cuarta. Todo lo que tenemos que hacer es saber tres. Y para ello, utilizamos una ecuación que es una representación de la Ley del Gas Ideal. Y está escrito como P por V, presión por volumen, igual a n, la cantidad de gas, por R por T, temperatura. Llegaré a R en un segundo. No te preocupes por eso por ahora mismo. Va a ser un número que conocemos. Entonces digamos, por ejemplo, que no sabíamos qué era la presión, pero aún sabíamos la temperatura, el volumen y la cantidad de gas. No es gran cosa. Podríamos tomar la ecuación, PV es igual a nRT, y reorganizarla. Divide ambos lados por V. Deshazte de la V. Y entonces tendríamos P igual a nRT dividido por V. Enchufa estos valores, y podríamos averiguar cuál era la presión. O digamos que sabíamos cuál era la presión de una muestra de gas en particular. Sabemos cuál era la temperatura en un volumen. Pero no sabíamos cuál era la cantidad de gas. No sabemos lo mucho que teníamos. Podríamos averiguar esa cuarta característica reordenando la Ley de Gas Ideal para n, cancelando R y T por un lado, reordenándola para resolverla por n. Y luego podríamos tapar la presión, el volumen y la temperatura, y podríamos averiguar la cantidad de gas. Entonces, en otras palabras, si conocemos tres de estas características, siempre podemos averiguar cuál es la cuarta. Entonces tal vez te estés preguntando, entonces R— ¿qué es R? R es lo que llamamos una constante. Es un número que conocemos de antemano que no depende de las variables en nuestro problema. La R que voy a estar usando la mayor parte del tiempo para los videos es de 0.0821 litros por atm dividido por Kelvin por moles. Ahora fíjense que esto es una fracción. Tiene tanto una parte superior como una inferior. Y además no es sólo un número, sino que tiene unidades. Y mira esto— las unidades en R coinciden con las unidades en mi problema. Coinciden con las características que estaría usando. Entonces tengo litros aquí, litros aquí, atm, atm, Kelvin, Kelvin, y topos, topos. Siempre quieres que las unidades en R coincidan con las unidades de las características en tu Problema Ideal de Gas. Entonces porque siempre quieres que las unidades coincidan, también hay diferentes valores de R, aunque voy a estar usando esto mayormente para los videos que estoy haciendo. Por ejemplo, digamos que en lugar de atm, estaba usando una presión que estaba en milímetros de mercurio. En este caso, no me gustaría usar esta R aquí. Me gustaría usar esta R aquí, para que las unidades coincidan— milímetros de mercurio aquí, milímetros de mercurio aquí, y el número es diferente— 62.4. Entonces otra vez, eso es lo que uso aquí. Digamos que en lugar de milímetros de mercurio, mi presión me fue dada en kPa. Entonces usaría este valor de R para que las unidades coincidan. Tengo kPa aquí, kPa aquí, y todos los demás son iguales, así que 8.31 para eso. Ahora como sigo diciendo, en la mayoría de los videos que voy a estar haciendo, voy a estar usando este top R con atm. Pero es posible que tu profesor te pida que uses una R. diferente No es gran cosa. Eso es probablemente solo porque te están dando problemas que tienen diferentes unidades de presión, y quieren que las unidades de presión coincidan. Así que no te preocupes en absoluto si estás usando una de estas otras R's. Establecer y resolver la Ley de Gas Ideal es exactamente lo mismo. No importa cuál de estas R uses, solo es cuestión de enchufar una R diferente al final. Entonces, no importa cuál estés usando, deberías poder seguir todas estas lecciones, y todo debería tener sentido.

Crédito: Tyler DeWitt

Por lo general en la atmósfera desconocemos el volumen exacto de una parcela aérea o masa de aire. Para resolver este problema, podemos reescribir la Ley de Gas Ideal en una forma útil diferente si dividimos N por V y luego multiplicamos por la masa promedio por mol de aire para obtener la densidad de masa:

\[\rho=\frac{N M}{V}\]

donde M es la masa molar (kg mol ^—1). Densidad tiene unidades SI de kg m ^—3. El símbolo griego ρ (rho) se utiliza para la densidad y no debe confundirse con el símbolo de presión, p.

