3.1: Introducción y la ecuación de Navier-Stokes

Hasta el momento hemos podido cubrir mucho terreno con un mínimo de material en el flujo de fluido. En este punto necesito presentarles algunos temas más sobre la dinámica de fluidos —el flujo de fluido inviscido, la ecuación de Bernoulli, la turbulencia, las capas límite y la separación del flujo— antes de regresar a fluir más allá de las esferas. Este material también proporciona gran parte de los antecedentes necesarios para la discusión de muchos de los temas sobre el movimiento de sedimentos que se tratarán en la Parte II. Pero primero haremos un comienzo sobre la naturaleza del flujo de un fluido viscoso más allá de una esfera.

La ecuación de Navier-Stokes

La idea de una ecuación de movimiento para un fluido viscoso se introdujo en el Capítulo 2. Vale la pena perseguir un poco más la naturaleza de esta ecuación en este punto. Tal ecuación, cuando las fuerzas que actúan en o sobre el fluido son las de viscosidad, gravedad y presión, se llama la ecuación Navier—Stokes, después de dos de los grandes matemáticos aplicados del siglo XIX que la derivaron independientemente.

No sirve para nuestros propósitos escribir la ecuación Navier—Stokes con todo detalle. Baste decir que se trata de una ecuación diferencial parcial vectorial. (Con eso quiero decir que los términos de fuerza y aceleración son vectores, no escalares, y los diversos términos involucran derivadas parciales, que son fáciles de entender si ya se sabe de diferenciación). La ecuación de vector único también puede escribirse como tres ecuaciones escalares, una para cada una de las tres direcciones de coordenadas; esto solo corresponde al hecho de que una fuerza, como cualquier vector, puede describirse por sus componentes escalares en las tres direcciones de coordenadas.

La ecuación Navier-Stokes es notoriamente difícil de resolver en un problema de flujo dado para obtener distribuciones espaciales de velocidades y presiones y esfuerzos cortantes. Básicamente las razones son que el término aceleración es no lineal, es decir, involucra productos de derivados parciales, y el término viscoso-fuerza contiene segundas derivadas, es decir, derivadas de derivados. Sólo en ciertas situaciones especiales, en las que uno o ambos términos pueden simplificarse o descuidarse, se puede resolver analíticamente la ecuación Navier-Stokes. Pero las soluciones numéricas de la ecuación completa Navier-Stokes son factibles para una gama mucho más amplia de problemas de flujo, ahora que las computadoras son tan poderosas.