5.5.4: Configuración y establecimiento de ondas de equilibrio entre costas
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Primero consideramos la fuerza de las olas en la dirección transversal a la costa (dada por la Ec. 5.5.3.1). Para fines ilustrativos, consideramos la situación simplificada de una onda de cresta larga que normalmente incide en contornos de profundidad rectos y paralelos (paralelos al\(y\) eje,\(\theta = \varphi = 0\)). Esto significa que no hay gradientes en la dirección a lo largo de la costa: la situación es uniforme a lo largo de la costa (todas las\(y\) derivadas son cero) y la fuerza de la ola se reduce a la Ec. 5.5.3.2.
Balance de masa entre costas (costa uniforme a lo largo de la costa)
En un caso estacionario la corriente transversal promediada sobre toda la columna de agua debe ser cero (ya que el agua no se acumula más y más contra la costa ni fluye hacia aguas más profundas). En cada punto del perfil transversal, el flujo masivo dirigido en tierra cerca de la superficie del agua es compensado por una corriente de retorno dirigida en alta mar a elevaciones más bajas, de tal manera que el flujo promedio de profundidad neta a través de cada sección transversal es cero (ver Fig. 5.25). La velocidad media de profundidad dirigida en alta mar bajo el nivel de canal de la ola se puede encontrar en la Ec. 5.5.1.4.
Balance de impulso entre costas (costa uniforme a lo largo de la costa)
Figura 5.32: En la zona de bajío, los\(S_{xx}\) aumentos en dirección a tierra resultan en una fuerza de ola que actúa en dirección hacia el mar y una disminución del nivel medio del agua hacia el punto de ruptura. La ruptura de olas en las olas provoca\(S_{xx}\) una disminución en dirección terrestre, de tal manera que las fuerzas de una ola en tierra elevan el nivel del agua hacia la costa (puesta a punto).
Figura 5.33: El volumen de control para un simple balance de momento entre costas entre dos ubicaciones 1 y 2. El estrés por radiación se encuentra\(S_{xx,1}\) en la ubicación 1 y\(S_{xx, 2}\) en la ubicación 2. Los triángulos y el cuadrilátero indican las fuerzas de presión. Si las ubicaciones 1 y 2 están en la zona de oleaje, la fuerza de ola dirigida en tierra (en tierra desde\(S_{xx, 1} > S_{xx, 2}\)) se equilibra con una fuerza de presión neta en alta mar (a través de una elevación del nivel del agua hacia la costa).
La fuerza de las olas está determinada por el gradiente transversal a la costa de\(S_{xx}\). La magnitud de la tensión de radiación\(S_{xx} = (2n - 1/2) E\) en la dirección de propagación de la onda depende de la altura de la ola, la profundidad del agua y la longitud de onda. Con base en la conservación de energía Secc. 5.2.2 mostró que la energía de las olas (alturas de ola) tiende a aumentar cuando las olas se acercan a la zona de oleaje (después de una pequeña disminución inicial). Dado que\(n\) los incrementos en las profundidades intermedias del agua, se\(S_{xx}\) incrementan en la región bajera. Además en alta mar en aguas muy profundas, el estrés por radiación\(S_{xx}\) es constante. Un aumento\(S_{xx}\) en la dirección hacia tierra significa que en una columna de agua una fuerza resultante debido a tensiones de radiación está actuando en la dirección hacia el mar (ver Figs. 5.31 y 5.32). Una (pequeña) diferencia en el nivel del agua a ambos lados de la columna de agua (más abajo hacia la costa) asegura que se logre nuevamente el equilibrio de fuerzas. Este fenómeno se denomina ajuste de olas, lo que significa que fuera de la zona rompedor en profundidades intermedias de agua, el nivel del agua en el lado hacia tierra de una columna de agua es un poco más bajo que en el lado del mar (véanse las figuras 5.32 y 5.33, figura superior). Dentro de la zona de oleaje la magnitud\(S_{xx}\) disminuye rápidamente debido al rompimiento de olas mientras se mueve hacia la línea de flotación. La disminución de\(S_{xx}\) es equivalente a una fuerza en dirección terrestre (ver Fig. 5.32). Para lograr nuevamente el equilibrio, el nivel del agua en el lado hacia tierra de la columna debe ser mayor que en el lado hacia el mar (configuración de olas, ver Fig. 5.32) creando una fuerza de presión dirigida hacia el mar (ver Fig. 5.33, gráfica superior).
