3.5: Turbulencia

La mayoría de los flujos de fluidos de interés en la ciencia, la tecnología y la vida cotidiana son flujos turbulentos, aunque hay muchas excepciones importantes a esa generalización, como el flujo de agua subterránea en el subsuelo poroso, o el flujo de sangre en los capilares, o el flujo de fluido lubricante en espacios reducidos entre partes móviles de una máquina, o el flujo de esa delgada lámina de agua que se ve en la superficie pavimentada del estacionamiento del centro comercial después de una lluvia. Debido al alcance y complejidad de los problemas en el flujo turbulento, el enfoque aquí necesariamente continuará siendo selectivo. El material introductorio sobre la descripción y origen de la turbulencia en esta sección es el trasfondo del importante tema del flujo turbulento en capas límite en la siguiente sección y en el Capítulo 4. El énfasis en todo este material sobre la turbulencia está en los efectos físicos más importantes. Las matemáticas se mantendrán al mínimo, aunque algunas son inevitables en la derivación de resultados útiles sobre resistencia al flujo y perfiles de velocidad en el Capítulo 4.

¿Qué es la Turbulencia?

No es fácil idear una definición satisfactoria de turbulencia. La turbulencia puede definirse vagamente como un componente irregular o aleatorio o estadístico del movimiento que bajo ciertas condiciones se superpone sobre el movimiento medio o general de un fluido cuando ese fluido fluye más allá de una superficie sólida o más allá de una corriente adyacente del mismo fluido con diferente velocidad . Esta definición no transmite muy bien cómo es realmente la turbulencia; es mucho más fácil describir la turbulencia que definirla.

Describiendo la turbulencia

Mi objetivo en esta sección es presentarles una imagen lo más clara posible de cómo es la turbulencia. Supongamos que estuvieras en posesión de un instrumento mágico que te permitiera hacer una medición exacta y continua de la velocidad del fluido en cualquier punto de un flujo turbulento en función del tiempo. Yo estoy llamando al instrumento mágico porque todos los muchos métodos disponibles para medir la velocidad del fluido en un punto, algunos de ellos bastante satisfactorios, inevitablemente sufren en cierta medida de uno o ambos de dos inconvenientes:

1. La presencia del instrumento distorsiona o altera el flujo que se intenta medir.
2. El volumen de medición efectivo no es lo suficientemente pequeño como para ser considerado como un “punto”.

¿Cómo sería tu registro de velocidades? La figura\(\PageIndex{1}\) es un ejemplo de un registro, para el componente\(u\) de velocidad en la dirección aguas abajo. La característica sobresaliente de la velocidad es su incertidumbre: no hay manera de predecir en un momento dado cuál será la velocidad en algún momento futuro. Pero tenga en cuenta que existe un rango fácilmente discernible (aunque no definible con precisión) en el que caen la mayoría de las fluctuaciones de velocidad, y lo mismo puede decirse de las escalas de tiempo de las fluctuaciones.

Figura\(\PageIndex{1}\): Registro típico de la velocidad de flujo instantáneo en el sentido de la corriente medida en un punto en un flujo de canal turbulento.

Las mediciones de turbulencia presentan un campo rico para el tratamiento estadístico. En primer lugar, se\(\overline{u}\) puede definir una velocidad media a partir del registro de\(u\) mediante el uso de un intervalo de tiempo promedio que es muy largo con respecto a la escala de tiempo de las fluctuaciones pero no tan largo como para que el nivel general de la velocidad se desplace hacia arriba o hacia abajo durante el tiempo promedio. Una velocidad fluctuante\(u^{\prime}\) puede entonces definirse como la diferencia entre la velocidad instantánea\(u\) y la velocidad media\(\overline{u}\):

\[u^{\prime}=u-\overline{u} \label{3.17} \]

donde la barra superior denota un promedio de tiempo. El valor promedio de tiempo de\(u^{\prime}\) debe ser cero (¡por definición!). Ahora mira el componente de velocidad en cualquier dirección normal a la dirección media del flujo. Verías un registro similar al que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\), excepto que el valor promedio siempre tendría que ser cero; la velocidad normal a límite se suele llamar\(v\), y la velocidad transversal paralela al límite y normal al flujo) generalmente se llama\(w\). Ecuaciones como la Ecuación\ ref {3.17} se pueden escribir para los componentes\(v\) y\(w\):

\(v^{\prime}=v-\overline{v}=v\)

\[w^{\prime}=w-\overline{w}=w \label{3.18} \]

