10.7: ¿Todos los términos de estas ecuaciones son igualmente importantes? Vamos a usar el análisis de escala.

Nuestras ecuaciones de movimiento tienen varios términos en ellas, y la pregunta es: “¿Cuáles son las más grandes y, por lo tanto, las más importantes?” La respuesta es: “Depende de la situación”. Puedes seguir los siguientes pasos para determinar qué términos mantener y cuáles puedes ignorar con seguridad cuando intentas calcular el balance de fuerzas para un fenómeno atmosférico específico. Este proceso se llama análisis de escala y se puede aplicar a cualquier ecuación de conservación que desee simplificar.

1. Decidir sobre el fenómeno de interés (e.g., ciclón, frente, huracán, tornado).
2. Determinar las longitudes y tiempos característicos (es decir, típicos) durante los cuales ocurre el fenómeno.
3. Determinar el rango de fluctuaciones de las variables de ecuación en el espacio y el tiempo durante el fenómeno.
4. Derivados aproximados (es decir,\(\left.\frac{\partial p}{\partial x} \sim \frac{\Delta p}{\Delta x}\right)\)
5. Comparar las magnitudes de los términos en la ecuación.
6. Mantener sólo los términos relativamente grandes (digamos, los dos órdenes de magnitud superiores) y descuidar los términos más pequeños.

El parámetro Coriolis

Definir el parámetro Coriolis como\(f \equiv 2 \Omega \sin \phi .\) At\(45^{\circ} \mathrm{N}\)

\(f=(2)\left(7.27 \times 10^{-5} \mathrm{s}^{-1}\right) \sin 45^{\circ} \sim 10^{-4} \mathrm{s}^{-1}\)Utilizaremos este parámetro en el análisis de escala en la siguiente sección y luego a lo largo del resto de la lección.

Ejemplo: Análisis a escala de la ecuación promedio de x -momentum para el flujo de escala sinóptica de latitud media en la troposfera libre.

1. Fenómeno: flujo sinóptico a escala media en la troposfera libre.

2. \(L \sim 1000 \mathrm{km}=10^{6} \mathrm{m} ; H \sim 10 \mathrm{km}=10^{4} \mathrm{m} ;\left(\text { in boundary layer only, } C_{d} \sim 10^{-2} \text { and } h \sim 1000 \mathrm{m}\right) ; t \sim ?\)

3.

\(U \sim 10 \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1} ; \Delta p \sim 10 \mathrm{hPa}=10^{3} \mathrm{Pa}\)(en la horizontal)

\(t \sim L / u=\left(10^{6} \mathrm{m}\right) /\left(10 \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}\right)=10^{5} \mathrm{s} \sim 1\)día

\(f_{o} \sim 2 \Omega \sin \phi_{o} \sim 2 \Omega \cos \phi_{o} \sim 10^{-4} \mathrm{s}^{-1}\)

\(W \sim H / t=10^{-1} \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1} ; a \sim 10^{7} \mathrm{m} ; \nu \sim 10^{-5} \mathrm{m}^{2} \mathrm{s}^{-1} ; \rho \sim 1 \mathrm{kg} \mathrm{m}^{-3}\)

4 y 5.

término	magnitud (variables)	magnitud (m s ^-2)
\(\frac{D u}{D t}=\)	\(\frac{U}{t}\)	\(\frac{10}{10^{5}}=10^{-4}\)
\(2 \Omega v \sin \phi\)	\(f_{o} U\)	\(10^{-4} 10=10^{-3}\)
\(-2 \Omega w \cos \phi\)	\(f_{o} W\)	\(10^{-4} 10^{-1}=10^{-5}\)
\(\frac{u w}{a}\)	\(\frac{U W}{a}\)	\(\frac{(10)\left(10^{-1}\right)}{10^{7}}=10^{-7}\)
\(\frac{u v \tan \phi}{a}\)	\(\frac{U^{2}}{a}\)	\(\frac{10^{2}}{10^{7}}=10^{-5}\)
\(-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}\)	\(\frac{\Delta p}{\rho L}\)	\(\frac{10^{3}}{(1)\left(10^{6}\right)}=10^{-3}\)
\(-\frac{C_{d}}{h}|\vec{V}| \vec{V}\)	\(\frac{C_{d} U^{2}}{h}\)	\(\frac{10^{-2} 10^{2}}{10^{3}}=10^{-3}\)
\(\nu \nabla^{2} u\)	\(\frac{\nu U}{H^{2}}\)	\(\frac{\left(10^{-5}\right)(10)}{10^{8}}=10^{-12}\)

6. Usando solo los términos más importantes (es decir, los más grandes) y sabiendo que el término de arrastre turbulento va a cero por encima de la capa límite atmosférica, podemos escribir un balance simplificado de x -momentum como:

\[0=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial x}+f v\]

Usando el mismo análisis de escala con la ecuación y -momentum, podemos escribir un balance de y-momentum simplificado como:

\[0=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial y}-f u\]

Sólo quedan dos términos en ambas ecuaciones. Un término es la fuerza de gradiente de presión y el otro es la fuerza de Coriolis. Desde\(\frac{D u}{D t}\)

es mucho menor que la fuerza de gradiente de presión o la fuerza de Coriolis, estas dos fuerzas deben estar aproximadamente en equilibrio. A este equilibrio le llamamos el Equilibrio Geostrófico. Es muy importante para entender la dinámica atmosférica y más adelante hablaremos de sus consecuencias con más detalle.

El término de fricción molecular es el más pequeño de todos los términos para el caso de flujo a gran escala en la atmósfera. Este término es casi siempre muy pequeño para la mayoría de los fenómenos meteorológicos, por lo que antes lo habíamos eliminado de la ecuación de conservación del impulso promediado.