Así podemos poner densidad en la Ley de Gas Ideal:

\[p=\frac{\rho R^{*} T}{M}\]o\[\rho=\frac{M p}{R^{*} T}\]

La densidad es una cantidad increíblemente importante en meteorología. El aire que es más denso que su entorno (a menudo llamado su entorno) se hunde, mientras que el aire que es menos denso que su entorno se eleva. Tenga en cuenta que la densidad depende de la temperatura, la presión y la masa molar promedio de la parcela aérea. La masa molar promedio depende de la composición atmosférica y es solo la suma de la fracción de cada tipo de molécula por la masa molar de cada constituyente molecular:

\[M_{\text { arenge }}=\frac{\sum_{i} N_{i} M_{i}}{\sum_{i} N_{i}}=\frac{\sum_{i} N_{i} M_{i}}{-N}=\sum_{i} \frac{N_{i}}{N} M_{i}=\sum_{i} f_{i} M_{i}\]

donde el subíndice i representa los componentes atmosféricos, N es el número de moles y M es la masa molar. Este video (3:19) te muestra cómo encontrar la densidad del gas usando la Ley de Gas Ideal. Notarás que la persona usa presión en kPa y masa molar en g/mol. Ya que kPa = 1000 Pa y g = 1/1000 kg, los dos factores de 1000 cancelan cuando los multiplica juntos y puede salirse con la suya usando estas unidades. Recomiendo siempre convertir a unidades SI para evitar confusiones. También, tenga en cuenta que el símbolo de densidad utilizado en el video es d, que es diferente a lo que hemos utilizado (ρ, la convención en la ciencia atmosférica).

Encuentre la Densidad de un Gas

Haga clic aquí para ver la transcripción del video Encontrar la densidad de un gas.

Hola chicos ¿cómo resuelven las preguntas ideales de ley de gas que involucran densidad? La clave es tener una fórmula o saber derivar la fórmula por tu cuenta. Recuerde que la densidad es la masa sobre el volumen. Ahora bien, la forma en que se encuentra la masa en la ecuación ideal de la ley del gas es en n porque el número de moles es el mismo que la masa sobre la masa molar. Entonces, revisa este conjunto. Voy a reemplazar n con masa sobre masa molar, y luego voy a reorganizar para m sobre v. Voy a deshacer división por masa molar en el otro lado y luego voy a deshacer multiplicación por RT y traer mi V encima. Aquí está a lo que me refiero. P veces la masa molar dividida por RT me da masa sobre volumen. La masa sobre el volumen es densidad y por lo tanto mi ecuación es densidad igual a presión por masa molar dividida por RT. Ahora podemos usar esta ecuación para encontrar la densidad de oxígeno a 55 grados centígrados y ciento tres kilopascales. Entonces hagámoslo. La densidad es una presión que es 103 kilopascales por masa molar para oxígeno. Eso son 32 gramos por mol. R, ahora, voy a poner mi volumen en litros y voy a poner mi presión en kilopascales lo que significa lo relevante son que quiero es de 8.314 litros, kilopascales por mol Kelvin y mi temperatura en Kelvin es la temperatura en Celsius más 273, lo que me da 328 Kelvin. Y todas estas unidades deberían cancelarse para darme una unidad de densidad. Kelvin cancela de Kelvin por moles cancel/moles kilopascales canceló los pascales de báscula y se fue con gramos por litro. Hagamos esto en la calculadora 103 veces 32 divididos 8.314 divididos 328. Eso es 1.21 gramos por litro. Eso puede no parecer mucho, pero recuerda que aquí estás lidiando con el gas. Si tienes un globo de 1 litro ¿cuánto va a pesar realmente? Probablemente la cantidad de la goma más como un gramo más o menos. Esta aquí es la densidad del gas oxígeno a 55 y 103 kilopascales. Esta es su fórmula de densidad en términos de la ley de gas ideal. Ser capaz de usarlo. ¡Mucha suerte!

Crédito: ChemiTNate

Resuelve el siguiente problema por tu cuenta. Después de llegar a su propia respuesta, haga clic en el enlace para verificar su trabajo.

Ejemplo

Calculemos la densidad del aire seco donde vives. Utilizaremos la Ley de Gas Ideal y contabilizaremos los tres gases más abundantes en la atmósfera: nitrógeno, oxígeno y argón. M es el molar\ text {masa de aire;} M=0.029\ mathrm {kg}\ mathrm {mol} ^ {-1}\ text {, que es solo un promedio que representa las fracciones de diferentes} gases:

\(M=0.78 M_{N 2}+0.21 M_{O 2}+0.01 M_{A r}\)
\(=0.78 \cdot 0.028+0.21 \cdot .032+0.01 \cdot 0.040=0.029 \mathrm{kg} \mathrm{mol}^{-1}\)

\(R^{*}=8.314 \mathrm{JK}^{-1} \mathrm{mol}^{-1} .\)Aquí,\(p=960 \mathrm{hPa}=9.6 \times 10^{4} \mathrm{Pa}\) y\(T=20^{\circ} \mathrm{C}=293 \mathrm{K}\)

Haga clic para obtener la respuesta.

Poniendo estos valores en la ecuación\(2.3,\) obtenemos que la densidad del aire seco es\(1.1 \mathrm{kg} \mathrm{m}^{-3} .\)

¿Cuál sería la densidad si la habitación estuviera llena de helio y no de aire seco a la misma presión y temperatura?

