5.5.5: Corriente a lo largo de la costa

En la dirección a lo largo de la costa, la transferencia de impulso desde el movimiento de las olas al flujo medio da lugar a una corriente longshore. Tenga en cuenta que además de esta corriente inducida por olas (debido a la disipación de olas en la zona de ruptura), también las fuerzas de marea y viento pueden generar una corriente a lo largo de la costa. Estos se discuten en la Secc. 5.6 y Secc. 5.7.2.

La corriente de longshore (magnitud de velocidad y distribución a través de la costa) es un parámetro de entrada de hormigas de importación en cálculos de transporte de sedimentos de larga costa.

Balance de momento a lo largo de la costa (contornos de profundidad rectos y paralelos)

Consideramos nuevamente la situación 2D (ver Fig. 5.4) de una ola de cresta larga que incide oblicuamente en una costa uniforme a lo largo de la costa (\(\theta = \varphi\)y todos los\(y\) derivados son cero). La tasa de variación transversal de la componente de cizallamiento de la tensión de radiación\(S_{yx}\) actúa como una fuerza impulsora (Ec. 5.5.3.4). En la dirección transversal a la costa la fuerza de equilibrio fue suministrada por un gradiente de presión hidráulica. Sin embargo, para una línea costera ininterrumpida infinitamente larga, no se puede desarrollar tal gradiente de presión hidráulica en la dirección a lo largo de la costa. Por lo tanto, la contrafuerza que restablece el equilibrio debe ser suministrada por esfuerzos cortantes de lecho que se desarrollan cuando se genera una corriente de larga costa El esfuerzo cortante inferior restrina la corriente y es distinto de cero solo en presencia de una corriente. Tenga en cuenta que en la dirección transversal a la costa el esfuerzo cortante del lecho asociado con la corriente media se asumió pequeño en comparación con la fuerza de presión.

Solo consideramos la situación estacionaria. El componente a lo largo de la costa del balance de impulso para un estado estacionario y uniformidad a lo largo de la costa se puede escribir como:

\[F_y = -\dfrac{dS_{yx}}{dx} = \bar{\tau}_{b,y}\label{eq5.5.5.1}\]

Figura 5.36: Fuerzas que actúan sobre la columna de agua (vista en planta). La dirección de la corriente longshore es de izquierda a derecha en la figura.

El equilibrio entre la fuerza motriz y la fuerza de resistencia o retardo se muestra en la Fig. 5.36.

Fuerza de oleaje en situación de uniforme a lo largo

Primero evaluemos\(F_y = -dS_{yx}/dx\) en aguas más profundas, es decir, fuera de la zona de ruptura. En la Secc. 5.5.2 encontramos\(S_{yx} = En \sin \varphi \cos \varphi \). El ángulo de onda cambia en función de\(x\), pero no varía con\(y\). Esto último lleva a la ley de Snell para las ondas regulares (Ec. 5.2.3.1):\(\sin \varphi /c\) = constante. Conservación de energía (Ec. 5.2.1.2) requiere\(d(Ec_g \cos \varphi)/dx = -D_w\) bajo los presentes supuestos. Para las ondas lineales ahora podemos escribir la fuerza de onda Eq. 5.5.3.4 como:

\[F_y = -\dfrac{dS_{yx}}{dx} = -\dfrac{\sin \varphi}{c} \dfrac{d}{dx} Ec_g \cos \varphi = \dfrac{D_w}{c_0} \sin \varphi_0 \label{eq5.5.5.2}\]

Al parecer, la fuerza impulsora a lo largo de la costa es función de la disipación de la energía de las olas. Fuera de la zona de olas se puede descuidar la disipación de la energía de las olas y por lo tanto el flujo de energía\(Ec_g = (Ec_g \cos \varphi, Ec_g \sin \varphi)\) es constante Tenemos a falta de disipación:\(S_{yx}\) y\(F_y = 0\). Entonces, aunque fuera de la zona de oleaje las condiciones de ola cambian con\(x\) (altura de ola debido a bajíos; dirección de la ola por refracción), el esfuerzo cortante de radiación es constante. Por lo tanto, dado que el forzamiento a lo largo de la costa solo está presente cuando las olas están rompiendo, la corriente longshore se limita a la zona de oleaje (ver también Intermezzo 5.6).