Ignoramos el término de aceleración, Du/Dt, porque es un orden de magnitud menor que los otros dos términos. A menudo debemos mantener todos los términos que están dentro de un orden de magnitud el uno del otro porque nuestras aproximaciones pueden sesgar nuestros resultados de una manera u otra. Por ejemplo, si decimos que la velocidad es de 10 m s ^—1, la escala espacial es de 100 km, y el cambio de presión es de 10 hPa cuando los números más precisos son más como 20 m s ^—1, 50 km y 5 hPa, entonces estaríamos apagados casi un orden de magnitud en nuestro valor para la fuerza centrífuga, pero obtendríamos el mismo orden de magnitud para la fuerza de gradiente de presión. Entonces, términos que son dos órdenes de magnitud más pequeños que el resto los puedes descuidar fácilmente, pero piensa cuidadosamente en términos que son solo un orden de magnitud diferentes. Por ejemplo, para sistemas de baja presión muy intensos, se\(\frac{D u}{D t}\) debe considerar porque puede llegar a ser aproximadamente tan grande como la fuerza de gradiente de presión y la fuerza de Coriolis.

Cuando el análisis de escala se aplica a la ecuación z-momentum para el flujo de escala sinóptica de latitud media, el resultado es el balance z -momentum simplificado:

\[0=-\frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial z}-g\]

Si reorganiza la Ecuación [10.26], obtendrá la ecuación de equilibrio hidrostático, Ecuación [2.18]. Anteriormente lo derivamos usando un equilibrio de fuerzas sobre una losa de aire, pero aquí sale naturalmente de la ecuación z-momentum.

El siguiente video (4:19) proporciona una explicación adicional sobre cómo completar el ejemplo anterior:

Video de Análisis de Escala

Haga clic aquí para ver la transcripción del video de análisis de escala.

El análisis de escala es muy importante. Porque nos dice qué términos en cualquier ecuación son los más importantes y qué términos podemos ignorar. En el análisis de escala no es necesario conocer los valores exactos de las variables. Pero en cambio solo necesitas conocer su orden de magnitud. El proceso es sencillo. Primero, determinar el fenómeno de interés ya sea ciclón, frente, huracán, tornado, escala sinóptica, clima invernal. Determinar la característica, es decir, las longitudes y tiempos típicos, sobre los cuales ocurre el fenómeno. Determinar el rango de fluctuaciones de las variables de ecuación en el espacio y el tiempo durante el fenómeno. Derivadas aproximadas, es decir, el parcial de p con respecto a x se convertiría en delta p sobre delta x donde se estiman aproximadamente. Comparar las magnitudes de términos en la ecuación. Y luego mantener sólo los términos relativamente grandes —digamos los dos primeros órdenes de magnitud— y descuidar los términos mucho más pequeños. Veamos este ejemplo de la ecuación de x momentum para el flujo de escala sinóptica de latitud media. Entonces en este caso es flujo sinóptico a escala media de latitud. El lago es de unos 1.000 kilómetros, que es de 10 y 6 metros. La altura es de unos 10 kilómetros, que es de 10 a los 4 metros. Y si estuviéramos solo en la capa límite, encontraríamos que los coeficientes de fricción de arrastre son de 10 a menos 2. Y la altura de la capa límite es de aproximadamente 1,000 metros. Ahora sabemos que u está a unos 10 metros por segundo, más o menos. Podría ser mucho menos y mucho más. Pero es ese orden de magnitud. Delta p es de aproximadamente 10 milibar sobre la duración del interés. Vemos que el tiempo entonces es igual a la escala del flujo sinóptico a escala dividido por la velocidad, que es de 10 al 6 dividido por 10, o 10 a los 5 segundos que es aproximadamente un día. Y vemos que el parámetro de Coriolis es de aproximadamente 10 al menos 4 por segundo. Y podemos estimar otros factores, como la velocidad w que es la altura dividida por el tiempo. Entonces eso es alrededor de 10 al menos 1 metros por segundo. Y así sucesivamente. Seguimos buscando derivados y otros términos. Y así, por ejemplo, la aceleración en la dirección u es de unos 10 metros por segundo dividido entre 10 y 5, que es de aproximadamente 10 a menos 4. Y así ese es el tamaño de ese término. Vemos que el término de Coriolis es de aproximadamente 10 a menos 3. Vemos que otros términos aparentes son 10 al menos 5 a 10 al menos 7. Son un poco más pequeños. La fuerza de gradiente de presión que vemos es de 1 sobre la densidad, que es de aproximadamente 1 kilogramo por metro cúbico por la diferencia de presión que es de aproximadamente 10 a las 3 pascales divididas por la distancia, que es de 10 a los 6 metros. Entonces se trata de 10 a menos 3. Y vemos que si estuviéramos en la capa límite ese arrastre aerodinámico que causa fricción está actuando como fricción. Se trata del 10 al menos 3. Entonces, en la capa límite necesitaríamos considerar este término porque es del mismo orden de magnitud que el término de gradiente de presión y uno de los términos más grandes. Cuando no estamos en la capa límite entonces c sub d es en realidad muy, muy pequeño. Y este término es muy pequeño. Podemos ignorarlo. El último término es viscosidad que es verdadera fricción. Y podemos ver que para el caso de la viscosidad es minúscula. Y por lo tanto siempre podemos ignorarlo para flujo sinóptico a escala. Entonces cuando miramos los términos que tenemos vemos que tenemos alejados de la capa límite tenemos dos términos el conteo. Es decir tenemos el término Coriolis. Y tenemos el gradiente de presión. Y esos son los únicos dos términos que necesitamos mantener.