Una buena medida de la intensidad de la turbulencia es el valor cuadrático medio de la raíz de los componentes fluctuantes de la velocidad:

\(\operatorname{rms}\left(u^{\prime}\right)=\left(u^{\prime 2}\right)^{1 / 2}\)

\[\operatorname{rms}\left(v^{\prime}\right)=\left(v^{\prime 2}\right)^{1 / 2} \label{3.19} \]

\(\operatorname{rms}\left(w^{\prime}\right)=\left(w^{\prime 2}\right)^{1 / 2}\)

Éstas se forman tomando la raíz cuadrada del promedio de tiempo de los cuadrados de las velocidades fluctuantes; para quienes están familiarizados con términos estadísticos, los valores rms son simplemente desviaciones estándar de velocidades instantáneas. Siempre son cantidades positivas, y sus magnitudes son una medida de la fuerza o intensidad de la turbulencia, o la dispersión de velocidades instantáneas alrededor de la media. Las intensidades de turbulencia suelen ser algo así como cinco a diez por ciento de la velocidad media\(\overline{u}\) (es decir, nuevamente en el lenguaje de la estadística, el coeficiente de variación de velocidad es\(5–10 \%\)).

Varias formas de analizar la turbulencia

El análisis estadístico de la turbulencia se puede llevar mucho más allá de esto. Pero ahora supongamos que usted midió la velocidad de una manera diferente, siguiendo las trayectorias de los “puntos” o marcadores de fluido a medida que viajan con el flujo y midiendo los componentes de velocidad en función del tiempo (Figura\(\PageIndex{2}\)). Es sencillo, aunque laborioso, hacer este tipo de cosas fotografiando diminutas partículas marcadoras de flotación neutra que representan el movimiento del pozo fluido y luego midiendo sus velocidades de viaje y calculando. Las velocidades medidas de esta manera, llamadas velocidades lagrangianas, están relacionadas con las medidas en un punto fijo, llamadas velocidades eulerianas, y los registros se verían generalmente similares. Las trayectorias en sí mismas serían tridimensionalmente sinuosas y altamente irregulares, como se muestra esquemáticamente en la Figura\(\PageIndex{2}\), aunque los ángulos entre tangentes a trayectorias y la dirección media del flujo no suelen ser muy grandes, debido a que\(u^{\prime}\) suele ser pequeño en relación con\(\overline{u}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Trayectoria típica de un pequeño elemento fluido o partícula marcadora de flotación neutra en un flujo de canal turbulento.

También puedes imaginarte liberando marcadores de fluido en algún punto fijo del flujo y observando una sucesión de trayectorias trazadas en diferentes momentos (Figura\(\PageIndex{3}\)). Cada trayectoria sería diferente en detalle, pero mostrarían características similares.

Figura\(\PageIndex{3}\): Una serie de trayectorias de pequeños marcadores de flotación neutra en un flujo de canal turbulento, todos liberados desde el mismo punto.

Una cosa que puedes hacer para aprender algo sobre la escala espacial de las fluctuaciones reveladas por los registros de velocidad como el de la Figura 3.5.1 es pensar en la distancia sobre la que la velocidad se vuelve “diferente” o no correlacionada con la distancia alejada de un punto dado (Figura\(\PageIndex{4}\)). Supongamos que midió el componente de velocidad\(u\) simultáneamente en dos puntos\(1\) y\(2\) una\(x\) distancia entre sí en el flujo y computó el coeficiente de correlación formando productos de un gran número de pares de velocidades, cada uno medido al mismo tiempo, tomando el promedio de todos los productos, y luego normalizándose dividiendo por el\(\text{rms}\) valor. Si los dos puntos están muy juntos en comparación con la escala espacial característica de la turbulencia, las velocidades en los dos puntos son casi las mismas, y el coeficiente es casi uno. Pero si los puntos están muy separados las velocidades no están correlacionadas (es decir, no tienen tendencia a ser similares), y el coeficiente es cero o casi así. La distancia sobre la que el coeficiente cae a su valor mínimo, un poco menor que uno, antes de volver a subir a cero es aproximadamente representativa de la escala espacial de las fluctuaciones de velocidad turbulentas. El mínimo suave es una indicación de que la distancia hacia fuera del punto original corresponde a remolinos adyacentes, que tienden a tener una velocidad opuesta, de ahí la mínima. Un coeficiente de correlación similar se puede calcular para las velocidades lagrangianas, y los coeficientes de correlación también pueden basarse en el tiempo y no en el espacio.