Intermezzo 5.6 Disipación de energía y corrientes medias

El hallazgo de que una corriente media solo es impulsada en el caso de la disipación de energía es universalmente válido, también en situaciones menos simplificadas. La fuerza de onda consta de dos partes:

• Una parte en la dirección de propagación de la onda que está relacionada con la disipación de energía. Este término se concentra cerca de la superficie del agua donde realmente se produce la disipación. Esta\(D/c\) parte es rotacional y por lo tanto puede inducir corrientes medias o corrientes de circulación en el caso de un límite cerrado. Es el resultado de la vorticidad generada por la ruptura de la ola y proviene del efecto de la variación de velocidad y presión sobre el flujo de impulso;
• Una parte irrotacional que es invariante en profundidad. Esto implica que no hay desequilibrio vertical. Por lo tanto, esta parte se puede equilibrar por configuración y establecer sin corrientes de conducción. Sólo afecta indirectamente a la corriente inducida por ondas, a través de su efecto sobre la profundidad media. En la zona de oleaje esta última influencia sobre la corriente media es pequeña comparada con la de la disipación.

Modelo analítico para fuerza de ola a lo largo de la costa en la zona de olas

Para encontrar una expresión analítica fácil para la corriente longshore asumimos nuevamente el modelo simple de disipación de olas debido a la ruptura que relaciona la altura de ola con la profundidad del agua local:\(H =\gamma h\) por cada profundidad de agua en la zona de surf. Una alternativa sería resolver el balance energético numéricamente. La expresión analítica se calcula a partir del modelo de disipación y la ley de Snell:

\[F_y = -\dfrac{\sin \varphi}{c} \dfrac{d}{dx} Ec_g \cos \varphi = -\dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} \dfrac{d}{dx} 1/8 \rho g \gamma^2 h^2 c_g \cos \varphi\]

En aguas poco profundas\(c_g = c = \sqrt{gh}\) y dado que debido a la refracción\(\varphi\) es pequeña (generalmente alrededor de 10° a 15°) asumimos\(\cos \varphi \approx 1\). Ahora tenemos:

\[F_y \approx -\dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} 1/8 \rho g^{3/2} \gamma^2 \dfrac{d}{dx} h^{5/2} = -\dfrac{5}{16} \dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} \rho (gh)^{3/2} \gamma^2 \dfrac{dh}{dx}\]

Figura 5.37: Esfuerzo cortante por radiación\(S_{yx}\) para\(H_0 = 2m, T = 7s, \varphi_0 = 30^{\circ}\), pendiente de fondo constante 1:100 e índice de ruptura\(\gamma = 0.8\).

Como se mencionó anteriormente, el esfuerzo cortante por radiación\(S_{yx}\) es constante hacia el mar del borde de la zona de ruptura (así la fuerza de la onda es cero). Disminuye dentro de la zona de ruptura a cero en la línea de flotación (ver Fig. 5.37).

Para muchas condiciones de ola del día a día, este gradiente en\(S_{yx}\) causa tensiones a lo largo de la costa (fuerzas) que están en el mismo orden de magnitud que el esfuerzo cortante del fondo en los ríos: en el orden de\(1\ N/m^2\) a\(10\ N/m^2\). Por lo tanto, el gradiente transversal en la tensión de radiación a lo largo de la costa\(S_{yx}\) es una fuerza impulsora importante en la zona litoral.

