3.6: Capas límite

Introducción

Una capa límite es la zona de flujo en las inmediaciones de una superficie sólida o límite en la que el movimiento del fluido se ve afectado por la resistencia de fricción ejercida por el límite. La condición de no deslizamiento requiere que la velocidad del fluido en contacto directo con el límite sólido sea exactamente la misma que la velocidad del límite; la capa límite es la región del fluido próxima al límite a través de la cual la velocidad del fluido califica desde la del límite hasta la de la parte no afectada del flujo (a menudo llamado el flujo libre) a cierta distancia del límite.

Probablemente el ejemplo más simple de una capa límite es el que se desarrolla en ambas superficies de una placa plana estacionaria mantenida paralela a una corriente libre uniforme de fluido (Figura\(\PageIndex{1}\)). Justo aguas abajo del borde de ataque de la placa, la capa límite es muy delgada, y el cizallamiento necesario por la transición de la velocidad cero a la velocidad de flujo libre se comprime en una zona delgada de fuerte cizallamiento, por lo que el esfuerzo cortante en la superficie de la placa es grande (ver Ecuación 1.3.6). Más lejos a lo largo de la placa la capa límite es más gruesa, debido a que el movimiento de un mayor espesor de fluido es retardado por la influencia de fricción de la placa, en forma de esfuerzos de cizallamiento ejercidos de capa a capa en el fluido; por lo tanto, el cizallamiento es más débil, y el esfuerzo cortante en la superficie de la placa es más pequeño.

Figura\(\PageIndex{1}\): Desarrollo de una capa límite laminar sobre una placa plana a cero incidencia (es decir, mantenida en sentido de borde al flujo). Una capa límite se desarrolla en ambos lados de la placa; solo se muestra un lado.

Las capas límite se desarrollan en objetos de cualquier forma sumergidos en un fluido que se mueve en relación con el objeto: placas planas como se discutió anteriormente, alas de avión y otras formas aerodinamizadas, y cuerpos romos o acantilados como esferas o cilindros o partículas de sedimentos. Las capas límite también se desarrollan junto a los límites externos de un flujo: las paredes de tuberías y conductos, los lechos y fondos de los canales, el fondo del océano y la superficie terrestre bajo la atmósfera en movimiento. En todos los casos, la capa límite tiene que comenzar en alguna parte, como en la superficie frontal o borde delantero de un cuerpo sumergido en el flujo o en el extremo aguas arriba de cualquier límite sólido al flujo. Y en todos los casos crece o se expande aguas abajo, hasta que el flujo pasa por el cuerpo (el movimiento de cizallamiento engendrado en la capa límite es degradado por fuerzas viscosas), o hasta que se encuentra con otra capa límite que crece desde alguna otra superficie, o hasta que alcanza una superficie libre, o hasta que se le impide un mayor engrosamiento al encontrarse con una capa del medio estratificada de densidad estable, como suele ser el caso en la atmósfera y en las profundidades del océano.

Capas límite laminares y capas límite turbulentas

El flujo en las capas límite puede ser laminar o turbulento. Una capa límite que se desarrolla a partir de la parte delantera de un objeto sumergido en una corriente libre o en la cabeza de un canal o conducto generalmente comienza como un flujo laminar, pero si tiene la oportunidad de crecer durante una distancia lo suficientemente larga a lo largo del límite, se vuelve abruptamente turbulenta. En el ejemplo de una capa límite de placa plana (Figura\(\PageIndex{2}\)) podemos definir un número de Reynolds\(\text{Re}_{\delta} = \rho U \delta/ \mu\) basado en la velocidad de flujo libre\(U\) y el espesor de capa límite\(\delta\); al igual que en flujo en un tubo, discutido en una sección anterior, más allá de cierto valor crítico\(\text{Re}_{\delta}\) del laminar capa límite es potencialmente inestable y puede llegar a ser turbulenta. Si no hay grandes remolinos turbulentos en la corriente libre, la capa límite laminar puede persistir a números de Reynolds muy altos; si la corriente libre es turbulenta en sí misma, o si la superficie límite sólida es muy rugosa, la capa límite puede volverse turbulenta a una distancia muy corta aguas abajo del borde de ataque. La turbulencia en forma de pequeñas manchas se desarrolla en ciertos puntos de la capa límite laminar, se propaga rápidamente y pronto envuelve toda la capa límite.

Figura\(\PageIndex{2}\): Transición de una capa límite laminar a una capa límite turbulenta sobre una placa plana con incidencia cero.