Figura\(\PageIndex{4}\): Coeficiente de correlación\(R\) para la velocidad del fluido medida en dos puntos,\(1\) y\(2\), separados por una distancia\(x\) a lo largo de la corriente (es decir, a lo largo de la

Eddies

Una de las mejores maneras de tener una idea cualitativa de la naturaleza física de los movimientos turbulentos es poner en suspensión un material reflectante escamoso muy fino en un flujo bien iluminado. Las escamas tienden a ser llevadas al paralelismo con los planos de corte locales, y las variaciones en la luz reflejada de un lugar a otro en el flujo dan una imagen bastante buena de la turbulencia. Si bien es más fácil de apreciar que describir el patrón que resulta, el panorama general es uno de remolinos de fluidos intergradantes, con formas altamente irregulares y con una gama muy amplia de tamaños, que se encuentran en constante estado de desarrollo y descomposición. Estos remolinos se llaman remolinos turbulentos. A pesar de que no están claramente delineados, tienen una existencia física real.

La naturaleza turbulenta de los remolinos se percibe más fácilmente cuando el ojo intenta seguir puntos que se mueven junto con el flujo; si en cambio el ojo intenta fijar sobre un punto en el flujo que es estacionario con respecto a los límites, los elementos fluidos (si hay algunas pequeñas partículas marcadoras contenidas en el fluido para revelarlos) se ven pasar con velocidades y direcciones ligeramente variables, de acuerdo con la descripción euleriana de la velocidad turbulenta en un punto.

Cada remolino tiene un cierto sentido e intensidad de rotación que tiende a distinguirlo, al menos momentáneamente, del fluido circundante. La propiedad de rotación de fluido en forma de cuerpo sólido en un punto dado del flujo se denomina vorticidad. Piense en términos de la rotación de un pequeño elemento de fluido a medida que el volumen del elemento se contrae hacia cero alrededor del punto. La vorticidad varía suavemente tanto en magnitud como en orientación de punto a punto. La estructura de remolino de la turbulencia se puede describir por cómo varía la vorticidad a lo largo del flujo; la vorticidad en un remolino varía de punto a punto, pero tiende a ser más casi la misma allí que en remolinos vecinos.

Flujo Laminar y Turbulento

Al principio se pensó que parece natural que los fluidos mostraran un patrón de movimiento suave y regular, sin toda la irregularidad de la turbulencia. Tales flujos regulares se denominan flujos laminares. Verás una y otra vez en estas notas que los flujos en un entorno o sistema dado son laminares bajo algunas condiciones y turbulentos bajo otras condiciones. Ahora que tienes alguna idea de la cinemática del flujo turbulento, podrías considerar qué es lo que gobierna si un flujo dado es laminar o turbulento en primer lugar, y cómo es la transición de flujo laminar a turbulento. Osborne Reynolds realizó el trabajo pionero sobre estas cuestiones en la década de 1880 en un estudio experimental de flujo a través de tubos con sección transversal circular (Reynolds, 1883).

Figura\(\PageIndex{5}\): Variables asociadas al flujo constante a través de un tubo circular.

Piense primero en las variables que deben ser importantes en el flujo constante a través de un tubo circular recto (Figura\(\PageIndex{5}\)). Se\(\rho\) debe tomar en cuenta la densidad, debido a la posibilidad de flujo turbulento en el tubo y por lo tanto aceleraciones de fluidos locales. Se\(\mu\) debe tomar en cuenta la viscosidad porque afecta las fuerzas de cizallamiento dentro del fluido y en la pared. Una variable que describe la velocidad de movimiento del fluido es importante, ya que ésta gobierna tanto la inercia del fluido como las velocidades de cizallamiento. Una buena variable de este tipo es la velocidad media de flujo\(U\) en el tubo; esto se puede encontrar ya sea promediando la velocidad local del fluido sobre la sección transversal del tubo o dividiendo la descarga (el caudal volumétrico) por el área de sección transversal del tubo. El diámetro\(D\) del tubo es importante porque afecta tanto a la velocidad de cizallamiento como a la escala de la turbulencia. La gravedad no necesita ser considerada explícitamente en este tipo de flujo porque no hay superficie libre deformable involucrada. Por análisis dimensional, como se discute en el Capítulo 2, las cuatro variables\(U\)\(D\),\(\rho\), y se\(\mu\) pueden combinar en una sola variable adimensional\(\rho U D /\mu\) en la que todas las características del flujo, incluyendo la transición de flujo laminar a flujo turbulento, dependa. Reynolds primero dedujo la importancia de esta variable, ahora llamada el número de Reynolds, al considerar la estructura dimensional de la ecuación del movimiento de la manera a la que aludí brevemente al final del Capítulo 2.