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Densidad de helio = (presión por masa molar de helio)/(Constante de la Ley de Gas Ideal en unidades SI por temperatura en K) = 0.16 kg m ^—3

Aire Seco

A menudo en meteorología utilizamos leyes de gas específicas de masa para que debemos especificar el gas del que estamos hablando, generalmente solo aire seco (N ₂ + O ₂ + Ar + CO ₂ +...) o vapor de agua (gaseoso H ₂ O). Podemos dividir R ^* por M _i para obtener una constante de gas específica de masa, como R _d = R*/M _{aire seco}.

Así, utilizaremos la siguiente forma de la Ley de Gas Ideal para el aire seco:

\[p_{d}=\rho_{d} R_{d} T\]

donde:

\(R_{d}=\frac{R^{*}}{M_{d \gamma a i r}}=\frac{8.314 \mathrm{K}^{-1} \mathrm{mol}^{-1}}{0.02897 \mathrm{kgmol}^{-1}}=287 \mathrm{m}^{2} \mathrm{s}^{-2} \mathrm{K}^{-1}=287 \mathrm{Jkg}^{-1} \mathrm{K}^{-1}\)

M _{aire seco} es 0.02897 kg mol ^—1, que es el promedio de las masas molares de los gases en una atmósfera seca calculada a cuatro cifras significativas.

Tenga en cuenta que p debe estar en Pascales (Pa), que es 1/100 de mb (a.k.a, hPa), y T debe estar en Kelvin (K).

Vapor de Agua

Podemos hacer el mismo procedimiento para el vapor de agua:

\[p_{v} \equiv e=\rho_{v} R_{v} T\]

donde R_ {v} =\ frac {R^ {*}} {M_ {\ text {watenapor}}} =\ frac {8.314\ mathrm {K} ^ {-1}\ mathrm {mol} ^ {-1}} {0.01802\ mathrm {kgmol} ^ {-1}} =461\ mathrm {m} ^ {2}\ mathrm {s} ^ ^ -2}\ mathrm {K} ^ {-1} =461\ mathrm {Jkg} ^ {-1}\ mathrm {K} ^ {-1}

Típicamente e se usa para denotar la presión de vapor de agua, que también se llama presión parcial de vapor de agua.

Ley de Dalton

John Dalton. Frontispicio de John Dalton y el auge de la química moderna de Henry Roscoe. Licenciado bajo dominio público vía Wikimedia Commons

Esta ley de gases se utiliza a menudo en meteorología. Aplicado a la atmósfera, dice que la presión total es la suma de las presiones parciales para el aire seco y el vapor de agua:

\[p=p_{d}+p_{H 2 O}=p_{d}+e\]

Imagina que ponemos aire húmedo y un absorbente en un frasco y atornillamos la tapa en el frasco. Si mantenemos la temperatura constante ya que el absorbente extrae el vapor de agua del aire, la presión dentro del frasco bajará a p _d. Siempre tenga en cuenta que cuando medimos la presión en la atmósfera, estamos midiendo la presión total, que incluye las presiones parciales de aire seco y vapor de agua.

Por lo que se deduce que la densidad del aire seco y el vapor de agua también agregan:

\ rho=\ rho_ {d} +\ rho_ {v}

Resuelve el siguiente problema por tu cuenta. Después de llegar a su propia respuesta, haga clic en el enlace para verificar su trabajo.

Ejercicio

Supongamos que tenemos dos paquetes de aire que son del mismo tamaño y tienen la misma presión y temperatura, pero uno es seco y el otro es aire húmedo. ¿Cuál es menos denso?

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Podemos resolver este sin conocer la presión, temperatura o volumen. Supongamos que 98% de las moléculas son aire seco, lo que significa que el 2% restante son aire seco en el primer caso y vapor de agua en el segundo caso. El aire seco es 0.029 kg mol ^—1 y el vapor de agua es 0.018 kg mol ^—1, por lo que 2% del aire húmedo es más ligero que el 2% del aire seco, y cuando consideramos el aire total, esto significa que para la misma temperatura y presión, el aire húmedo siempre es menos denso que el aire seco.

Temperatura Virtual

Supongamos que hay dos parcelas de aire con diferentes temperaturas y cantidades de vapor de agua pero la misma presión. ¿Cuál tiene una densidad menor? Podemos calcular la densidad para determinar cuál es más ligero, pero hay otra manera de hacer esta comparación. La temperatura virtual, T _v, se define como la temperatura que debe tener el aire seco para que su densidad sea igual a la del aire húmedo ambiental. Así, la temperatura virtual es una propiedad del aire húmedo ambiental. Debido a que la densidad del aire depende de la cantidad de humedad (para la misma presión y temperatura), nos cuesta mucho determinar si la parcela de aire es más o menos densa en relación con su entorno, lo que puede tener una temperatura y cantidad de vapor de agua diferentes. Es útil pretender que la parcela húmeda es una parcela seca y dar cuenta de la diferencia de densidad determinando la temperatura que necesitaría tener la parcela seca para tener la misma densidad que la parcela de aire húmedo.