La cifra inferior de la Fig. 5.33 ilustra el equilibrio de impulso entre dos puntos (arbitrarios) 1 y 2. La fuerza de presión neta (por unidad de distancia a lo largo de la costa) es\(P_x \Delta x = -\rho g h d \bar{\eta}/dx \Delta x\). Consta de:
- la fuerza hidrostática\(1/2 \rho g h^2\) en el punto 1; menos
- la fuerza hidrostática\(1/2 \rho g (h + dh/dx \Delta x)^2 \approx 1/2 \rho g h^2 + \rho g h dh/dx \Delta x\) en el punto 2; menos
- la componente horizontal\(\approx \rho g h (dh_0/dx \Delta x)\) de la fuerza hidrostática a lo largo del fondo.
El equilibrio entre el gradiente de tensión de radiación y el término de presión debido a la pendiente del nivel de agua (ver Fig. 5.34) produce la siguiente ecuación diferencial de primer orden:
\[F_x = -\dfrac{dS_{xx}}{dx} = \rho g h \dfrac{d\bar{\eta}}{dx} = \rho g (h_0 + \bar{\eta}) \dfrac{d\bar{\eta}}{dx}\label{eq5.5.4.1}\]
donde:
| \(x\) | eje de coordenadas apuntando de tierra a mar | \(m\) |
| \(h_0\) | profundidad del agua muerta en el punto\(x\) (en ausencia de olas) | \(m\) |
| \(\bar{\eta}\) | Configuración del nivel de agua inducida por olas en el punto\(x\) | \(m\) |
Eq. \(\ref{eq5.5.4.1}\)es la ecuación de impulso transversal integrado en profundidad para una situación uniforme estacionaria a lo largo de la costa. Este equilibrio en la dirección transversal a la costa se mantiene tanto para olas oblicuas como normalmente incidentes. No hemos incluido la fricción de fondo en esta ecuación, porque generalmente se asume que es un orden de magnitud menor que los otros términos de la ecuación 6. También se asume que el término de Coriolis es pequeño en comparación con el forzamiento de olas. La ecuación es válida dentro y fuera de la zona de surf bajo las condiciones enumeradas anteriormente.
Obsérvese que dentro (fuera) de la zona de oleaje el término\(dS_{xx}/dx\) es negativo (positivo) dando un gradiente positivo (negativo) del nivel de agua (\(d\bar{\eta}/dx\)), véanse las Figs. 5.32 y 5.34.Por lo tanto, la superficie del agua sin gas se vuelve más baja en la región bajera (set-down). Moviéndose dentro de la zona de surf hacia la línea de flotación, la superficie del agua sin gas se vuelve más alta (configuración) Para calcular la configuración de la ola (y el ajuste) necesitamos evaluar los términos de estrés de radiación dentro y fuera de la zona de surf e integrar la Ec. \(\ref{eq5.5.4.1}\)con respecto a\(x\).
Con la Eq. 5.5.2.11 podemos escribir la Eq. \(\ref{eq5.5.4.1}\)como:
\[-\dfrac{d}{dx} \left [\left (n - \dfrac{1}{2} + n \cos^2 \theta \right ) E \right ] = \rho g h \dfrac{d\bar{\eta}}{dx}\label{eq5.5.4.2}\]
La variación de energía de las olas espaciales debe resolverse a partir de la conservación de energía, Ec. 5.2.1.2, lo que reduce a\(d(Ec_g \cos \theta )/dx = -D_w\) bajo los presentes supuestos.
Modelo simple para establecer olas en el caso de olas normalmente incidentes
Para las olas que normalmente inciden en una costa uniforme a lo largo de la costa (\(\theta = \varphi = 0\)) y bajo el supuesto de aguas poco profundas (\(n = 1\)) el balance de impulso Ec. \(\ref{eq5.5.4.2}\)se puede escribir como:
\[-\dfrac{d}{dx} \left (\dfrac{3}{2} E\right ) = \rho g h \dfrac{d\bar{\eta}}{dx}\label{eq5.5.4.3}\]
La Sección 5.2.2 nos dio el siguiente balance energético para una ola de bajío normalmente incidente:
\[\dfrac{H_2}{H_1} = \sqrt{\dfrac{c_{g.1}}{c_{g,2}}}\label{eq5.5.4.4}\]
Entre otros, Longuet-Higgins y Stewart (1962) derivaron una expresión para el ajuste de ondas regulares mediante la integración de la Ec. \(\ref{eq5.5.4.3}\)utilizando el balance energético de las ondas bajíos Ec. \(\ref{eq5.5.4.4}\). La constante de integración se determina a partir\(\bar{\eta} = 0\) de aguas profundas. Se puede demostrar que en la aproximación de aguas poco profundas el ajuste es entonces igual a:
\[\bar{\eta} = -\dfrac{1}{16} \dfrac{H^2}{h}\]
Para las olas que se propagan sin disipación hacia la orilla, la altura de ola aumenta y la profundidad del agua disminuye. Por lo tanto, la compensación aumenta gradualmente en magnitud hasta un máximo justo fuera de la zona de ruptura en el punto donde las olas comienzan a romperse. En el punto de interrupción, el ajuste es igual a:
\[\overline{\eta_b} = -\dfrac{1}{16} \dfrac{H_b^2}{h_b} = -\dfrac{1}{16} \gamma H_b\]
donde:
| \(\overline{\eta_b}\) | cambio de nivel de agua en el punto de ruptura de la ola | \(m\) |
| \(\gamma\) | índice de ruptura de onda (\(H_b/h_b\)) | - |
| \(H_b\) | altura de las olas en el punto de rotura | \(m\) |
| \(h_b\) | profundidad del agua sin gas en el punto de rotura | \(m\) |
Así, con\(\gamma\) poner igual a 0.8 la compensación en el punto de ruptura es 4% de la profundidad del agua local.
