10.4: ¿Cuáles son las fuerzas reales importantes?

Hay tres fuerzas reales importantes para el movimiento atmosférico:

1. Fuerza Gravitacional
2. Fuerza de gradiente de presión (PGF)
3. Fricción

De ahí que podamos sumar estas fuerzas reales:

\[\sum \vec{F}_{a}=\vec{F}_{g}+\vec{F}_{p}+\vec{F}_{f}\]

Ponemos el subíndice "a" sobre estas fuerzas para indicar “absolutas” porque son verdaderas en un marco de referencia inercial. Así, en el marco de referencia absoluta,

\[\frac{D_{a} \vec{U}_{a}}{D t}=\frac{\sum \vec{F}_{a}}{m}\]

Examinemos cada una de estas fuerzas reales con más detalle.

Fuerza Gravitacional

Recordemos que la fuerza gravitacional sobre una masa m es simplemente el peso de la masa, que viene dada por:

\ vec {F} _ _ {g} =m\ vec {g} *

donde

\ vec {g} *=-\ frac {G M} {r^ {2}}\ izquierda (\ frac {\ vec {r}} {r}\ derecha)

donde M es la masa de la Tierra (5.9722 x 10 ²⁴ kg),\ vec {r} es el vector de distancia que se origina desde el centro de la Tierra, y G es la constante gravitacional (6.6741 × 10 ^—11 m ³ kg ^—1 s ^-2). Ignorando los efectos menores de la topografía y la variación horizontal de la densidad de la Tierra, la fuerza gravitacional real apunta directamente hacia el centro de la Tierra. La fuerza gravitacional por unidad de masa es simplemente\ vec {e} ^ {*}.

Fuerza de gradiente de presión (PGF)

La derivación de la fuerza de gradiente de presión es similar a lo que ya hemos hecho en la Lección 2.2 para encontrar el equilibrio hidrostático, excepto que veremos solo las fuerzas de presión en este caso, y serviremos como una revisión rápida. Considere primero la dirección x:

Dibujo de las fuerzas involucradas en la fuerza de gradiente de presión en la dirección x. Crédito: W. Brune

\[\frac{F_{p x}}{m}=\frac{p(x) A-p(x+\Delta x) A}{m}=\frac{p(x) A-[p(x)+\Delta p] A}{m}\]

\[\frac{F_{p x}}{m}=\frac{A \Delta x[p(x)-p(x)-\Delta p]}{m \Delta x}=-\frac{V}{m} \frac{\Delta p}{\Delta x}=-\frac{1}{\rho} \frac{\Delta p}{\Delta x} \approx-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}\]

Sumando en las direcciones y y z, obtenemos la forma vectorial 3-D de la fuerza de gradiente de presión por unidad de masa:

\[\frac{\vec{F}_{p}}{m}=-\frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p\]

Ejemplo

Hagamos un cálculo rápido de la fuerza de gradiente de presión a partir de un mapa de presión superficial el 26 de junio de 2015. Tenga en cuenta que la frontera norte de Pensilvania está a unos 250 km de su frontera sur.

Crédito: Penn State E-wall y W. Brune

El siguiente video (1:20) explicará el proceso:

Ejemplo de PGF

Haga clic aquí para ver la transcripción del video Ejemplo de PGF.

Repasemos por un cálculo rápido de la fuerza de gradiente de presión, o un sistema de baja presión que pasó sobre Pensilvania el 26 de junio de 2015. Tenga en cuenta que la presión aumenta a medida que aumenta x. Pero debido a que la fuerza del gradiente de presión es menos 1 sobre la densidad por el gradiente de presión, la fuerza del gradiente de presión, realmente la aceleración del gradiente de presión, es negativa. Esto tiene sentido ya que la fuerza del gradiente de presión movería el aire de alta presión a baja presión que está al oeste en este caso. Para encontrar el gradiente de presión observamos que la altura de Pensilvania es de unos 250 kilómetros, que es ligeramente menor que la distancia entre las isobarras de 1,008 milibares y 1,016 milibares, que es de unos 300 kilómetros como distancia. Por lo que la densidad del aire es de aproximadamente 1.2 kilogramos por metro en cubos. Cuando juntamos todos estos números —es decir uno sobre la densidad multiplicado por el cambio de presión sobre el cambio de distancia— obtenemos que la fuerza de gradiente de presión en este caso es de 2.2 veces 10 a menos 3 metros por segundo al cuadrado y se dirige a 180 grados, o hacia el oeste.

Fricción

Podemos pensar en la fricción como procesos que impiden el flujo de aire. Hay dos tipos diferentes de fricción que preocupan a los meteorólogos: la fricción molecular y la fricción turbulenta. La fricción molecular es una fuerza real que aparece en la ecuación de conservación del momento, mientras que la fricción turbulenta es un término adicional que surge del promedio de la ecuación de conservación del momento.

