1.3: Viscosidad

Otro concepto en dinámica de fluidos, la viscosidad, es uno que es menos probable que esté dentro de su rango de intuición y experiencia que la presión. La viscosidad es una propiedad de los fluidos que caracteriza su resistencia a la deformación. Esta sección está dedicada a dejarle clara esa idea, y a comenzar a explorar sus consecuencias para movimientos fluidos.

Experimento de placa paralela

Para un primer vistazo a cómo se comportan los fluidos cuando se deforman, aquí hay un experimento que podrías intentar en tu propia mesa de cocina. Disponer dos placas paralelas horizontales, separadas una distancia\(L\) entre sí, con un fluido en reposo entre ellas (Figura\(\PageIndex{1}\)). Se podría argumentar justificadamente que sería difícil hacer tal experimento, porque ¿cómo podría evitar que el fluido se filtrara en los márgenes de las placas? No se preocupe por tales aspectos practicos; solo suponga que las placas son muy amplias en relación con su espaciado, o que el fluido que ha elegido es “espeso”, es decir, tiene una viscosidad alta (es probable que tenga una cantidad de fluidos domésticos de alta viscosidad, como miel, melaza, o jarabe de maíz, o aceite de motor, disponible), que emanaría del entre las placas solo lentamente, dándote tiempo para hacer el experimento que se describe a continuación.

Figura\(\PageIndex{1}\): Esquilar un fluido entre dos placas paralelas.

Acelera la placa superior rápidamente a una velocidad constante\(V\) paralela a sí misma aplicando una fuerza por unidad de área\(F\), llámala, sobre toda su superficie, mientras mantiene fija la placa inferior aplicándole una fuerza igual y opuesta por unidad de área. Se podría hacer eso pegando la placa inferior a la mesa y sujetando asas con ventosas a la parte superior de la placa superior. El fluido se pone en movimiento por fricción de la placa móvil.

¿Cómo se mueve el fluido? Podría imaginarse el movimiento como una serie de capas tabulares de fluido, paralelas a las placas delimitadoras, deslizándose unas junto a otras en un movimiento de cizallamiento, pero por supuesto en realidad el cizallamiento es continuo en lugar de como capas discretas. El cizallamiento de este tipo siempre actúa cuando los fluidos están en movimiento en relación con los límites sólidos, que son casi todos los flujos que consideraremos en estas notas. Si de alguna manera pudieras medir la velocidad del fluido en un gran número de puntos a lo largo de alguna línea imaginaria normal a las placas (Figura\(\PageIndex{2}\)), ¿cuál sería la distribución de la velocidad? Se encontraría que después de un período transitorio inicial de ajuste durante el cual las capas progresivamente más bajas del fluido se ponen en movimiento, la velocidad variaría linealmente de cero en la placa estacionaria a\(V\) en la placa móvil.

Figura\(\PageIndex{2}\): Desarrollo del perfil de velocidad en un fluido cizallado entre dos placas paralelas.

De la Figura se\(\PageIndex{2}\) puede observar que el fluido en contacto con cada una de las placas tiene exactamente la misma velocidad que las propias placas. Esta es una manifestación de lo que se conoce como la condición antideslizante: el fluido en contacto con un límite sólido tiene exactamente la misma velocidad que ese límite. Si bien esta condición de no deslizamiento puede parecerle contradictoria, es un hecho de observación, y puede justificarse por consideraciones sobre fuerzas intermoleculares. El flujo del fluido que se deforma continuamente más allá del límite sólido no es lo mismo que deslizar una losa rígida, como un ladrillo, a través de una mesa. Las fuerzas intermoleculares actúan entre el fluido y el sólido en el límite tal como lo hacen a través de planos de cizallamiento en el interior del fluido, por lo que no hay más razón para esperar una discontinuidad en la velocidad en el límite que dentro del fluido.