Ley de fricción cuadrática para esfuerzo cortante de lecho

El siguiente paso es la formulación del esfuerzo cortante del lecho. En la Secc. 5.4.3 ya hemos discutido la ley de fricción cuadrática para situaciones de onda y solo de corriente. Para las corrientes la turbulencia está presente en toda la columna de agua. La turbulencia debida a las olas solo está presente en la capa límite de onda y aumenta significativamente la tensión de cizallamiento del lecho. Esto no solo se debe al aumento significativo de los factores de fricción sino a que la velocidad es generalmente mayor en el movimiento de las olas. Para el perfil vertical de la corriente longshore necesitamos una ley cuadrática de resistencia de corriente combinada y acción de olas. Tal ley no es trivial ya que:

• Debido a la ley de fricción cuadrática, la adición de los efectos de las ondas y la corriente es no lineal. Debido a la adición no lineal, el esfuerzo cortante combinado promediado a lo largo del período de onda es generalmente mayor que la suma lineal de la tensión de cizallamiento del lecho de solo corriente y solo de onda;
• Las olas y corrientes pueden no tener la misma dirección. Las olas son incidentes con cierto ángulo mientras que la corriente longshore es paralela a la costa. Como resultado, la dirección y magnitud de la tensión cortante del lecho durante el ciclo de ola varía continuamente. El esfuerzo cortante del lecho medio-tiempo depende del ángulo entre las ondas y la corriente;
• Como se discutió anteriormente, para las corrientes la turbulencia está presente en toda la columna de agua y solo para las olas en la capa límite de olas. Por lo tanto, tiene sentido relacionar el esfuerzo cortante del lecho debido a las corrientes con una velocidad media de profundidad y debido a las olas con la velocidad de flujo libre fuera de la capa límite de onda. ¿La velocidad a la que se debe elegir la altura para el movimiento combinado de la corriente de onda?
• Tenga en cuenta que las descripciones anteriores tratan con el esfuerzo cortante inferior promediado en el tiempo; ignoran las tensiones de cizallamiento momentáneas (o intra-onda) que pueden ocurrir dentro del período de la ola. Esto parece razonable a la hora de determinar las corrientes inducidas por las olas. Sin embargo, las fluctuaciones de velocidad intra-onda pueden ser importadoras para el transporte neto de sedimentos (promedio de onda) (ver también Chs. 6 y 7).

Por las razones mencionadas anteriormente existen muchos modelos diferentes para el esfuerzo cortante del lecho bajo olas y corrientes. Dependiendo del modelo, las contribuciones relativas de las olas y corrientes al esfuerzo cortante del lecho varían. Algunos modelos describen el esfuerzo cortante del lecho promediado en el tiempo, otros el esfuerzo de cizallamiento instantáneo del lecho. La descripción del transporte de sedimentos requiere un esfuerzo cortante preciso (intra-onda o promediado en el tiempo, dependiendo del modelo de transporte de sedimentos). Por tanto en la Secc. 6.5 el esfuerzo cortante del lecho se trata con más detalle.

Para la determinación del esfuerzo cortante del lecho promediado en el tiempo en la dirección a lo largo de la costa, necesario para calcular la corriente longshore, tomamos un enfoque bastante simple:

• El movimiento de las olas es descrito por la teoría de aguas poco profundas (amplitud orbital constante fuera de la capa límite de onda);
• El ángulo de incidencia es muy pequeño, tal que para el movimiento de la onda\((u_x, u_y) = (\hat{u} \cos \omega t, 0)\);

Figura 5.38: La magnitud del vector de velocidad instantánea en la zona de oleaje con\(V\) la velocidad de la corriente de longshore y la velocidad orbital (en la dirección transversal).

• El vector de fricción del lecho está relacionado con el vector de velocidad promediada en profundidad. Esta última es la suma de la velocidad de la corriente longshore promediada en profundidad y el movimiento orbital de la ola:\(\vec{u} = (\hat{u} \cos \omega t, V)\), ver Fig. 5.38;

• La fricción de lecho variable en el tiempo se escribe como:
  \[\vec{\tau}_b = \rho c_f |\vec{u}| \vec{u}\]

• La mejora del factor de fricción (en comparación con una situación de solo corriente) debido a la pequeña altura de la capa límite de onda en comparación con la capa límite actual no se especifica más.