La fricción molecular es el resultado del movimiento aleatorio de las moléculas. Imagínese dos paquetes aéreos moviéndose hacia el este. Un paquete aéreo está justo al norte del otro y se mueve un poco más rápido que el otro. Debido al movimiento molecular aleatorio, las dos parcelas intercambian moléculas de aire que llevan el impulso de sus respectivas parcelas aéreas. Cuando las moléculas chocan, parte de su impulso se transfiere, lo que resulta en que la parcela más rápida (la del norte) se ralentiza y la parcela más lenta (la del sur) se acelera. Por lo tanto, hay una transferencia de impulso de la parcela más rápida a la más lenta. Esta transferencia es proporcional a la diferencia de velocidad entre las parcelas de aire y una cantidad llamada viscosidad. La viscosidad depende del fluido en cuestión (aire en este caso) y de la temperatura. Los fluidos con una resistencia relativamente alta al movimiento, como la miel, tienen viscosidades relativamente altas. Piensa en el aire cerca de la superficie de la Tierra. El aire justo en la superficie es estacionario debido a las fuerzas electromagnéticas entre el aire y la superficie. Debido a la fricción molecular, el aire cerca de la superficie ralentizará el aire justo por encima de él, así como ese aire ralentiza el aire un poco más alto. Mostramos sin derivación que la fuerza de fricción molecular (a veces llamada fuerza viscosa) por unidad de masa es a una muy buena aproximación dada por:

\[\frac{\vec{F}_{f}}{m}=\nu \nabla^{2} \vec{U}_{a}\]

donde ν es la viscosidad cinemática,\(\nabla^{2}=\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla}=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\) se llama operador Laplace o laplaciano, y\ vec {U} es la velocidad del paquete aéreo. La fuerza viscosa es importante para resistir el flujo y disipar el flujo de aire en pequeñas escalas, como para una gota de lluvia individual, pero no es una fuerza importante en escalas mayores cuando se compara con otras fuerzas como la gravedad y la fuerza de gradiente de presión (como se demostrará en la Sección 10.5).

La fricción turbulenta es importante para el movimiento atmosférico a mayor escala, incluso el movimiento a escala sinóptica. El flujo en el kilómetro o dos más bajo de la atmósfera, llamado capa límite atmosférica, suele ser turbulento, con caóticos remolinos de aire grandes y pequeños que, cuando se toman juntos, tienen impulso en todas las direcciones. Durante el día, la turbulencia se genera por convección. Tanto durante el día como la noche, la turbulencia también se genera por la cizalladura del viento en toda la capa límite. No importa cómo se genere la turbulencia, proporciona un arrastre en el flujo horizontal a lo largo de la capa límite porque el aire que se mueve hacia arriba con bajo impulso horizontal choca con el aire en lo alto con un impulso horizontal alto, lo que lo ralentiza. Este arrastre turbulento a menudo se conoce como fricción, aunque la palabra “fricción” realmente se aplica solo a las interacciones a escala molecular.

La fricción turbulenta no es una fuerza fundamental; se representa en la ecuación de conservación del momento solo después de que la ecuación haya sido promediada a lo largo del tiempo, el espacio o ambos. Nuevos términos que representan la fricción turbulenta surgen del promedio de la derivada advectiva, que discutiremos con más detalle en la Lección 11. Por ahora, tomamos la ecuación de conservación del momento y la promediamos para que todas las cantidades que estamos predicando, como la velocidad, la presión y la densidad, realmente reflejen cantidades promedio que varían gradualmente a lo largo del espacio y el tiempo. Por ejemplo, la velocidad del viento promediada a lo largo de una hora y sobre el cuarto sureste de Pensilvania sería un buen ejemplo de una cantidad que se podría predecir a partir de la ecuación de conservación del impulso promediado. Por otro lado, una ráfaga de viento medida por un anemómetro en la parte superior de un edificio no sería un buen ejemplo de tal cantidad.

Para una capa límite turbulenta, la fricción turbulenta por unidad de masa es una función de cuatro cantidades: el coeficiente de arrastre adimensional,\(C_{d}\) la altura h de la capa límite planetaria, la magnitud de la velocidad\(\left|\vec{v}_{a}\right|\) horizontal y la propia velocidad horizontal:

\[-\frac{C_{d}}{h}\left|\vec{V}_{a}\right| \vec{V}_{a}\]

A pesar de que este arrastre turbulento no es realmente fricción, es una resistencia importante al flujo horizontal promedio en grandes escalas en la capa límite y así lo mantendremos, y no fricción molecular, como el término de fricción en la ecuación de impulso promediado. Tenga en cuenta que el arrastre turbulento es mayor dentro de la capa límite y se vuelve mucho más pequeño por encima de la capa límite, donde se asume que el coeficiente de arrastre se vuelve muy pequeño.

Resumen de Fuerza Inercial (Real)

Las fuerzas reales se pueden resumir en las siguientes dos ecuaciones. La primera ecuación representa cómo la velocidad instantánea de una parcela aérea individual varía con el tiempo. La segunda ecuación, que es un promedio de la primera ecuación, representa cómo varía la velocidad promedio de una masa de aire con el tiempo. Ambas ecuaciones incluyen aceleración, gravedad y la fuerza de gradiente de presión. La primera ecuación incluye fricción molecular y la segunda ecuación incluye fricción turbulenta. La primera ecuación es más precisa pero la segunda es más práctica para aplicaciones en clima y clima.

\[\frac{D_{a} \vec{U}_{a}}{D t}=-\frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p+\vec{g} *+\nu \nabla^{2} \vec{U}_{a}\]

\[\frac{D_{a} \vec{U}_{a}}{D t}=-\frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p+\vec{g} *-\frac{C_{d}}{h}\left|\vec{V}_{a}\right| \vec{V}_{a}\]