10.3: Por qué nos gusta la conservación

A los científicos les gustan las cosas que se conservan. Hay buenas razones para ello. Primero, si algo se conserva, eso significa que siempre podemos contar con que sea lo mismo sin importar lo que pase. Segundo, cuando escribimos la ecuación para la cantidad conservada, podemos usar esa ecuación para entender cómo cambiarán las variables de la ecuación con diferentes condiciones. Por ejemplo, en la Lección 2, pudimos utilizar la Primera Ley de la Termodinámica (también conocida como conservación de energía) junto con la Ley del Gas Ideal para derivar la ecuación para la temperatura potencial, lo cual es muy útil para comprender y calcular el movimiento vertical de las parcelas de aire.

En la dinámica atmosférica, nos gustan tres leyes de conservación:

1. conservación de la energía (La ^1ª Ley de la Termodinámica)
2. conservación de la masa
3. conservación del impulso (la Segunda Ley de Newton, pero en realidad tres ecuaciones, una en cada dirección)

Conservación de la Masa

Entonces, demos un paso atrás y veamos la masa de una parcela aérea, que equivale a la densidad por el volumen de la parcela:

\[m=\rho V \label{10.2}\]

En una parcela se conserva la masa, y como m = ρV,

\[\frac{D}{D t}(m)=\frac{D}{D t}(\rho V)=0\]

Aplica la regla del producto a la Ecuación\ ref {10.2}:

\[V \frac{D \rho}{D t}+\rho \frac{D V}{D t}=0\]

Divide ambos lados por ρV:

\[\frac{1}{\rho} \frac{D \rho}{D t}+\frac{1}{V} \frac{D V}{d t}=0\]

Recordemos que la tasa específica de cambio en el volumen de la parcela es igual a la divergencia (Ecuación 9.4) y así podemos escribir:

\[\frac{1}{V} \frac{D V}{d t}=\vec{\nabla} \bullet \vec{U}\]

Reorganizar la ecuación nos da una expresión para la conservación de la masa:

\[\frac{1}{\rho} \frac{D \rho}{D t}+\vec{\nabla} \cdot \vec{U}=0\]

Esta ecuación es para la conservación de la masa en un fluido continuo (es decir, las partículas de fluido son tan pequeñas que la parcela aérea se comporta como un fluido). También se le llama la Ecuación de Continuidad. Físicamente, esta ecuación significa que si el flujo está convergiendo\((\vec{\nabla} \bullet \vec{U}<0),\) entonces la densidad debe aumentar\(\left(\frac{D \rho}{D t}>0\right)\). Obsérvese que en la Lección 9.5 dijimos que la densidad no cambia mucho a ningún nivel de presión fijo, que es como pudimos relacionar la divergencia/convergencia horizontal con el ascenso/descenso vertical. Lo que sí cambió fue el tamaño vertical de la parcela aérea a medida que el tamaño horizontal aumentaba o disminuía. La masa total, sin embargo, se mantuvo igual.

“Isaac Newton xilografía, frontispicio a Mach” de un artista desconocido tras un retrato de Kneller, ca. 1689. (Dominio público vía Wikimedia Commons).

Conservación del Momentum

La ^2ª Ley de Newton, F = m a, se aplica a una masa con respecto al sistema de coordenadas inerciales del espacio. Pero nos interesa el movimiento con respecto a la Tierra giratoria. Entonces, para aplicar la ^2ª Ley de Newton a la atmósfera de la Tierra, nuestras matemáticas necesitarán dar cuenta de las fuerzas del sistema de coordenadas giratorias de la Tierra:

\[\vec{F}=m \vec{a}=\sum_{i}(\text { real forces })+\sum_{(\text {apparent forces })}=m \frac{d \vec{U}}{d t}\]

donde el primer conjunto de fuerzas son fuerzas reales y el segundo conjunto son fuerzas aparentes (o efectivas) que se utilizarán para corregir el uso de un sistema de coordenadas unido a una Tierra giratoria.

Cuando usamos la palabra “específico” como adjetivo que describe un sustantivo en la ciencia, nos referimos a ese sustantivo dividido por masa. Entonces, la fuerza específica es F /m = a, aceleración. En lo que sigue, usaremos los términos “fuerza” y “aceleración” indistintamente, asumiendo que si decimos “fuerza”, nos referimos a “fuerza/masa”, que es aceleración. En este punto, deberías poder revisar las unidades —si no hay “kg”, entonces obviamente estamos hablando de aceleraciones.

\[\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{\vec{d} \vec{U}}{d t}\]