Esfuerzo cortante

Figura\(\PageIndex{3}\): Un plano imaginario, paralelo a las placas, en el fluido cizallado. F es la fuerza de corte por unidad de área.

Para ver por qué la distribución de velocidad entre las placas es lineal, pasar un plano imaginario, paralelo a las placas, en cualquier lugar a través del fluido (Figura\(\PageIndex{3}\)). Debido a que el fluido contenido entre este plano y la placa inferior o la placa superior no se está acelerando después de alcanzar el estado estacionario, el fluido a ambos lados de este plano debe estar ejerciendo sobre el fluido del otro lado del plano la misma fuerza por unidad de área\(F\) que la del placas en sí mismas. Debido a que el plano imaginario puede ubicarse en cualquier lugar entre las dos placas, la fuerza de corte por unidad de área a través de todos esos planos en el fluido, llamada tensión de corte, debe ser la misma. (A partir de aquí, tenga en cuenta firmemente la distinción entre cizallamiento, un aspecto de la geometría de la deformación del fluido, y el esfuerzo cortante, la fuerza de cizallamiento por unidad de área asociada con el cizallamiento). Y debido a que se debe esperar que el fluido se corte o se deforme a la misma velocidad para la misma fuerza de cizallamiento aplicada, la velocidad de cambio de velocidad normal a las placas debe ser constante: suponiendo que el\(y\) eje sea normal a las placas, y dejando que\(u\) sea la velocidad del fluido en un punto,

\[d u / d y=k \label{dudy} \]

donde\(k\) hay alguna constante. Entonces la velocidad misma debe variar linealmente: tomando\(y=0\) en la placa inferior,

\[u=\int k d y=k y+c\]

Evaluar la constante de integración\(c\) mediante el uso de la condición antideslizante que\(u = 0\) en\(y = 0\), encontramos\(c = 0\), así

\[u=k y \label{uky} \]

Para más información sobre lo que determina la magnitud de esa constante\(k\), véase un párrafo posterior.

Viscosidad

Figura\(\PageIndex{4}\): La fuerza por unidad de área F necesaria para producir una diferencia dada de velocidad entre dos placas paralelas con fluido cizallado entre.

¿Qué determina el valor de\(F\) necesario para producir una diferencia dada de velocidad entre las dos placas (Figura\(\PageIndex{4}\))? Para muchos fluidos, la relación de\(F\) a la cantidad\(V/L\), que representa la velocidad de cizallamiento en el fluido, se encontraría que es la misma para todos los valores de\(F\):

\[F /(V / L)= \mathrm{const, or } F=\mathrm{const} \cdot(V / L) \label{ratio} \]

Esta relación constante, la relación de esfuerzo cortante aplicado a la velocidad de cizallamiento resultante, generalmente denotada por\(\mu\), se llama la viscosidad del fluido. La viscosidad es esta la propiedad del fluido que caracteriza la resistencia del fluido a la deformación. Para fluidos como el aire y el agua, la viscosidad es de hecho una propiedad intrínseca del fluido, ya que no depende del estado de movimiento sino solo de la naturaleza del propio fluido. Diferentes fluidos tienen diferentes viscosidades. Los fluidos con viscosidades más altas requieren una mayor fuerza de cizallamiento por unidad de área para producir una tasa dada de cizallamiento, y los fluidos con viscosidades más altas tienen una mayor tasa de cizallamiento para una fuerza de corte dada por unidad de área. Para un fluido dado la viscosidad es función de la temperatura; para el agua, la viscosidad disminuye con la temperatura, pero para el aire, la viscosidad aumenta con la temperatura.