Modelo analítico para la configuración en el caso de ondas normalmente incidentes
Dentro del modelo de zona de surf, la disipación debida al rompimiento de olas debe incluirse en el balance energético. A continuación se deriva una expresión analítica para la configuración de ondas utilizando un modelo de disipación muy simple y asumiendo ondas normalmente incidentes. La derivación considera el equilibrio de fuerzas para todo el rompedor de la zona de surf (ver Fig. 5.35).
Un modelo simple para la disipación de energía debida al rompimiento de olas supone que la altura de ola en todas partes en la zona de surf es proporcional a la profundidad del agua local: en todas partes en la zona de surf\(H = \gamma h\) (ver Eq. 5.2.5.4). Si además utilizamos la aproximación de aguas poco profundas (\(n = 1\)), entonces se deduce que\(S_{xx} = 3/2 E\) está disminuyendo desde la línea de ruptura hacia la costa. Siguiendo un razonamiento similar al de la sección anterior, esto provoca que las fuerzas resultantes dirigidas hacia tierra actúen sobre una columna de agua. Esto se equilibrará con un aumento del nivel de agua (en dirección terrestre) sobre la columna de agua. Si sustituimos\(S_{xx} = 3/2 E = 3/16 \rho g H^2 = 3/16 \rho g \gamma^2 h^2\) en la Ec. \(\ref{eq5.5.4.3}\)encontramos el siguiente saldo:
\[-\dfrac{d}{dx} [3/16 \gamma^2 h^2] = h \dfrac{d\bar{\eta}}{dx}\]
y así:
\[\dfrac{d\bar{\eta}}{dx} = -3/8 \gamma^2 \dfrac{dh}{dx} \label{eq5.5.4.8}\]
Sustituyendo\(h = h_0 + \bar{\eta}\) en la Ec. \(\ref{eq5.5.4.8}\)da:
\[\dfrac{d \bar{\eta}}{dx} = -\dfrac{3/8 \gamma^2}{(1 + 3/8 \gamma^2)} \dfrac{dh_0}{dx}\label{eq5.5.4.9}\]
Por lo tanto, debido a que la profundidad del agua disminuye en la zona de surf (\(dh_0/dx < 0\)), la configuración aumenta (\(d\bar{\eta}/dx >0\)). Con una pendiente inferior constante y un índice de ruptura constante, la pendiente del nivel de agua dentro de la zona de ruptura es constante.
Ecuación\(\ref{eq5.5.4.8}\) — o equivalentemente la Ec. \(\ref{eq5.5.4.9}\), lo que da una matemática un poco más involucrada, se puede integrar desde el punto de ruptura hasta la línea de flotación para obtener la configuración de la ola en toda la zona de surf (usando\(\bar{\eta} = \bar{\eta}_b\) for\(h = h_b\) para encontrar la constante de integración\(C\)):
\[\bar{\eta} = -\dfrac{3}{8} \gamma^2 h + C = \bar{\eta}_b + 3/8 \gamma^2 (h_b - h)\]
En la costa la profundidad del agua\(h\) es cero y encontramos para la configuración en la línea de flotación:
\[\bar{\eta}_{\text{shore}} = \bar{\eta}_{b} + 3/8 \gamma^2 h_b = \bar{\eta}_b + 3/8 \gamma H_b\]
La\(\Delta \bar{\eta}\) diferencia de nivel de agua entre la línea de ruptura y el punto de aumento máximo del nivel de agua (configuración de olas) es igual a:
\[\Delta \bar{\eta} = \dfrac{3}{8} \gamma H_b\]
Con\(\gamma = 0.8\) esto equivale a\(0.3 H_b\). Por lo tanto, la configuración de las olas puede ser bastante significativa, como se ilustra adicionalmente en el Ejemplo 5.5.4.1. Dado que el ajuste máximo en la línea de ruptura es\(1/16 \gamma H_b\), la configuración de ola máxima en relación con el nivel de agua sin gas es\(5/16 \gamma H_b\) (ver Fig. 5.35).