En la dirección transversal a la costa, el esfuerzo cortante del lecho promediado en el tiempo (no el instantáneo) es cero. Con las aproximaciones anteriores, el esfuerzo cortante del lecho promediado en el tiempo en la dirección a lo largo de la costa dice:

\[\bar{\tau}_{b,y} = \overline{\rho c_f |\vec{u}| V} = \rho c_f \sqrt{V^2 + \hat{u}^2 \cos^2 \omega t} V\]

Si además asumimos que\(V \ll \hat{u}\) esto puede simplificarse para:

\[\bar{\tau}_{b,y} = \dfrac{2}{\pi} \rho c_f \hat{u} V\]

Con\(\hat{u}\) en aguas poco profundas dadas por la Eq. 5.4.1.2 y con una relación constante de la altura de ola sobre la profundidad del agua en toda la zona de surf encontramos:

\[\bar{\tau}_{b,y} = \dfrac{1}{\pi} \rho c_f \sqrt{gh} \dfrac{H}{h} V \label{eq5.5.5.8}\]

Modelo analítico para corriente longshore (sin dispersión lateral)

Para condiciones estables, la velocidad a lo largo de la costa se deriva del equilibrio entre la fuerza impulsora y la fuerza de fricción de resistencia (Ec. \(\ref{eq5.5.5.1}\)). Esto rinde con la Ec. \(\ref{eq5.5.5.2}\)) y la Eq. \(\ref{eq5.5.5.8}\)):

\[\dfrac{D_w}{c_0} \sin \varphi_0 = \dfrac{1}{\pi} \rho c_f \sqrt{gh} \dfrac{H}{h} V \Leftrightarrow V(x) = \dfrac{\pi}{c_f \rho g \sqrt{g}} \dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} \dfrac{D_w (x)}{H(x)} \sqrt{h(x)}\]

La magnitud de la velocidad promedio en profundidad de la corriente en tierra larga varía en la zona de oleaje en función de la disipación, la altura de las olas y la profundidad del agua. La disipación y las alturas de onda se pueden modelar usando un modelo de onda (con modelo de rodillo). En nuestro modelo de disipación simple\(\gamma = H/h\) = constante y podemos escribir el balance de fuerzas Eq. \(\ref{eq5.5.5.1}\)como:

\[-\dfrac{5}{16} \dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} \rho (gh)^{3/2} \gamma^2 \dfrac{dh}{dx} = \dfrac{1}{\pi} \rho c_f \sqrt{gh\gamma V}\]

lo que lleva a:

\[V(x) = -\dfrac{5}{16} \pi \dfrac{\gamma}{c_f} g \dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} h \dfrac{dh}{dx}\]

Para una pendiente de playa constante\(\tan \alpha = -d h_0/dx\) y para\(dh/dx \approx dh_0/dx\), la velocidad actual es proporcional a la profundidad con un máximo en la línea de ruptura (donde\(h = h_b\)):

\[V(x) = \dfrac{5}{16} \pi \dfrac{H_b}{c_f} g \dfrac{\sin \varphi_0}{c_0} \dfrac{h}{h_b} \tan \alpha \label{eq5.5.5.12}\]

Figura 5.39: Distribución de la velocidad a lo largo de la costa (campo de olas regular\(H_0 = 2m, T = 7s, \varphi_0 = 30^{\circ}\), pendiente inferior 1:100,\(\gamma = 0.8\), altura de rugosidad\(r = 0.06 m\)). La desviación de la distribución lineal se deriva de la variación entre costas en los factores de fricción. La velocidad actual es cero fuera de la zona de surf.