Reynolds realizó dos tipos de experimentos. El primero, para estudiar el desarrollo del flujo turbulento a partir de un flujo originalmente laminar, se realizó en un aparato como el que se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\): un tubo largo que conduce desde un depósito de agua sin gas a través de una sección de entrada en forma de trompeta, a través del cual se podría pasar un flujo con velocidad media variable con un mínimo de perturbación. Se utilizaron tres diámetros de tubo diferentes (\(1/4^{\prime \prime}\)\(1/2^{\prime \prime}\),\(1^{\prime \prime}; 0.64\)\(1.27\), y, y\(2.54 \text{cm}\)) y agua de dos temperaturas diferentes, y por lo tanto de dos viscosidades diferentes. Para cada combinación de\(D\) y\(\mu\),\(U\) se incrementó gradualmente hasta que el flujo originalmente laminar se volvió turbulento. La transición se observó con la ayuda de una veta de agua coloreada introducida en la entrada del tubo.

Figura\(\PageIndex{6}\): Aparato (esquemático) utilizado por Osborne Reynolds en su estudio de la transición de flujo laminar a flujo turbulento en un tubo circular.

Cuando las velocidades eran suficientemente bajas, la racha de color se extendió en una hermosa línea recta a través del tubo [Figura\(\PageIndex{7}\) A]... A medida que la velocidad se incrementaba por pequeños escenarios, en algún momento del tubo, siempre a una distancia considerable de la trompeta o entrada, la banda de color mezclaría de una vez el agua circundante y llenaría el resto del tubo con una masa de agua coloreada [Figura\(\PageIndex{7}\) B]... Al ver el tubo por la luz de una chispa eléctrica, la masa de agua se resolvió en una masa de rizos más o menos distintos, mostrando remolinos [Figura\(\PageIndex{7}\) C] - (Reynolds, 1883, p. 942)

Figura\(\PageIndex{7}\): Los resultados de los experimentos de Reynolds sobre la transición de flujo laminar a turbulento en un tubo circular.

Reynolds encontró que para cada combinación de\(D\) y\(U\) el punto de transición se caracterizó por casi exactamente el mismo valor de\(\text{Re}\), alrededor\(12,000\). Desde entonces, experimentos posteriores han confirmado esto en una gama mucho más amplia de\(U\)\(D\),,\(\rho\), y\(\mu\).

Reynolds sospechó que, debido a que la transición de flujo laminar a flujo turbulento fue tan abrupta y la turbulencia resultante estaba tan bien desarrollada, el flujo laminar se volvió potencialmente inestable a grandes perturbaciones a un valor mucho\(\text{Re}\) menor de lo que encontró para la transición cuando minimizó el externo perturbaciones, y de hecho observó que la transición se realizó a valores mucho menores de\(\text{Re}\) si hubo turbulencia residual en el tanque de suministro o si el aparato estaba perturbado de alguna manera. Experimentos similares realizados con aún mayor cuidado en la eliminación de tales perturbaciones han demostrado desde entonces que el flujo laminar puede mantenerse a valores mucho más altos de\(\text{Re}\), hasta aproximadamente\(40,000\), que en los experimentos originales de Reynolds.

Para eludir la persistencia del flujo laminar en el rango\(\text{Re}\) para el cual es inestable, Reynolds realizó un conjunto separado de experimentos para estudiar la transición del flujo originalmente turbulento a flujo laminar a medida que la velocidad media en el tubo disminuyó gradualmente. Para ello pasó flujo turbulento a través de una tubería metálica muy larga y gradualmente disminuyó la velocidad media hasta que en algún punto a lo largo de la tubería el flujo se volvió laminar. La ocurrencia de la transición se detectó midiendo la caída en la presión del fluido entre dos estaciones a unos dos metros de distancia cerca del extremo aguas abajo de la tubería. (Se sabía mucho antes del trabajo de Reynolds —y ustedes mismos pronto verán por qué— que en el flujo laminar a través de una tubería horizontal la velocidad a la que la presión del fluido cae a lo largo de la tubería es directamente proporcional a la velocidad media, mientras que en el flujo turbulento es aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad media. Así, aunque Reynolds no pudo ver la transición tenía un medio sensible para detectar su ocurrencia.) Nuevamente\(\mu\) se utilizaron muchas combinaciones diferentes de\(D\) y, en todos los casos, la transición de flujo turbulento a flujo laminar ocurrió a valores\(\text{Re}\) cercanos a\(2000\). Este es el valor por el que se puede decir que el flujo laminar es incondicionalmente estable, en el sentido de que por muy grande que se introduzca una perturbación, el flujo siempre vuelve a ser laminar.