Parámetros de entrada
Altura\(H_0 = 5 m\)
de ola en\(T = 12 s\)
alta mar Periodo de ola Dirección de olas en alta mar\(\varphi_0 = 0^{\circ}\) (normalmente
incidente)\(\gamma = 0.7\)
Configuración de olas máxima requerida en relación con el nivel de agua sin gas
Salida El primer paso es calcular la altura de ola en la línea de disyuntor. \(H_b\)depende del bajío y (aunque no en este caso) de la refracción. Se pueden usar programas de computadora o teoría de ondas lineales usando los siguientes pasos iterativos (para un ángulo de onda arbitrario):
- Adivina la profundidad de un rompedor\(h_b\) y calcula\(h_b/L_0\)
- Usando la Tabla A.3 en la App. A para determinar el coeficiente de bajío\(K_{sh}\) y la relación de las velocidades de las olas\(c/c_0\)
- Determine el ángulo\(\varphi\) usando\(\sin \varphi = c/c_0 \sin \varphi_0\)
- Calcular la altura de las olas a la profundidad\(h_b\) del agua\(H = H_0 K_{sh} (\cos \varphi_0 /\cos \varphi)\)
- Comprobar si\(H/h_b = \gamma = 0.7\). En caso afirmativo: o.k.; si no: volver al paso 1 con una mejor suposición de\(h_b\)
En este caso de ondas normalmente incidentes, se puede omitir el paso 3. De ello se deduce que\(H_b = 5.5 m\). La configuración de ola máxima se vuelve entonces\(5/16 \gamma H_b = 1.2 m\) por encima del nivel del agua sin gas.
Conclusión Si asumimos una pendiente promedio de playa de 1:50, entonces casi 60 m de ancho de playa se 'pierden' por el efecto de la configuración de olas.
Resumen
- En la zona de\(S_{xx}\) bajío aumenta en la\(x\) dirección positiva (la dirección transversal a la costa); el gradiente positivo en\(S_{xx} (\partial S_{xx}/\partial x > 0)\) es equivalente a una fuerza\(F_x\) dirigida en la dirección offshore. Esto es compensado por una fuerza de presión dirigida en tierra debido a un ajuste (descenso del nivel del agua). La compensación se puede aproximar como\(1/16 \gamma H_b\);
- En la zona de oleaje\(S_{xx}\) disminuye en la\(x\) dirección positiva; el gradiente negativo resultante en\(S_{xx} (\partial S_{xx}/\partial x < 0)\) es equivalente a una fuerza\(F_x\) dirigida en la dirección terrestre. Esto se equilibra con una fuerza de presión dirigida en alta mar debido a la configuración de la ola (elevación del nivel del agua hacia la línea de agua). La configuración de ola máxima en relación con el nivel de agua sin gas es\(5/16 \gamma H_b\).
Observaciones finales
- El aumento de la altura de ola en la zona de bajío, así como la caída de la altura de ola en la zona de oleaje se pueden predecir razonablemente bien usando una acción de ola o balance de energía. Al asumir (como lo hicimos nosotros) que dentro de la zona de surf existe una relación directa entre la altura de ola local y la profundidad del agua local, la acumulación de la configuración de la ola comienza en el (primer) punto de ruptura. En realidad hay un retraso en la transferencia de impulso del movimiento de la onda al flujo medio. Esto significa que la configuración (y también el inicio de la acumulación de la corriente longshore) se desplaza en dirección terrestre. El retraso puede ser causado por el almacenamiento temporal de energía e impulso en los rodillos superficiales de las olas rompientes. De esta manera se retrasa el proceso de disipación, desplazando así la región de configuración de onda en la dirección shoreward. Este almacenamiento temporal se puede modelar utilizando un modelo de rodillo y un balance de energía de rodillo;
- Las olas son irregulares. Para el cálculo de la configuración de olas para ondas irregulares, generalmente\(H_{rms}\) se aplica la altura media de onda cuadrada de raíz;
- En un campo de olas irregulares, las alturas de ola varían en la escala del grupo de olas (Secc. 5.8.2). Eso significa que la magnitud de la tensión de radiación también varía en la escala del grupo de ondas. Esta fuerza variable en el tiempo genera fluctuaciones del nivel del agua con una escala de tiempo mucho más larga que el período de ola (olas largas);
- Las olas generalmente se acercan a la costa bajo un ángulo (pequeño) que disminuye en profundidades de agua más pequeñas. Por lo tanto\(S_{xx}\), los gradientes cruzados\(S_{xx}\) y la configuración son más pequeños que para las olas normalmente incidentes.
6. Apotsos et al. (2007) mostraron que esta suposición puede resultar en una subpredicción de la configuración. Sin embargo, por simplicidad, a menudo se descuida el estrés inferior, también en estas notas de conferencia.