Una vez que la capa límite se vuelve turbulenta se espesa más rápido, debido a que el fluido de la corriente libre se incorpora a la capa límite en su borde exterior de la misma manera que el aire claro se incorpora a una columna de humo turbulenta (Figura\(\PageIndex{3}\)). Ese efecto se suma a, y tan importante como, el efecto de la incorporación de nuevo fluido en la capa límite solo por acción de fricción local, que es la única manera en que una capa límite laminar puede engrosarse. Pero el grosor de incluso una capa límite turbulenta crece bastante lentamente en relación con la distancia aguas abajo; el ángulo entre la posición promedio del borde exterior de la capa límite y el límite en sí no es muy grande, típicamente algo así como unos pocos grados.

Figura\(\PageIndex{3}\): Croquis de procesos que actúan para espesar una capa límite turbulenta sobre una placa plana a cero incidencia.

Despierta

En situaciones en las que el flujo pasa todo el camino más allá de algún objeto de tamaño finito rodeado por el flujo, la capa límite no tiene oportunidad de desarrollarse más allá de la proximidad del propio cuerpo (Figura\(\PageIndex{4}\)). Aguas abajo del objeto, el fluido que fue retardado en la capa límite se vuelve a acelerar gradualmente por la corriente libre, hasta lejos aguas abajo el perfil de velocidad en la corriente libre ya no muestra ninguna evidencia de la presencia del objeto aguas arriba. La zona de fluido retardado y a menudo turbulento aguas abajo del objeto se llama estela.

Figura\(\PageIndex{4}\): Desarrollo de una estela aguas abajo de una placa plana a cero incidencia.

¿Qué tan gruesas son las capas límite?

Por lo general, se piensa que una capa límite es delgada en comparación con la escala del cuerpo sobre la que se desarrolla. Esto es cierto en números altos de Reynolds, pero no es cierto en números bajos de Reynolds. Te mostraré aquí, por una línea de razonamiento bastante simple, que el grosor de la capa límite varía inversamente con el número de Reynolds.

El grosor de la capa límite está determinado por la magnitud relativa de dos efectos:

1. La ralentización del fluido cada vez más lejos de la superficie sólida por la acción de la fricción del fluido.
2. El barrido de ese fluido de bajo impulso aguas abajo y su reemplazo por fluido de aguas arriba que se mueve a la velocidad de flujo libre.

Cuanto mayor sea el segundo efecto en comparación con el primero, más delgada será la capa límite.

Piense en términos del componente aguas abajo del momento del fluido a cierta distancia del límite sólido y a cierta distancia aguas abajo del borde de ataque de la capa límite. La tasa de transporte aguas abajo del momento del fluido (escrito por unidad de volumen de fluido) en el borde exterior de la capa límite es\(U(\rho U)\), donde\(U\) está la velocidad de flujo libre. La desaceleración del fluido por fricción es un poco más difícil de tratar. Piense en el Capítulo 1, donde introduje la idea de que la viscosidad se puede considerar como un coeficiente de difusión de corriente cruzada para el momento del fluido aguas abajo. En línea con esa idea, dentro de la capa límite el impulso del fluido aguas abajo se difunde todo el tiempo hacia el límite. (A los dinamistas fluidos les gusta decir que el límite es un sumidero de impulso). Por lo tanto, la tasa de difusión de impulso transversal es aproximadamente igual a\(\mu (U / \delta)\), donde\(U /\delta\) representa de manera cruda el gradiente de velocidad\(du / dy\) dentro de la capa límite.

La tasa de engrosamiento de la capa límite se representa crudamente por la relación del transporte aguas abajo del momento, por un lado, a la tasa de disminución del impulso en un lugar a causa de la difusión del impulso hacia el límite, habiéndose derivado ambas cantidades en el último párrafo:

\(\frac{\text { cross-stream diffusion }}{\text { downstream transport }}=\frac{\mu U / \delta}{\rho U^{2}}\)

\(=\frac{\mu}{\rho U \delta}\)

\[=1 / \operatorname{Re} \delta \label{3.20} \]

La ecuación\ ref {3.20} muestra que la tasa de engrosamiento de la capa límite varía según la inversa del número de Reynolds basado en el grosor de la capa límite. Esto significa que la capa límite se espesa cada vez más lentamente en la dirección aguas abajo, por lo que la caricatura de la capa límite de placa plana en la Figura\(\PageIndex{1}\), con la parte superior de la capa límite describiendo una curva cóncava hacia la placa, es de hecho cualitativamente correcta.