Funda Universal

Ahora necesitamos generalizar más allá del experimento cocina-mesa. Aquí viene un salto conceptual sustancial. El experimento de placa paralela es un caso bastante especializado de cizallamiento en un fluido. En un flujo más general, la geometría del flujo es más complicada y la velocidad de cizallamiento y la fuerza de cizallamiento correspondiente por unidad de área generalmente varía de un lugar a otro. Aun así, la deformación del fluido en cualquier volumen minúsculo se puede visualizar de la misma manera que en el experimento de placa paralela. Una relación como la Ecuación\ ref {ratio} se mantiene en cada punto de un fluido cizallado, sin importar cuánto varíe la velocidad y la orientación del cizallamiento de un lugar a otro:

\[\frac{\tau}{d u / d y}=\mu\]

o

\[\tau=\mu \frac{d u}{d y} \label{shearstress} \]

donde\(\tau\) se ejerce el esfuerzo cortante (es decir, la fuerza de cizallamiento local por unidad de área) a través de las superficies de cizallamiento en algún punto del fluido, y\(d u / d y\) es la velocidad de cambio de la velocidad del fluido local\(u\) en la dirección\(y\) normal a las superficies de cizallamiento en el punto (Figura \(\PageIndex{5}\)). A menudo tendremos ocasión de hacer uso de la Ecuación\ ref {shearstress} más adelante en el curso. He eludido su derivación de los primeros principios; eso requeriría partir de la segunda ley de Newton, escrita en forma diferencial, para el movimiento fluido general. Espero que el atajo que he presentado aquí te dé una buena comprensión del significado de la Ecuación\ ref {shearstress}.

Figura\(\PageIndex{5}\): Viscosidad como la relación entre el esfuerzo cortante aplicado y la velocidad de cizallamiento en un punto en un fluido cizallado.

Ahora se puede ver la importancia de\(k\) en la distribución de velocidad lineal en la Ecuación\ ref {uky} para el cizallamiento de un fluido entre placas paralelas. Combinar la Ecuación\ ref {cizalla}, la relación general entre esfuerzo cortante y velocidad de cizallamiento, con el resultado, encontrado anteriormente para el experimento paralelo-placa, que\(d u / d y = k\) (Ecuación\ ref {dudy}), que expresa que la tasa espacial de cambio, en la dirección normal a los planos de cizallamiento, de local la velocidad del fluido es la misma en todos los niveles entre las placas:

\[\frac{d u}{d y}=k=\frac{\tau}{\mu} \label{1.9} \]

Entonces la constante\(k\) refleja la magnitud relativa de la fuerza de cizallamiento aplicada por unidad de área y la viscosidad: para una viscosidad dada, una mayor fuerza de cizallamiento aplicada por unidad de área en la placa superior produce un gradiente de velocidad más pronunciado en el fluido, y para una fuerza aplicada dada por unidad de área, un determinado la viscosidad produce un gradiente de velocidad menos pronunciado.

¿Por qué los fluidos resisten la deformación? El esfuerzo cortante que se ejerce mutuamente a través de las superficies de cizallamiento en el fluido, como los planos de cizallamiento en el fluido entre las placas paralelas en la mesa de su cocina, se puede considerar como fricción interna. Para los líquidos, para dar cuenta del origen de esta fricción interna se puede apelar a la necesidad de estirar y romper los enlaces fugaces entre las moléculas adyacentes cercanas del fluido cuyos centros se encuentran en un lado u otro del plano imaginario de cizalla. Para los gases, sin embargo, el panorama no es tan sencillo (¡aunque finalmente más simple mecánicamente!) porque los gases consisten en átomos aislados o moléculas que persiguen sus caminos libres e interactúan entre ellos solo con relativa poca frecuencia. En los gases, los planos de cizallamiento pasan principalmente por espacios vacíos, y las partículas constituyentes se mueven en su mayor parte libremente a medida que pasan a través de los planos de cizallamiento en una dirección u otra. Para presentar un relato satisfactorio del origen de la fricción interna en los gases cizallados, tenemos que lidiar con el fenómeno de la difusión. La difusión es un proceso físico importante que figurará en una serie de temas posteriores en estas notas también, por lo que este es un buen lugar, en la siguiente sección, para abordarlo.