Podemos definir la cantidad de humedad en el aire por una cantidad llamada humedad específica, q:

\[q=\frac{\rho_{v}}{\rho_{d}+\rho_{v}}\]

Vemos que q es solo la fracción de densidad de vapor de agua relativa a la densidad total del aire húmedo. Por lo general q se da en unidades de g de vapor de agua por kg de aire seco, o g kg ^—1.

Usando la Ley de Gas Ideal y la Ley de Dalton, podemos derivar la ecuación para la temperatura virtual:

\[T_{v}=T[1+0.61 q]\]

donde T y T _v tienen unidades de Kelvin (no ^o C y ciertamente no ^o F!) y q debe ser sin unidades (e.g., kg kg ^—1).

Tenga en cuenta que el aire húmedo siempre tiene una temperatura virtual mayor que el aire seco que tiene la misma temperatura que el aire húmedo ya que, como se señaló anteriormente, el aire húmedo siempre es menos denso que el aire seco para la misma temperatura y presión. Tenga en cuenta también que para el aire seco, q = 0 y la temperatura virtual es la misma que la temperatura.

Resuelve el siguiente problema por tu cuenta. Después de llegar a su propia respuesta, haga clic en el enlace para verificar su trabajo.

Ejercicio

Considere una mancha de aire (T _blob = 25 ^o C, q _blob = 10 g kg ^—1) al mismo nivel de presión que un ambiente circundante (T _env = 26 ^o C y q _env = 1 g kg ^—1). Si la mancha tiene una densidad menor que su entorno, entonces se elevará. ¿Se levanta?

Haga clic para obtener una respuesta.

Usaremos la ecuación (2.10). Recuerda convertir T de ^o C a K y q de g kg ^—1 a kg kg ^—1!

\(T_{v b l o b}=(25+273)[1+0.61 \cdot .010]=299.8 K=26.8^{\circ} C\)
\(T_{v e n v}=(26+273)[1+0.61 \cdot .001]=299.2 K=26.2^{\circ} C\)

Vemos que la mancha es menos densa que su entorno y así se levantará. Esta diferencia de 0.6 ^o C puede parecer pequeña, pero hace una gran diferencia en el movimiento ascendente.

Los siguientes son algunos errores que comúnmente se cometen en los cálculos anteriores:

• no convertir de ^o C a K:

\[T_{v b l o b}=(25)[1+0.61 \cdot .010]=25.15^{\circ} \mathrm{C}\]
\[T_{v e n v}=(26)[1+0.61 \cdot .001]=26.02^{\circ} \mathrm{C}\]

Calculamos que T _vblob < T _venv, que es la respuesta equivocada.

• no convertir q de g/kg a kg/kg:

\[T_{v b l o b}=(25+273)[1+0.61 \cdot 10]=2115 K=1842^{\circ} C\]
\[T_{v e n v}=(26+273)[1+0.61 \cdot 1]=481 K=208^{\circ} C\]

Calculamos que T _vblob > T _venv, que es correcto en este caso, ¡pero los números son locos! Después de completar sus cálculos, si los números que obtiene simplemente no parecen correctos, como estos, entonces sabe que ha cometido un error en el cálculo. Ve a buscar el error. No envíes una respuesta que no tenga sentido.

Una vez que encontramos T _v, podemos encontrar fácilmente la densidad de una parcela húmeda usando la ecuación [2.5], en la que sustituimos T _v por T. Por lo tanto,

\[\rho_{d}=\frac{p_{d}}{R_{d} T_{v}}\]

Quiz 2-1: ¿Qué hará esa paquetería aérea?

Este cuestionario te dará práctica para calcular la temperatura y densidad virtuales usando el libro de Excel que configuraste en la última lección.

1. Ve a Canvas y encuentra Cuestionario de práctica 2-1. Puedes completar este cuestionario de práctica tantas veces como quieras. No está calificado, pero le permite verificar su nivel de preparación antes de realizar el cuestionario calificado. Te sugiero encarecidamente que ingreses las ecuaciones para densidad y temperatura virtual en tu hoja de cálculo de Excel y las utilices para hacer todos tus cálculos de densidad y temperatura virtual tanto en el cuestionario de práctica como en el cuestionario.
2. Cuando sientas que estás listo, toma Quiz 2-1. Se te permitirá realizar este cuestionario solo una vez. Este cuestionario está cronometrado, por lo que después de comenzar, tendrá un tiempo limitado para completarlo y enviarlo. ¡Buena suerte!