La ecuación\ ref {3.20} también le dice que cuanto mayor sea el número de Reynolds basado en el flujo medio y el tamaño del objeto sólido sobre el que está creciendo la capa límite, más delgada es la capa límite en un punto dado, porque para dado\(\delta\),\(\text{Re}_{\delta}\) es proporcional a este número de Reynolds. (Para la placa plana, este número de Reynolds se basa en la distancia desde el borde de ataque; para la esfera, se basa de manera más natural en el diámetro de la esfera). Entonces, cuanto más rápida sea la velocidad de la corriente libre y más grande sea la esfera (o más abajo de la placa plana), y cuanto menor sea la viscosidad, más delgada será la capa límite.

Tenga en cuenta, como nota final, que todo lo anterior es para una capa límite laminar, aunque la segunda parte de la conclusión, que el grosor de la capa límite es proporcional a algún número de Reynolds definido en el tamaño del cuerpo, también es cualitativamente cierto para una capa límite turbulenta.

Quizás se esté preguntando qué tan gruesas son realmente las capas límite. Esto es algo en lo que puedes pensar la próxima vez que estés sentado en un asiento de ventana sobre el ala, a varias millas sobre la Tierra. ¿Qué tan gruesa es la capa límite a una distancia de, digamos, un metro del borde de ataque del ala, cuando el avión viaja a 500 millas por hora? Existe una solución exacta para el espesor de una capa límite laminar en función del número de Reynolds\(\text{Re}_{x}\) basado en la velocidad de flujo libre y la distancia desde el borde de ataque:

\[\delta=4.99 \mathrm{Re}_{x}^{-1 / 2} \label{3.21} \]

(La derivación de la Ecuación\ ref {3.21} va un poco más allá de este curso; vea Tritton, 1988, p. 127—129 si está interesado en seguir adelante.) Asumiendo una temperatura del aire de\(-50^{\circ} \mathrm{C}\) y una altitud de\(35,000\) pies, la densidad del aire es aproximadamente\(10^{-3} \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3}\) y la viscosidad es algo así como\(1.5 \times 10^{-4}\) equilibrio. Sustituyendo los diversos valores en la Ecuación\ ref {3.21}, encontramos que el espesor de la capa límite es de unas centésimas de milímetro. La capa límite en el techo de tu auto en\(65 \mathrm{mph}\) es mucho más gruesa, en aproximadamente un orden de magnitud, porque la velocidad del aire es mucho más lenta.

Algunos Flujos son “Todas las Capa Límite”

Un ejemplo de la capa límite que crece para llenar todo el flujo es un flujo de canal abierto que acaba de emerger de una salida similar a una canaleta en el fondo de un gran reservorio de agua (Figura\(\PageIndex{5}\)). Justo en la entrada, todo el flujo podría considerarse el “flujo libre”. A medida que el flujo pasa por el canal, una capa límite crece hacia arriba en el flujo desde la parte inferior. Si se descuida el efecto menor de la fricción con la atmósfera, no se desarrolla ninguna capa límite en la superficie superior del flujo. Finalmente, la capa límite creciente llega a la superficie, ¡y desde ese punto aguas abajo el río es toda la capa límite!

Figura\(\PageIndex{5}\): Desarrollo aguas abajo de una capa límite en un flujo de canal abierto que comienza en la salida de una compuerta de compuerta.

En una situación como esta, el desarrollo de la capa límite suele completarse en una distancia de canal descendente igual a algo así como unas pocas decenas de profundidades de flujo. Aguas arriba, en la zona de crecimiento de capa límite, la capa límite es no uniforme, en que es diferente en cada sección; aguas abajo, en la zona de flujo completamente establecido, la capa límite es uniforme, en que se ve igual en cada sección transversal.

Capas de contorno internas

Finalmente, puede haber capas límite dentro de las capas límite. Dichas capas límite se denominan capas de límite internas. Supongamos que una capa límite gruesa se está desarrollando sobre una amplia superficie en contacto con un flujo, o una capa límite ya ha crecido hasta la extensión lateral completa del flujo, como en un río. Cualquier objeto sólido de tamaño restringido inmerso en esa capa límite, localizado ya sea en el límite, como algún tipo de irregularidad o protuberancia, o dentro del flujo, como parte de una estructura submarina, provoca el desarrollo local de otra capa límite (Figura\(\PageIndex{6}\)).

Figura\(\PageIndex{6}\): Desarrollo de una capa límite interna sobre un elemento de rugosidad hemisférica en el lecho de un flujo de canal.