Un perfil de corriente longshore según la Ec. \(\ref{eq5.5.5.12}\)se muestra en la Fig. 5.39. Cuanto mayor sea la altura de las olas\(H_b\) al romperse, mayor será la velocidad máxima de la corriente de larga costa y más amplia será la zona litoral; un factor 2 mayor altura de ola, resultaría entonces en un factor 8 mayor de descarga en la zona de oleaje. Eq. \(\ref{eq5.5.5.12}\)también nos permite hacernos una idea del efecto de la pendiente de la playa\(\tan \alpha\). Una pendiente más pronunciada, por un lado, da como resultado velocidades (linealmente) más altas. Por otro lado el ancho de la zona de surf se vuelve linealmente más pequeño. La descarga a través de toda la zona de surf es entonces constante a una primera aproximación (entre otros, hemos descuidado el efecto de la pendiente de la playa sobre el parámetro de ruptura, Secc. 5.2.5). Si el ángulo de ola es pequeño, la velocidad de la corriente de longshore a una profundidad de agua específica dentro de la zona de oleaje, se convierte en una función lineal de\(\varphi_0\) (ya que:\(\sin \varphi_0 = \varphi_0\) para pequeños\(\varphi_0\)).

Fuerzas turbulentas que redistribuyen el impulso

Hasta el momento, se ha ignorado el efecto de la dispersión lateral del momento por turbulencia. Incluir turbulencia en la ecuación de impulso tiende a suavizar los gradientes de velocidad (incluido el gradiente de velocidad poco realista en el punto de ruptura).

Primero veamos el modelado de turbulencias y turbulencias con un poco más de detalle. En la Secc. 5.4.3, se dijo que el vector de velocidad total estaba compuesto por una media, una onda y una parte turbulenta. El esfuerzo de cizallamiento turbulento se definió posteriormente como el esfuerzo introducido al promediar sobre el movimiento turbulento. En analogía con el modelado de tensiones viscosas, en un flujo turbulento el esfuerzo cortante generalmente se relaciona con gradientes de velocidad a través de una viscosidad turbulenta o parásita\(v_T\). La viscosidad molecular\(v\) parece hacer que el agua sea pegajosa y resista el flujo y puede considerarse como una medida de fricción de fluidos viscosos. De igual manera\(v_T\) es una medida de fricción de fluidos turbulentos (en aguas costeras\(v_T \gg v\)). La viscosidad de Foucault\(v_T\) [\(m^2/s\)] depende de una escala espacial característica y de una velocidad característica. En la zona litoral, ambos están relacionados con el movimiento de las olas. El movimiento orbital de la onda, por ejemplo, puede considerarse como una medida de la velocidad característica. Para la mezcla vertical, la longitud característica (mezcla) es la profundidad. La mezcla horizontal no está restringida por la profundidad del agua. Por esa razón, en el modelado nearshore, la viscosidad horizontal de Focco a menudo\(v_T, H\) se toma mucho más grande que\(v_T\) para la mezcla vertical. Los valores típicos para la viscosidad de\(v_T\) Foucaund son\(10^{-2} m^2/s\).

Hemos visto que la fuerza impulsora de la corriente longshore es\(\partial S_{yx} \partial x\). El componente cortante de la tensión de radiación\(S_{yx}\) se definió a través de la Ec. 5.5.2.5, en el que los componentes de velocidad son debidos al movimiento orbital. En analogía con la Ec. 5.5.2.5 podemos escribir para la fuerza turbulenta:

\[S_{yx}' = \overline{\int_{-k_0}^{\eta} (\rho u_y' u_x') dz}\]

donde la barra superior representa ahora promediar sobre el movimiento turbulento (indicado con primos). Este esfuerzo cortante o fuerza de fricción por unidad de superficie, actúa sobre una superficie paralela a la costa. Se puede modelar como:

\[S_{yx}' \cong h \rho v_{T, H} \dfrac{dV}{dx}\]

La viscosidad de Foucault\(v_T\) [\(m^2/s\)] también se conoce como difusividad horizontal.

La ecuación de impulso en la dirección a lo largo de la costa ahora dice:

\[\dfrac{D_w}{c_0} \sin \varphi_0 + \dfrac{d}{dx} \left (h \rho v_{T, H} \dfrac{dV}{dx} \right ) = \bar{\tau}_{b, y}\]

Figura 5.40: Efecto de la turbulencia sobre el perfil de velocidad.