Origen de la Turbulencia

La teoría matemática para el origen de la turbulencia es intrincada y solo en parte exitosa en la contabilización de la transición al flujo turbulento en un cierto número crítico de Reynolds. Uno de los enfoques más exitosos implica el análisis de la estabilidad de un flujo laminar frente a perturbaciones de amplitud muy pequeña. La técnica matemática implica introducir una pequeña perturbación ondulada de cierta frecuencia en la ecuación de movimiento para el flujo y luego ver si la perturbación crece en amplitud o se amortigua. El supuesto es que si la perturbación tiende a crecer eventualmente conducirá al desarrollo de turbulencias.

Si bien una explicación satisfactoria nos sacaría de la pista en este punto, en el flujo laminar hay una tendencia a que una distorsión ondulada como la de la Figura se amplifique con el tiempo: aplicar la ecuación de Bernoulli\(\PageIndex{8}\) a lo largo de las líneas de corriente muestra que la presión del fluido es más baja donde la velocidad es mayor en la región de líneas de flujo abarrotadas, y más alta donde la velocidad es menor en la región de las líneas de flujo despobladas, y la fuerza de presión desequilibrada resultante tiende a acelerar el fluido en la dirección de la convexidad y con ello acentuar la distorsión. Pero al mismo tiempo la resistencia viscosa al cizallamiento tiende a debilitar el cizallamiento en la parte de alto cizallamiento de la distorsión y, por lo tanto, tiende a hacer que el flujo vuelva a un cizallamiento uniforme. Por lo tanto, debería parecer natural que el número de Reynolds, que es una medida de la importancia relativa de las fuerzas de cizallamiento viscosas y las tendencias aceleracionales, indique si perturbaciones como esta se amplifican o amortiguan.

Figura\(\PageIndex{8}\): Amplificación de una perturbación ondulada en una interfaz de discontinuidad de velocidad en flujo laminar (esquemático). A) Fuerzas de presión que actúan para deformar la superficie. Los signos más y menos indican presiones altas y bajas, respectivamente. B) Evolución de la perturbación con el tiempo en una serie de vórtices.

La figura\(\PageIndex{9}\) es un diagrama de estabilidad para una capa de cizallamiento laminar o capa límite (ver siguiente sección) desarrollada junto a un límite plano. El diagrama muestra los resultados tanto del análisis matemático de estabilidad descrito anteriormente como de las observaciones experimentales sobre la estabilidad. Los experimentos se realizaron haciendo vibrar una pequeña banda metálica junto al límite plano a una frecuencia conocida y observando las fluctuaciones de velocidad resultantes en el fluido. El acuerdo entre teoría y experimento es bueno pero no perfecto; si los resultados experimentales estuvieran completamente de acuerdo con la curva calculada, todos caerían sobre ella. El diagrama muestra que existe un número crítico de Reynolds bien definido\(\text{Re}_{crit}\), por debajo del cual el flujo laminar es siempre estable pero por encima del cual hay un rango de frecuencias en cualquier número de Reynolds para el cual se amplifica la perturbación, de manera que el flujo laminar es potencialmente inestable y se vuelve turbulento siempre que se presenten perturbaciones con frecuencias en ese rango.

Figura\(\PageIndex{9}\): Diagrama que muestra la estabilidad de una capa de cizallamiento laminar (capa límite) desarrollada junto a un límite plano. El eje vertical es una medida adimensional de la frecuencia\(f\) de las perturbaciones de pequeña amplitud impuestas. El eje horizontal es un número de Reynolds basado en el grosor\(\delta\) de la capa límite y la velocidad de flujo libre en el borde exterior de la capa límite. La curva sólida es la curva calculada para la estabilidad neutra (Lin, 1955); los puntos representan determinaciones experimentales de estabilidad neutra (Schubauer y Skramstad, 1947).