El efecto de las fuerzas turbulentas, alisando el perfil de corriente de longshore, se indica en la Fig. 5.40. Dado que el gradiente de velocidad más grande ocurre en la línea de ruptura, la transferencia máxima de impulso horizontal ocurrirá aquí. Esto conduce a una reducción en la velocidad máxima, un desplazamiento hacia tierra de la posición de velocidad máxima y a una situación en la que también se producen velocidades de corriente en tierra fuera de la zona del disyuntor. La distribución transversal de la viscosidad de Foucault ahora también determina la distribución de la velocidad.

Momento del rodillo

En la Sección 5.5.4 se discutió que el inicio medido de la configuración ocurre más cerca de la costa de lo previsto. Este rezago espacial se atribuyó al momento del rodillo que no había sido tomado en cuenta. De manera similar, los perfiles de velocidad de corriente en tierra larga muestran un cambio en tierra en la velocidad máxima de la corriente en tierra Esto se puede modelar incluyendo la contribución del rodillo en la ecuación de impulso a lo largo de la costa.

Ondas irregulares

Figura 5.41: Velocidad impulsada por la onda calculada con el modelo computacional UniBest-CL+ (https://www.deltares.nl/en/software/unibest-cl) usando como entrada del modelo:\(H_{s, 0} = 2m\)\(\gamma = 0.7\);;\(\varphi_0 = 30^{\circ}\);\(T_p = 8s\)).

Hasta ahora sólo hemos considerado olas regulares. En realidad, por supuesto, las olas son irregulares y no hay una línea rompedor claramente definida. El efecto de la irregularidad de las olas es, por lo tanto, suavizar la distribución de la velocidad, muy similar al efecto de la turbulencia, dando una distribución de velocidad más amplia y menos pronunciada. Esto también se ilustra en la Fig. 5.41, que muestra la salida de un cálculo con el modelo de computadora UniBest-CL+.

Perfil con barra rompedor

Figura 5.42: Perfiles de corriente longshore calculados para Jarkus transect 7003850 (JARKUS, n.d.), que se encuentra cerca de Egmond. El perfil se mide en 2012 y muestra el efecto tanto del ciclo de barras autónomas (Secc. 7.3.4) y —en aguas más profundas— los alimentos de la costa. Se utilizan tres condiciones diferentes de olas de aguas profundas:\(H_s = 3 m\) y\(T_p = 9 s\) (la rotura ocurre en todas las barras),\(H_s =2m\) y\(T_p = 7s\) (no se produce una ruptura sustancial en la barra más externa),\(H_s = 1m\) y\(T_p = 5s\) (la rotura se produce principalmente en la barra más interna y cerca de la costa). En todos los casos\(\varphi = 30^{\circ}\) en aguas profundas.

Si tenemos un perfil costero con una barra rompedora, entonces la determinación de la distribución de velocidad se vuelve más complicada. En un enfoque simplificado, podemos distinguir entre una zona rompedor en el lado hacia el mar de la barra rompedora (si las olas realmente se rompen a las profundidades del agua correspondientes) y una zona de ruptura cerca de la costa donde se disipa la energía de las olas restante. Esta simplificación conduciría a una velocidad de corriente de tierra larga cero en la sección más profunda entre ambas zonas de disyuntor. También en tal situación, tanto la transferencia lateral del momento horizontal como la irregularidad de las olas suavizarán la distribución de la velocidad. Un ejemplo de la distribución de corriente de larga costa se da en la Fig. 5.42. El rompimiento de olas tiende a concentrarse en las barras y en estos lugares se impulsa una corriente de larga costa. Para la condición de ola más alta, la ruptura de ola ya ocurre en la barra más externa, mientras que para la condición de ola más baja, la ruptura de ola ocurre solo en la barra más interna y cerca de la costa.